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1、17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载土木工程学院土木工程学院工程力学学科组工程力学学科组 李强李强HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 结构力学结构力学1哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载17.1 17.1 极限荷载的概述极限荷载的概述此前主要讨论结构的弹性分析此前主要讨论结构的弹性分析：假定应力应变关系是线性的；假定应力应变关系是线性的；荷载卸去后，结构无任何残余变形；荷载卸去后，结构无任何残余变形；应力达到材料的极限应力即认为结构将应力达到材料的极限应力即认为结构将 破坏；破坏；
2、正常使用条件下弹性计算能给出足够准正常使用条件下弹性计算能给出足够准正常使用条件下弹性计算能给出足够准正常使用条件下弹性计算能给出足够准确的结果；确的结果；确的结果；确的结果；以弹性极限作为设计依据的设计方法称以弹性极限作为设计依据的设计方法称以弹性极限作为设计依据的设计方法称以弹性极限作为设计依据的设计方法称弹性设计法弹性设计法弹性设计法弹性设计法。2哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载弹性设计法有一定的缺陷弹性设计法有一定的缺陷弹性设计法有一定的缺陷弹性设计法有一定的缺陷：对塑性材料的结构，特别是超静定结构，当对塑性材料的结构，
3、特别是超静定结构，当对塑性材料的结构，特别是超静定结构，当对塑性材料的结构，特别是超静定结构，当最大应力达到屈服极限时，甚至某些截面进最大应力达到屈服极限时，甚至某些截面进最大应力达到屈服极限时，甚至某些截面进最大应力达到屈服极限时，甚至某些截面进入屈服时，并没有耗尽全部承载能力；入屈服时，并没有耗尽全部承载能力；入屈服时，并没有耗尽全部承载能力；入屈服时，并没有耗尽全部承载能力；以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承载能力不经济合理；载能力不经济合理；载能力不经济合理；载能力不经
4、济合理；安全系数安全系数安全系数安全系数 k k 也不能反映整个结构的强度储备。也不能反映整个结构的强度储备。也不能反映整个结构的强度储备。也不能反映整个结构的强度储备。3哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的能力，给达到弹性极限的
5、结构继续施加同样形式的荷载，直至结构破坏。荷载，直至结构破坏。荷载，直至结构破坏。荷载，直至结构破坏。结构所能够承担的最大荷载叫作结构所能够承担的最大荷载叫作结构所能够承担的最大荷载叫作结构所能够承担的最大荷载叫作极限荷载极限荷载极限荷载极限荷载；结构即将达到破坏时的状态称作结构即将达到破坏时的状态称作结构即将达到破坏时的状态称作结构即将达到破坏时的状态称作极限状态极限状态极限状态极限状态；按极限状态进行结构设计的方法称按极限状态进行结构设计的方法称按极限状态进行结构设计的方法称按极限状态进行结构设计的方法称塑性设计法塑性设计法塑性设计法塑性设计法。结构的塑性分析结构的塑性分析弹性设计时的强度
6、条件：弹性设计时的强度条件：塑性设计时的荷载条件：塑性设计时的荷载条件：4哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载理想弹塑性材料假设：理想弹塑性材料假设：理想弹塑性材料假设：理想弹塑性材料假设：OACBD 在在在在OAOA段线性，满足段线性，满足段线性，满足段线性，满足在在在在C C点卸载，满足点卸载，满足点卸载，满足点卸载，满足 在在在在ABAB段段段段应应应应力力力力达达达达到到到到屈屈屈屈服服服服，材料进入塑性流动；材料进入塑性流动；材料进入塑性流动；材料进入塑性流动；加载时是弹塑性，卸载时是弹性加载时是弹塑性，卸载时是弹性加载时
7、是弹塑性，卸载时是弹性加载时是弹塑性，卸载时是弹性。经历塑性变形后，应力应变关系不再是单值关系经历塑性变形后，应力应变关系不再是单值关系经历塑性变形后，应力应变关系不再是单值关系经历塑性变形后，应力应变关系不再是单值关系5哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载满足理想弹塑性的梁段，在纯弯曲状态下分析满足理想弹塑性的梁段，在纯弯曲状态下分析满足理想弹塑性的梁段，在纯弯曲状态下分析满足理想弹塑性的梁段，在纯弯曲状态下分析中性轴中性轴中性轴中性轴17.2 17.2 基本概念基本概念 中性轴中性轴中性轴中性轴6哈工大哈工大 土木工程学院土木工
