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1、第三章第三章第三章第三章 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 第一节条件概率第一节条件概率1例：例：例：例：一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率。一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率。(1)(1)事件事件A“至少有一个女孩至少有一个女孩”发生的概率。发生的概率。(2)(2)在事件在事件B“至少有一个男孩至少有一个男孩”发生的条件下，事发生的条件下，事件件A发生的概率。发生的概率。2一、条件概率的概念含义含义含义含义:在事件在事件在事件在事件B B发生的条件下发生的条件下发生的条件下发生的条件下,另一事件另一事件另一事件另一事件A A发生的概
2、率发生的概率发生的概率发生的概率,称为在事件称为在事件B发生条件下事件发生条件下事件A的条件概率，的条件概率，对于古典概型，如图所示对于古典概型，如图所示对于古典概型，如图所示对于古典概型，如图所示 ，有，有，有，有3即把即把即把即把B B作为新的样本空间作为新的样本空间作为新的样本空间作为新的样本空间.缩减样本空间法缩减样本空间法缩减样本空间法缩减样本空间法条件概率的定义：条件概率的定义：对于古典概型，条件概率可以如下计算：对于古典概型，条件概率可以如下计算：4例例2 2 设袋中设袋中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中任意个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一抽取两次，每次取一
3、个个，取后不放回，取后不放回，（1 1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球 的概率的概率;（2 2）求第二次取到红球的概率；）求第二次取到红球的概率；（3 3）求两次均取到红球的概率。）求两次均取到红球的概率。思考：任一次取到红球的概率都相同吗？思考：任一次取到红球的概率都相同吗？5二、概率乘法公式二、概率乘法公式注：注：（1）由条件概率定义直接可推出，）由条件概率定义直接可推出，（2）由（）由（1）可推出。）可推出。6例例3 3 一批零件共有一批零件共有100100个个,其中其中1010个不合格品个不合格品,从中一从中一个一个取出个一个取出,求第三
4、次才取到不合格品的概率。求第三次才取到不合格品的概率。解：记解：记 Ai 表示表示“第第 i 次取出的为不合格品次取出的为不合格品”，则所求概率为，则所求概率为7全年级全年级100名学生中，有男生（以事件名学生中，有男生（以事件A表示）表示）80人，女生人，女生20人；人；来自北京的（以事件来自北京的（以事件B表示）表示）有有20人，其中男生人，其中男生12人，女生人，女生8人；免修英语人；免修英语的（以事件的（以事件C表示）表示）40人中，有人中，有32名男生，名男生，8名名女生。求女生。求 8某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活，活到到25岁的概率为岁
5、的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动岁的这种动物活到物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A表示表示“活到活到20岁岁”，B表示表示“活到活到25岁岁”则则 所求概率为所求概率为 9第二节 全概率公式例例1 1设有两个口袋，甲袋装有设有两个口袋，甲袋装有2 2个白球、个白球、3 3个红球；个红球；乙袋装有乙袋装有4 4个白球、个白球、2 2个红球。现从甲袋任取一球放入个红球。现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。分析：对于较复杂事件概率的计算，首先要选择适当分析：对于较复杂事件概率的计算，首先要选择适
6、当的符号把已知、所求事件表示出来；再根据概率法则、的符号把已知、所求事件表示出来；再根据概率法则、性质进行计算。性质进行计算。解：设解：设A从甲袋取出白球；从甲袋取出白球；B从乙袋取出白球；从乙袋取出白球；所求问题是什么？所求问题是什么？10P(B)的取值显然与的取值显然与P(A)有关系，且有关系，且P(A)=2/5.=2/5.另外另外,在在A发生与否的条件下发生与否的条件下,B发生的条件概率可求。发生的条件概率可求。利用乘法公式可以计算：利用乘法公式可以计算：即有即有例例1 1设有两个口袋，甲袋装有设有两个口袋，甲袋装有2 2个白球、个白球、3 3个红球；个红球；乙袋装有乙袋装有4 4个白球
