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1、1.2 数列的极限数列的极限1.2.1 引例引例(割圆术割圆术)1.2.2 数列极限的概念数列极限的概念1.2.3 收敛数列的性质收敛数列的性质11.2.1 引例引例(割圆术割圆术)1.2 数列的极限数列的极限 我我国国古古代代数数学学家家刘刘徽徽利利用用圆圆内内接接正正多多边边形形来来推推算算圆圆面面积积的的方方法法称称为为割割圆圆术术，其其思思想想是是：设设有有一一圆圆，先先作作圆圆的的内内接接正正六六边边形形，再再作作内内接接正正十十二二边边形形，其其次次作作内内接接正正二二十十四四边边形形，再再其其次次作作内内接接正正四四十十八八边边形形，一一直直这这样样作作下下去去，每每次次边边数数
2、翻翻倍倍，刘刘徽徽认认为为这这些些正正多多边边形形的的面面积积越越来来越越接接近近圆圆的的面面积积。这这种种求求圆圆面面积积的的方方法法在在数数学学上上称称为为极极限限方方法法，极极限限是是微积分的基础，本节将对数列的极限作初步的讨论。微积分的基础，本节将对数列的极限作初步的讨论。21.2.2 数列极限的概念数列极限的概念 形如形如x1,x2,.xn.的一列依次的一列依次(序序)排列的数称为排列的数称为数列数列,记为记为xn。例如例如3 观观察察这这些些数数列列，可可以以发发现现，随随着着项项数数n 的的增增大大，有有些些数数列列越越来来越越接接近近某某个个确确定定的的数数，比比如如数数列列(
3、1)趋向于趋向于1，1便称为该数列的极限。便称为该数列的极限。一般地，如果当一般地，如果当n无限增大时，无限增大时，xn趋近于定数趋近于定数a,我们认为数列我们认为数列xn以以a为极限，记为为极限，记为:但但这这不不能能作作为为数数列列极极限限的的定定义义，数数学学中中对对概概念下定义必须具备两个特性：无歧义性和精确性。念下定义必须具备两个特性：无歧义性和精确性。4 定义定义1.2.1 设数列设数列xn，若存在常数，若存在常数a，对任意，对任意给定的正数给定的正数 ，都存在正整数，都存在正整数N，使得当，使得当 n N时，时，恒成立不等式恒成立不等式 则则称称数数列列xn存存在在极极限限，并并
4、称称a为为数数列列xn的的极极限限，记作记作此时也称数列此时也称数列xn为收敛数列，否则称为发散数列。为收敛数列，否则称为发散数列。5任意大于任意大于N的数都可以充当的数都可以充当N的角色。的角色。注注当当n充分大时，所有的充分大时，所有的xn都落在区间都落在区间(a-,a+)内。内。的几何意义：对于任给的正数的几何意义：对于任给的正数 ，6 （4）从定义中可以看出，若要用定义证明极限存）从定义中可以看出，若要用定义证明极限存在在,关键在于对关键在于对78910注注 用定义证明极限存在的步骤：用定义证明极限存在的步骤：(4)整个叙述。整个叙述。(1)考察考察|xn-a|；(2)适当放大不等式，
5、为方便有时可限定适当放大不等式，为方便有时可限定n大于大于(3)某一数某一数N1，解出解出n N2；(3)取取N=maxN1,N2；11例例4证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1，不不 可可 能能 同同时位于长度为时位于长度为1的区间内，矛盾。的区间内，矛盾。121.2.3 收敛数列的性质收敛数列的性质 定理定理1.2.1 (唯一性唯一性)收敛数列的极限必唯一。收敛数列的极限必唯一。证证 (反证法反证法)1314定理定理1.2.2 (有界性有界性)收敛数列收敛数列xn必有界。必有界。注注 (1)收敛必有界收敛必有界,但有界不一定收敛，例如但有界不一定收敛，例如(-1)n；(2)无界数列一定
6、发散无界数列一定发散(无极限无极限)。1516注注 性性质质3表表明明:若若数数列列极极限限为为正正(A0),则则从从某某项项开始以后各项皆正开始以后各项皆正,且总大于某一正数且总大于某一正数(A/2)；若若数数列列极极限限为为 负负(A0),则则从从某某项项开开始始以以后后各各项项皆皆负负,且总小于某一负数且总小于某一负数(A/2)。证证 留给同学思考。留给同学思考。17注注 以下命题成立否以下命题成立否?18子数列的概念子数列的概念例如，例如，19注意注意(2)x2k,x2k+1是常见的子数列。是常见的子数列。20定理定理1.2.3 收敛数列的任一子数列也收敛，且极限收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同。相同。证证证毕证毕21 注注 此定理可用来判别数列发散。只要找到此定理可用来判别数列发散。只要找到xn 的一子列发散的一子列发散 或两子列不收敛到同一极限，或两子列不收敛到同一极限，则原数列发散。则原数列发散。例如例如 22思考思考 (1)xn,yn发散，则发散，则xn+yn发散吗？发散吗？23(2)xn收敛收敛,yn发散发散,则则xn+yn收敛吗？收敛吗？24