8、程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载随着弯矩的增大，梁会经历一个由随着弯矩的增大，梁会经历一个由随着弯矩的增大，梁会经历一个由随着弯矩的增大，梁会经历一个由弹性阶段弹性阶段弹性阶段弹性阶段到到到到弹塑性阶段弹塑性阶段弹塑性阶段弹塑性阶段最后达到最后达到最后达到最后达到塑性流动塑性流动塑性流动塑性流动阶段的过程阶段的过程阶段的过程阶段的过程 当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大以当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大以当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大以当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大以后，截面上的应变分布仍与截面高度呈线性后，截面上的应变分布仍与截面高度呈线性
9、后，截面上的应变分布仍与截面高度呈线性后，截面上的应变分布仍与截面高度呈线性关系，即平截面假定仍然适用。但截面上的关系，即平截面假定仍然适用。但截面上的关系，即平截面假定仍然适用。但截面上的关系，即平截面假定仍然适用。但截面上的应力分布不再与截面高度保持线性关系。应力分布不再与截面高度保持线性关系。应力分布不再与截面高度保持线性关系。应力分布不再与截面高度保持线性关系。7哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载弹性阶段弹性阶段弹性阶段弹性阶段 结束的标志是最外纤维某处结束的标志是最外纤维某处结束的标志是最外纤维某处结束的标志是最外纤维某
10、处应力达到屈服极限应力应力达到屈服极限应力应力达到屈服极限应力应力达到屈服极限应力 s s ，此时的弯矩，此时的弯矩，此时的弯矩，此时的弯矩称称称称屈服弯矩屈服弯矩屈服弯矩屈服弯矩 MMs s。W W 弹性抗弯截面系数弹性抗弯截面系数弹性抗弯截面系数弹性抗弯截面系数 弹塑性阶段弹塑性阶段弹塑性阶段弹塑性阶段 截面上既有塑性区又截面上既有塑性区又截面上既有塑性区又截面上既有塑性区又有弹性区（有弹性区（有弹性区（有弹性区（弹性核弹性核弹性核弹性核 y y0 0）。）。）。）。随弯矩增随弯矩增随弯矩增随弯矩增大，弹性核逐渐减小。大，弹性核逐渐减小。大，弹性核逐渐减小。大，弹性核逐渐减小。yy0y8哈
11、工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载塑塑塑塑性性性性流流流流动动动动阶阶阶阶段段段段 弹弹弹弹性性性性核核核核趋趋趋趋于于于于零零零零时时时时，整整整整个个个个截截截截面面面面都都都都屈屈屈屈服服服服，此此此此时时时时截截截截面面面面所所所所能能能能承承承承受受受受的的的的最大弯矩称最大弯矩称最大弯矩称最大弯矩称极限弯矩极限弯矩极限弯矩极限弯矩 MMu u ：中性轴等分截面面积中性轴等分截面面积中性轴等分截面面积中性轴等分截面面积 Wu 塑性抗弯截面系数塑性抗弯截面系数9哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析
12、和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载截面形状系数截面形状系数矩形矩形矩形矩形 =1.5=1.5=1.5=1.5 圆圆圆圆形形形形 1.71.71.71.7 工字工字工字工字形形形形 1.151.151.151.15 屈服弯矩屈服弯矩Ms 、极限弯矩、极限弯矩Mu只与材料的物理性只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关质和截面几何形状、尺寸有关,与外力无关与外力无关何种截面强何种截面强度储备较多度储备较多？10哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载塑性流动阶段一个重要现象：塑性流动阶段一个重要现象：塑性流动阶段一个重要现象：塑性流动阶段
13、一个重要现象：在在在在极极极极限限限限弯弯弯弯矩矩矩矩保保保保持持持持不不不不变变变变的的的的情情情情况况况况下下下下，两两两两个个个个无无无无限限限限靠靠靠靠近近近近的的的的相相相相邻邻邻邻截截截截面面面面可可可可产生有限的相对转角（类似带铰的截面）称此截面为产生有限的相对转角（类似带铰的截面）称此截面为产生有限的相对转角（类似带铰的截面）称此截面为产生有限的相对转角（类似带铰的截面）称此截面为塑性铰塑性铰塑性铰塑性铰。塑性铰特性：塑性铰特性：塑性铰特性：塑性铰特性：塑性铰与普通铰的差别塑性铰与普通铰的差别：1.1.1.1.塑性铰可承受极限弯矩普通铰不承担弯矩塑性铰可承受极限弯矩普通铰不承担
14、弯矩塑性铰可承受极限弯矩普通铰不承担弯矩塑性铰可承受极限弯矩普通铰不承担弯矩 2.2.2.2.塑性铰是单向的普通铰是多向铰塑性铰是单向的普通铰是多向铰塑性铰是单向的普通铰是多向铰塑性铰是单向的普通铰是多向铰 3.3.3.3.塑性铰卸载时消失普通铰与荷载无关塑性铰卸载时消失普通铰与荷载无关塑性铰卸载时消失普通铰与荷载无关塑性铰卸载时消失普通铰与荷载无关 4.4.4.4.塑性铰随荷载分布可出现于不同截面普通铰位置固定塑性铰随荷载分布可出现于不同截面普通铰位置固定塑性铰随荷载分布可出现于不同截面普通铰位置固定塑性铰随荷载分布可出现于不同截面普通铰位置固定 塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；塑性铰