7、、个白球、2 2个红球。现从甲袋任取一球放入个红球。现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。11 全概率公式全概率公式 设B1,B2,Bn为样本空间的一个分割(或称划分、完备事件组),则对任一事件A,有：注：注：全概率公式解决的问题是，由全概率公式解决的问题是，由A的条件概率的条件概率求求A的概率（部分的概率（部分 整体）。整体）。常用形式常用形式条件可减弱为条件可减弱为条件可减弱为条件可减弱为12例例2 2某工厂两个车间生产相同型号的的产品某工厂两个车间生产相同型号的的产品,生生产的产品混合放在一个仓库里。第一车间产
8、品的产的产品混合放在一个仓库里。第一车间产品的次品率为次品率为0.150.15；第二车间产品的次品率为；第二车间产品的次品率为0.120.12；且两个车间产品的数量比是且两个车间产品的数量比是2 2：3 3。现从仓库里任。现从仓库里任取出一件产品，求它是次品的概率。取出一件产品，求它是次品的概率。解：记解：记取出的一件是次品；取出的一件是次品；13例3摸彩模型或抽签问题设 n 张彩票中有 k 张 中奖券,求第二人(任一人)摸到中奖券的概率。类似可求出第类似可求出第3,4人摸到中奖券的概率人摸到中奖券的概率.14注：注：对于摸彩、抽签等问题中全概率的计算，对于摸彩、抽签等问题中全概率的计算，直接
9、利用古典概率方法，可以简化计算直接利用古典概率方法，可以简化计算.任一人摸中概率都相同任一人摸中概率都相同例3摸彩模型或抽签问题设 n 张彩票中有 k 张 中奖券,求第二人(任一人)摸到中奖券的概率。15例例1 1 某地区居民的肝癌发病率为某地区居民的肝癌发病率为0.0004,0.0004,现用甲胎现用甲胎蛋白法进行普检查蛋白法进行普检查,医学研究表明医学研究表明,化验结果是存化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果9999呈呈阳性阳性(有病有病),),而没有患肝癌的人其化验结果而没有患肝癌的人其化验结果99.999.9呈阴性呈阴性(无病无病)。现某
10、人的检查结果呈阳性。现某人的检查结果呈阳性,问问他真的患肝癌的概率是多大？他真的患肝癌的概率是多大？解：设解：设B为为“被检查者患有肝癌被检查者患有肝癌”，A为为“检查结检查结果呈阳性果呈阳性”，则由题意知，则由题意知 所求问题是？所求问题是？所求问题是？所求问题是？第三节第三节 贝叶斯公式贝叶斯公式(逆概率公式逆概率公式)1617补充说明补充说明若对首次检查结果呈阳性的人再次复查，这时，若对首次检查结果呈阳性的人再次复查，这时，P(B)0.284,0.284,代入上式计算可得代入上式计算可得:第二次检查又呈第二次检查又呈阳性的人患肝癌的概率则为阳性的人患肝癌的概率则为0.9970.997，说
11、明此检查方法，说明此检查方法的有效性。把的有效性。把B“患病患病”看作看作“原因原因”,把把 A“阳性阳性”看作看作“结果结果”。由产生的结果对原因重新认识由产生的结果对原因重新认识修正修正.18贝叶斯公式贝叶斯公式(逆概率公式逆概率公式)19例例2 2狼来了的寓言狼来了的寓言通过计算说明为什么村民通过计算说明为什么村民后来不再相信小孩呢？后来不再相信小孩呢？20补充说明补充说明这里，这里，称为先验概率，即原来村民称为先验概率，即原来村民 对他的印象。对他的印象。称为后验概率，称为后验概率，即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象。即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象。若小孩再次撒谎，则以若小孩再次撒
12、谎，则以若小孩再次撒谎，则以若小孩再次撒谎，则以 替换替换替换替换作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到在实际生活中，人们总是根据在实际生活中，人们总是根据在实际生活中，人们总是根据在实际生活中，人们总是根据已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。21第四节事件的独立性第四节事件的独立性22一、两个事件的独立性1 1、独立性的一般含
13、义、独立性的一般含义事件事件A与事件与事件B发生的概率没有关系、影响。发生的概率没有关系、影响。2 2、定义、定义 设设A、B是两事件，若是两事件，若满足满足 P(AB)P(A)P(B)则称事件则称事件A与与B相互独立。相互独立。23例例1 1 在在5252张扑克牌中任取一张，记张扑克牌中任取一张，记A为为“取到黑取到黑桃桃”，B为为“取到爱司取到爱司”，A、B是否独立？是否独立？例例2 2 在有三个小孩的家庭，记在有三个小孩的家庭，记A为为“男女都有男女都有”，B为为“至多一个女孩至多一个女孩”，A、B是否独立？是否独立？24补充说明补充说明（1 1）独立性的判定必须严格按定义来确定）独立性
