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1、1-4-11.4 1.4 事件的独立性事件的独立性独立性的概念独立性的概念事件独立性的性质事件独立性的性质多个事件的独立性多个事件的独立性事件的独立性事件的独立性1-4-2一、独立性的定义一、独立性的定义例例 1 袋中有袋中有 a 只黑球，只黑球，b 只白球每次从中取出只白球每次从中取出 一球，令：一球，令：A=第一次取出白球第一次取出白球，B=第二次取出白球第二次取出白球，分有放回和不放回情形讨论分有放回和不放回情形讨论同理同理（1）有放回情形：）有放回情形：事件的独立性事件的独立性1-4-3由于由于事件的独立性事件的独立性1-4-4（2 2）不放回情形：）不放回情形：所以，所以，同理同理事
2、件的独立性事件的独立性1-4-5由此例题你会得到什么结论？由此例题你会得到什么结论？事件的独立性事件的独立性说明说明由此例知，两种情形中都有由此例知，两种情形中都有在不放回情形有：在不放回情形有：在有放回情形有：在有放回情形有：1-4-6二、事件独立性的性质：二、事件独立性的性质：设设A A、B B是两个随机事件，如果是两个随机事件，如果 则称则称A A 与与B B是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件定义：定义：1 1 如果事件如果事件A 与与B 相互独立，而且相互独立，而且事件的独立性事件的独立性2 必然事件必然事件S与任意随机事件与任意随机事件A相互独立；相互独立；不可能事件不可能事件
3、与任意随机事件与任意随机事件A相互独立相互独立1-4-73 若随机事件若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则也相互独立也相互独立.证明：证明：只证只证 相互独立即可相互独立即可这个性质很重要！这个性质很重要！由于由于事件的独立性事件的独立性1-4-8例例 2 2设事件设事件 A 与与 B 满足：满足：若事件若事件 A 与与若若 AB=，则则事件事件 A 与与 B证明：证明：事件的独立性事件的独立性B 相互独立，则相互独立，则 AB；不相互独立不相互独立若若AB=，则，则由题设知由题设知即事件即事件 A 与与 B 不相互独立不相互独立此例说明此例说明：互不相容与相互：互不相容与相互
4、独立不能同时成立。独立不能同时成立。1-4-9例例3设两两独立的三个事件设两两独立的三个事件A,B,C满足满足:解：解：由加法公式可得由加法公式可得事件的独立性事件的独立性求求P(A).).A、B、C两两独立两两独立于是有于是有:解之得解之得:根据题意根据题意,得得1-4-10三、多个事件的独立性三、多个事件的独立性设设A、B、C是三个随机事件，是三个随机事件，1 三个事件的独立性：三个事件的独立性：则称则称A、B、C是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件注意：注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式
5、；反可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立试想：试想：n个个随机事件的独立性的定义及性质。随机事件的独立性的定义及性质。如果如果事件的独立性事件的独立性1-4-11例例4 袋中装有袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令：三种颜色现从袋中任意取出一球，令：A=取出的球涂有红色取出的球涂有红色 B=取出的球涂有白色取出的球涂有白色 C=取出的球涂有黑色取
6、出的球涂有黑色 则：则：事件的独立性事件的独立性1-4-12由此可见由此可见但是但是 这这表明表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的但不是相互独立的事件的独立性事件的独立性1-4-132 n个事件的相互独立性：个事件的相互独立性：事件的独立性事件的独立性1-4-143 3 独立随机事件的性质：独立随机事件的性质：（1）其中任意其中任意m(2mn)个随机事件也相互独立个随机事件也相互独立.事件的独立性事件的独立性也相互独立也相互独立.其中其中i1,i2,in是是1,2,n的一个排列的一个排列.1-4-15若若 是相互独立的事件，则是相互独立的事件，则4
7、4 相互独立事件至少有一发生的概率：相互独立事件至少有一发生的概率：事件的独立性事件的独立性对于任意对于任意n个事件个事件1-4-16注注 意意事件的独立性事件的独立性特别地特别地,如果如果则有则有不论不论 p 多么小多么小 假设独立重复进行若干次试验假设独立重复进行若干次试验E,Ai表示第表示第i次试验次试验中事件中事件A出现出现,则前则前n次试验中事件次试验中事件A至少出现一次的至少出现一次的概率概率:若记每次试验事件若记每次试验事件A发生的概率为发生的概率为P(A)=)=p,则则 小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。但是迟早
8、要发生。1-4-17例例5：某人花钱买某人花钱买A、B、C三种不同的奖券各一张，已三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别是知各种奖券中奖的概率分别是P(A)=0.03,P(B)=0.01,P(C)=0.02 且各种奖券中奖是相互独立的，如果只要一且各种奖券中奖是相互独立的，如果只要一种奖券中奖就赚钱，问此人赚钱的概率。种奖券中奖就赚钱，问此人赚钱的概率。解：解：由题意知：计算由题意知：计算由于由于A、B、C是相互独立，且两两互不相容。则是相互独立，且两两互不相容。则或解：或解：事件的独立性事件的独立性1-4-18例例6：甲乙丙甲乙丙3部机床独立工作，由一人照管，它们不部机床独立工作，
9、由一人照管，它们不需要工人照顾的概率分别为需要工人照顾的概率分别为0.9,0.8,0.85.求此段时间内求此段时间内需要工人照顾的概率，无人照顾停工的概率。需要工人照顾的概率，无人照顾停工的概率。解：解：设设A,B,C分别表示分别表示“此段时间内甲、乙、丙机车不此段时间内甲、乙、丙机车不需要工人照顾需要工人照顾”的事件，且的事件，且问题转化为分别求问题转化为分别求于是于是事件的独立性事件的独立性A,B,C是相互独立的是相互独立的ABC表示事件表示事件“不需要工人照顾不需要工人照顾”1-4-19 例例7 设有电路如图，其中设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接点为继电器接点.设各继电器接
10、点闭合与否相互独立，且每一个继电器接设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为点闭合的概率均为p.求求 L至至 R 为通路的概率为通路的概率.LR2134 解解：设事件设事件Ai(i=1,2,3,4)为为“第第i个继电器接点闭合个继电器接点闭合”,L 至至R 为通路这一事件可表示为：为通路这一事件可表示为：事件的独立性事件的独立性A1,A2,A3,A4的相互独立性的相互独立性1-4-20本节要点：本节要点：1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；2）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；3）在独立性条件下，求）在独立性条件下，求n个事件至少发生一个的概率公式：个事件至少发生一个的概率公式：注意：注意：独立事件与互不相容事件的区别与关系；独立事件与互不相容事件的区别与关系；两两独立与相互独立的区别。两两独立与相互独立的区别。事件的独立性事件的独立性