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1、第一章 金属自由电子理论1 目 录1.1金属经典电子气理论1.2索末菲量子电子气理论1.3量子力学及复数基本知识1.4量子电子气的基态性质1.5量子电子气的热性质2本课程从金属自由电子理论开始的原因 1、固体物理学中最简单和最成功的模型；2、金属是最基本的物质状态之一，如：2/3元素为金属；3、引入固体物理学最基本理论和最重要概念，如：量子力学理论，周期性边界条件，状态(波矢 k)空间。本章涉及金属态的二个基本物理模型 1、特鲁德(P.Drude)模型，经典论模型；2、索末菲(A.Sommerfeld)模型，量子模型。学习重点：注重模型的建立和完善过程及主要结论。3模型产生背景：18世纪末，1
2、、人们已熟悉金属导电和导热特性；2、汤姆逊1897年发现金属中存在电子(e/m测定)；3、分子运动论处理理想气体十分成功。1.1 金属的经典电子气理论1.1.1 特鲁德模型及其基本假设特鲁德处理方法：1、金属原子结构：离子实和价电子构成；离子实：原子核+封闭壳层内电子(芯电子)；价电子：封闭壳层外电子；2、金属凝胶模型：离子实系统+传导电子系统，即：离子实无规堆积在一起，价电子在整个金属中自由运动。一个理想气体的模型。41.1 金属的经典电子气理论1.1.1 特鲁德模型及其基本假设价电子：封闭壳层外电子eZa为金属原子正电荷数-e(Za-Z)为芯电子数-eZ为价电子数特鲁德金属凝胶模型理想气体
3、模型理想气体模型离子实：原子核+封闭壳层内电子(芯电子)离子实无规堆积在一起价电子在整个金属中自由运动53、计算传导电子浓度 设，金属原子量为 A，质量密度为m，则，每立方厘米金属的摩尔数为 m/A 另设，每个金属原子提供价电子为 Z，则，根据摩尔金属原子数 0.60221023，每立方厘米金属的传导电子浓度为 上式中 V，N 分别为金属的体积和总传导电子数目。定义：电子半径 rs，(每个电子平均占据以 rs为半径的球)实验测得一般金属 n 为 1023/cm3 量级(比理想气体标准状态大了103倍)，rs 为10-1nm 量级。1.1 金属的经典电子气理论1.1.1 特鲁德模型及其基本假设6
4、4、适当假设，电子气系统服从理想气体运动学理论 (1)无碰撞时，电子-电子，电子-离子实无相互作用。则，无外场时，电子做匀速直线运动，有外场时，服从牛顿定律。独立自由电子近似，总能量为动能之和，无势能。(2)碰撞改变电子速度。忽略电子-电子碰撞，碰撞由电子碰到离子实反弹构成。(3)单位时间内电子发生碰撞几率为 1/。为二次碰撞平均间隔(弛豫)时间，并令 与电子位置及速度无关。(4)电子与环境的热平衡由碰撞实现。碰撞前后电子速度无关联，方向随机，大小与碰撞处的温度相适应。给出自由独立电子假设给出运动状态改变机制给出电子平均自由程计算方法给出热平衡实现途径1.1 金属的经典电子气理论1.1.1 特
5、鲁德模型及其基本假设7例1：成功解释了金属直流电导，给出欧姆定律设，金属电子密度 n，平均速度 V平，则，电流密度 无外场时，由理想气体分子无规运动，V平=0 有外场时，电子附加定向速度，V平 0线性关系微观解释1.1 金属的经典电子气理论1.1.2 特鲁德模型的成功与失败全部电子求平均，代入欧姆定律，即：第二次碰撞前速度为考察一个电子，在电场 E 下受力 eE 作用，并设二次碰撞间有 t 时间的自由程，首次碰撞后速度为 V0 (与无场下一致)，8例2：自洽解释金属电子弛豫时间和平均自由程。由上例已知电子碰撞弛豫时间表达为，实验测定 m、n、e和，可得 如：金属铜，当 T=273K，=1.56
6、cm，有另一方面，经典论能均分定律，得金属铜平均速度，可求平均自由程，为 1 nm 以下，恰为金属原子间距。电子平均自由程与金属离子实间隔同数量级的结果与特鲁德模型自洽-电子只与离子实碰撞。但是，在低温下的实验表明，金属电子平均自由程可达十几个nm，将由量子力学解释。1.1 金属的经典电子气理论1.1.2 特鲁德模型的成功与失败9例3：无法解释金属低温比热实验结果 根据理想气体服从的玻尔兹曼统计规律，每个电子平均能量服从能均分定律，金属电子气内能密度 可求出电子比热为结果与温度无关。但是，精确的实验数据表明，在低温下，电子对金属比热的贡献与温度的一次方成正比，即，将由量子力学模型及费米统计规律
7、来解释。1.1 金属的经典电子气理论1.1.2 特鲁德模型的成功与失败101.2 金属的量子电子气理论1.2.1 索末菲模型及其与特鲁德模型的区别相同点：均视价电子为理想电子气。无相互作用，各自独立地在平均势场(可取为势能零点)中运动。区别点：(1)电子运动服从量子力学，电子具有波粒二象性，运动由薛定鄂方程描述。在经典理论中，电子运动服从牛顿力学方程。(2)电子状态的分布，服从泡里不相容原理及费米统计分布。在经典理论中，电子能量状态的分布，服从玻尔兹曼分布。(3)电子能量具有基态性质和激发态性质。在经典理论中，电子能量服从能均分定律，随温度成线性连续变化。11一、光的波粒二象性和微粒的波粒二象
8、性 (1)十九世纪末，经典物理学已相当完善 1、机械运动 -牛顿定律，理论力学 2、电磁现象 -麦克斯韦方程，电动力学 3、光的现象 -线性光学及衍射理论 4、热的现象 -热力学及统计物理学 似乎所有物理现象都可以得到合理解释。但是，不久物理学家遇到了新的问题。1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习12(2)光电效应 1、光照射金属，有电子从表面逸出-光电子产生。2、光电子能否产生与光强度无关，只当光频率大于一定值，才能有光电子产生。3、光电子能量与光强度(亮度)无关；光频率越高，光电子能量越大。爱因斯坦用光量子化假设给出了光电效应合理解释，他认为：1、光吸收和发射