14、的判定必须严格按定义来确定,而不能而不能凭主观想像和猜测，也不能与互不相容的概念混淆。凭主观想像和猜测，也不能与互不相容的概念混淆。（2 2）具有类似关系的事件在不同条件下是否独立）具有类似关系的事件在不同条件下是否独立也是有区别的。把例也是有区别的。把例2 2中的三个小孩改为两个小孩，中的三个小孩改为两个小孩，则则A、B不相互独立。不相互独立。25例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”，B为“至多一个女孩”，A、B是否独立？若把条件中的若把条件中的“三个小孩三个小孩”改为改为“两个小孩两个小孩”，则有：则有：26独立性的性质：独立性的性质：27一些特殊情形：一些特殊情形：28二、多个事
15、件的独立性29例例3 3 从分别标有从分别标有1,2,3,41,2,3,4四个数字的四个数字的4 4张卡片中随机张卡片中随机抽取一张抽取一张,以事件以事件A表示表示“取到取到1 1或或2 2号卡片号卡片”;事件事件B表示表示“取到取到1 1或或3 3号卡片号卡片”;事件事件C表示表示“取到取到1 1或或4 4号号卡片卡片”.则事件则事件A,B,C两两独立但不相互独立两两独立但不相互独立.30例例4 4 甲、乙二人同时独立向同一目标射击一次甲、乙二人同时独立向同一目标射击一次,甲击中率为甲击中率为0.9,0.9,乙击中率为乙击中率为0.8,0.8,求目标被击中的求目标被击中的概率。概率。解：设解
16、：设A甲击中，甲击中，B乙击中，乙击中，C目标被击中目标被击中.31例例5 5 某彩票每周开奖一次某彩票每周开奖一次,每次提供十万分之一的每次提供十万分之一的中奖机会中奖机会,且各周开奖是相互独立的。若你每周买且各周开奖是相互独立的。若你每周买一张彩票一张彩票,坚持十年坚持十年(520(520周周),),你从未中奖的可能性你从未中奖的可能性是多少？是多少？32用用x,y,z x,y,z 表示下列事件的概率：表示下列事件的概率：解解 33第五节第五节 伯努利试验和二项概率伯努利试验和二项概率34一、伯努利试验 定义：设有随机试验定义：设有随机试验E1 1和和E2 2，若，若E1 1的任一结果的任
17、一结果(事事件件)与与E2 2的任一结果的任一结果(事件事件)都独立，则称这两个试验都独立，则称这两个试验相互独立。如分别掷两枚硬币的试验。相互独立。如分别掷两枚硬币的试验。类似地可以定义类似地可以定义n个相互独立的试验。个相互独立的试验。特别地，如果特别地，如果n个相互独立的试验是相同的，则称之个相互独立的试验是相同的，则称之为为n重独立重复试验；如果每次试验的结果都是两个，重独立重复试验；如果每次试验的结果都是两个，则称之为则称之为n重伯努利试验。重伯努利试验。如：掷如：掷n个骰子、检查个骰子、检查n个产品的试验是个产品的试验是n重独立重复重独立重复试验，而掷试验，而掷n个硬币的试验则是个
18、硬币的试验则是n重伯努利试验。重伯努利试验。35二、二项概率问题：在问题：在n重伯努利试验中重伯努利试验中,若事件若事件A在每次试验中出在每次试验中出现的概率都是现的概率都是 p,求在求在n次试验中恰出现次试验中恰出现k次次A的概率。的概率。分析：若指定某分析：若指定某k次出现次出现A，则另外，则另外 n-k 次出现次出现.由独立性知，该事件的概率为由独立性知，该事件的概率为再由组合数知识知，在再由组合数知识知，在n次试验中恰出现次试验中恰出现k次次A的概的概率为率为该公式与二项式定理的一般形式相同，该公式与二项式定理的一般形式相同，故称之为二项概率。故称之为二项概率。36补充说明补充说明应用
19、二项概率时应注意：应用二项概率时应注意：1、涉及的试验是、涉及的试验是n重伯努利试验；重伯努利试验；2、所求的事件是只知次数，不知位置；、所求的事件是只知次数，不知位置；3、二项概率在实际中的应用非常广泛；、二项概率在实际中的应用非常广泛；4、当、当n较大时，二项概率的计算比较困难。较大时，二项概率的计算比较困难。37例例1 从次品率从次品率p=0.2的一批产品中的一批产品中,有放回地抽取有放回地抽取5次次,每次取每次取1件。分别求件。分别求5件中恰有件中恰有3件次品和至件次品和至多多3件次品的概率。件次品的概率。解：记解：记k抽取的抽取的5件中的次品数。件中的次品数。38例例2设有设有100
20、0个人购买了某项人身意外保险个人购买了某项人身意外保险,每每年支付投保金额年支付投保金额300元。若在一年内发生意外元。若在一年内发生意外,可可获得的平均赔付金额为获得的平均赔付金额为10000元。元。根据资料统计根据资料统计,该类投保人在一年内发生意外的比例为该类投保人在一年内发生意外的比例为1求：求：1、保险公司能够获利的概率；、保险公司能够获利的概率；2、保险公司每年获利不少于、保险公司每年获利不少于10万元的概率。万元的概率。分析：保险公司获利的多少与发生意外的投保人数有分析：保险公司获利的多少与发生意外的投保人数有关，而所有关，而所有1000人发生意外的概率是相同的，且他们人发生意外的概率是相同的，且他们是否发生意外是相互独立的。因此，可以利用二项概是否发生意外是相互独立的。因此，可以利用二项概率来解决这个问题。率来解决这个问题。39解：记解：记 k出现意外的投保人数；出现意外的投保人数；A获利；获利；B获利不少于获利不少于10万元。万元。40作作业：41