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1、长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学第二节第二节 数列的极限数列的极限一、一、数列极限的定义数列极限的定义二、二、收敛数列的性质收敛数列的性质长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学一、数列极限的定义一、数列极限的定义概念的概念的引入引入正六边形的面积A1正 形的面积正十二边形的面积A2计算圆的面积计算圆的面积长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学1.1.数列的概念数列的概念 按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,第n项xn叫做数列的一般项.注意：(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在
2、数轴上依次取(2).数列是整标函数长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学2.2.数列数列极限的通俗定义极限的通俗定义 当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记为axnn=lim 当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.因此,若 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近常数a.长春工业大学 高等数学长春工业大学
3、 高等数学3.3.数列数列极限的精确定义极限的精确定义 设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式|xna|N 时,所有的点xn 都落在开区间(a-e,a+e),只有有限个(至多只有N个)落在这区间以外.长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学二、二、收敛数列的性质收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 证明证明:假设同时有axnn=lim及bxnn=lim 且 a0 存在充分大的正整数 N 使当nN时,同时有|xna|2ab=e 及|xnb|2ab=e 因此同时有 2abxn 这是不可能的.所以只能有a=
4、b.长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学定理2(收敛数列的有界性)收敛数列xn一定有界.证证:设取则当时,有从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.注注 此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学定理3(收敛数列的保号性)若时,有证证:对 a 0,取推论推论:若数列从某项起长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学子数列的收敛性子数列的收敛性注：注：例如，例如，所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列（或子列）.在子数列 中，一般项 是第k 项，而 在原数列
5、中却是第 项，显然，长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学 定理4(收敛数列与子数列间的关系）如果数列xn收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a.证证:设数列是数列的任一子数列.若则当 时,有现取正整数 K,使于是当时,有从而有由此证明*长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学注:若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散.故数列 发散.证证：因为当：因为当 时时,证明 数列 是发散的.长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学收敛准则 单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限.长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学内容小结内容小结1.数列极限的数列极限的“N”定义及定义及应用应用2.2.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性;有界性有界性;保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限思考与练习思考与练习 如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.长春工业大学 高等数学长春工业大学 高等数学 作业：作业：