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1、第六节第六节 独立性独立性两个事件的独立性两个事件的独立性多个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用小结小结显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的发生的概率概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A)P(B)用
2、用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B)=P(A)或或 P(B|A)=P(B)更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制约的制约.若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称则称A、B相互独立相互独立，简称，简称A、B独立独立.两事件独立的定义两事件独立的定义 例例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B
3、是否独立？是否独立？解解1:P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,可见可见 P(A)=P(A|B),由定理由定理1知事件知事件A、B独立独立.P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13解解2:两事件是否独立可由定义或通过计算条件两事件是否独立可由定义或通过计算条件概率来判断概率来判断:在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立断两事件是否独立.由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲
4、命中,B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的,则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受因为第二次抽取的结果受到第一次到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.即即 若若A、B互斥，且互斥，且P(A
5、)0,P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A、B不互不互斥斥.=P(A)1-P(B)=P(A)-P(AB)P(A )=P(A-A B)A、B独立独立概率的性质概率的性质=P(A)-P(A)P(B)仅证仅证A与与 独立独立定理定理 2 若两事件若两事件A、B独立独立,则则 也相互独立也相互独立.证明证明=P(A)P()故故 A与与 独立独立二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若若 P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)
6、P(B)P(C)四个等式同时成立四个等式同时成立,则称则称事件事件A、B、C相互独立相互独立.请注意请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n(n 2)个事件个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念在计算概率中的应用 例例 2 设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。LR2134 解解：设事件 Ai(i=1,2,3,4)为“第 i 个继电器接点闭合”,L 至 R 为通路这一事件可表示为：由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独立性，得到 例例4例例5即即四、小结四、小结 这一讲，我们介绍这一讲，我们介绍了事件独立性的概念了事件独立性的概念.不不难发现，当事件相互独立时，乘法公式难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分变得十分简单，因而也就特别重要和有用简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化立的，则许多概率的计算就可大为简化.概率统计概率统计标准化作业标准化作业(一一)五、五、布置作业布置作业