9、，以光量子(微粒)形式表现，称为光子；2、光子具有动量和能量，与光的频率和波矢的关系为：1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习13(3)电子衍射现象S电子源P接受屏S1S2狭缝 电子衍射花样电子衍射花样同时释放和单个连续释放有完全相同电子衍射花样。重要特征：1、电子的波的属性，2、电子在空间和时间上出现几率遵从一定 的统计规律。微观粒子的波粒二象性-德布罗意假说 德布罗意关系式1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习14由 k 是常数，当 r 在 R 上，有 k r=常数 从而在 R 平面上，有 。(4)自由粒子的波函数描述 因为是自由粒子
10、，其粒子属性 E，P 是常数，由德布罗意关系，其波的属性，k 也是常数。可以验证，自由粒子的波是平面波，可用函数 来描述 考察 t 时刻，垂直于 k 的 R 平面上的振动R 平面上振动状态相同，R 平面是波阵面。或，波阵面是平面，即，为平面波r1r21.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习即：0k=常数常数R15二、波函数和薛定鄂方程(1)波函数 量子力学用函数描述微观粒子的波动性质(状态)这一函数称为波函数。自由粒子的波函数是平面波-波函数的特例。(2)波函数的物理意义 -几率波 电子衍射实验表明了波函数的这一物理意义的客观事实：微观粒子的波动性-衍射花样，是大量粒
11、子在同一实验中的统计结果，也是单个粒子在相同实验中的统计结果。1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习16粒子波函数的玻恩统计解释：波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比例-几率波 式中，d 为d 体积元中找到粒子的几率，c 为归一化常数。(3)薛定鄂方程 量子力学中微观粒子状态的变化，由薛定鄂方程描述 薛定鄂方程人为构造，正确性由实验验证。1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习Nabla 17(4)自由粒子波函数的验证 因为，所以，薛定鄂方程为 将 代入求解，即：符合自由粒子能量和动量的关系。1.2 金属
12、的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习18(5)定态波函数，定态薛定鄂方程 当 U(r)与时间无关(如：固体中的微粒状态)令 有 薛定鄂方程 写作 称 为定态波函数，上式为定态薛定鄂方程，式中 为能量算符(哈密顿算符)1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习19(6)本征方程、本征函数和本征值 一个算符作用于一个函数，得到一个常数和函数本身 如：为能量算符的本征方程 为能量算符的本征函数 为能量算符的本征值 在量子力学中，粒子处在本征态，如：能量本征态，则，粒子能量具有确定值 E-本征态 所对应的本征值。1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学
13、及复数基本知识复习20三、量子力学中的力学量 力学量用算符来表示，如：坐标算符 动量算符 哈密顿算符 关于量子力学算符的几个重要性质 1、量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符 2、厄米算符的本征函数具有正交性 3、厄米算符的本征函数构成完备系 4、二个力学量算符之间的对易关系1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习21(1)量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符 即，这是由算符本征值是力学量的可能取值，从而是实数决定的。证明，设，是算符 的本征值和本征函数1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习即：22(2)厄米算符的本征函数具有正交性 即
14、当，1i是 的本征函数(设已归一化处理)1i是对应的本征值 则可证明，当 厄米，有 证明，由厄米性质 得 所以应有 即，1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习23(3)厄米算符的本征函数构成完备系，求力学量的平均值 设，算符的本征函数为n(x)，对应本征值为n，则任一波函 数(x)，都可按n(x)展开 当系统处在波函数(x)描写的状态，测量力学量G的值，必定 是 的本征值之一 n，测得 n 的几率是 力学量的平均值表示为 证明，1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习12=9=7=18=1224(4)二个力学量算符之间的对易关系 可以证明：
15、当二个算符对易，则，力学量 F 和 G 构成完备系的共同本征态，同时有确定的值。当二个算符不对易，有 是一个不为零的常数。测不准关系，力学量 F 和 G 不能同时确定。1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习25四、复数的基本运算 (1)虚数单位的多次方 (2)复数的三种表达式 代数式：三角式：指数式：相互关系：0 x 实轴iy 虚轴r 模 幅角baA(a+bi)1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习26(3)复数的运算 代数式：三角式：指数式：1.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习27(4)固体物理学常用的一个复数性质 上述复数，模 r=1 幅角 =2 n 在复平面上，矢量躺在实轴上，指向正方向 模量为1 虚部恒为零。0 x 实轴iy 虚轴模r=1幅角=2nb=0a=11.2 金属的量子电子气理论1.2.2 量子力学及复数基本知识复习28