15、只能沿极限弯矩方向发生有限转角；塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；截面弯矩一旦小于极限弯矩截面弯矩一旦小于极限弯矩截面弯矩一旦小于极限弯矩截面弯矩一旦小于极限弯矩(卸载卸载卸载卸载)，塑性铰即消失。，塑性铰即消失。，塑性铰即消失。，塑性铰即消失。11哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载对只有一个对称轴的截面：对只有一个对称轴的截面：对只有一个对称轴的截面：对只有一个对称轴的截面：形 心 轴等面积轴在弹性阶段，应力直线分布，中性轴通过截面形心；在弹性阶段，应力直线分布，中性轴通过截面形心；在弹
16、性阶段，应力直线分布，中性轴通过截面形心；在弹性阶段，应力直线分布，中性轴通过截面形心；弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段，中弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段，中弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段，中弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段，中性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。中性轴中性轴在弹塑性阶段，随弯矩增大中性轴的位置发生变化；在弹塑性阶段，随弯矩增大中性轴的位置发生变化；在弹塑性阶段，随弯矩增大中性轴的位置发生变化；在弹塑性阶段，随弯矩增大中性轴的位置发生变化；在塑性流动阶段，中性
17、轴平分截面面积。在塑性流动阶段，中性轴平分截面面积。在塑性流动阶段，中性轴平分截面面积。在塑性流动阶段，中性轴平分截面面积。12哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载例题：例题：已知材料的屈服极限已知材料的屈服极限s =240MPa，求图示截面的极，求图示截面的极限弯矩。限弯矩。100100mm 2020mm解解:A1 形心距离下端形心距离下端0.045m A2 形心距离上端形心距离上端0.01167mA1与与A2的形心距离为的形心距离为0.0633m13哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的
18、塑性分析和极限荷载历程：历程：历程：历程：加载初期加载初期加载初期加载初期 弹性极限弹性极限弹性极限弹性极限荷载荷载荷载荷载 塑性区扩大塑性区扩大塑性区扩大塑性区扩大 形形形形成塑性铰（机构）成塑性铰（机构）成塑性铰（机构）成塑性铰（机构）极极极极限荷载限荷载限荷载限荷载 17.3 17.3 静定梁的极限荷载静定梁的极限荷载 出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上的荷载即出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载为极限荷载FPu。塑性铰出现的位置？塑性铰出现的位置？如何确定极限荷载？如何确定极限荷载？FPl/2l/2ABC（取截面弯矩与极限弯矩之比大者）（取截面弯矩与极限弯矩
19、之比大者）（截面弯矩等于极限弯矩，平衡条件）（截面弯矩等于极限弯矩，平衡条件）14哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载FPl/2l/2ABC也可通过建立极限状态的虚功方程求出极限荷载。也可通过建立极限状态的虚功方程求出极限荷载。由虚功方程由虚功方程FPu当把截面当把截面C 的极限弯矩的极限弯矩考虑成考虑成内力矩内力矩时：时：平衡状态平衡状态虚位移状态虚位移状态15哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载FPl/2l/2ABC也可通过建立极限状态的虚功方程求出极限荷载。也可通过
20、建立极限状态的虚功方程求出极限荷载。由虚功方程由虚功方程FPu当把截面当把截面C 的极限弯矩的极限弯矩考虑成考虑成外力矩外力矩时：时：平衡状态平衡状态虚位移状态虚位移状态16哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 静定梁只要出现一个塑性铰就变为机构而丧静定梁只要出现一个塑性铰就变为机构而丧静定梁只要出现一个塑性铰就变为机构而丧静定梁只要出现一个塑性铰就变为机构而丧失继续承载能力；失继续承载能力；失继续
21、承载能力；失继续承载能力；超静定梁由于有多余约束，必须出现足够多超静定梁由于有多余约束，必须出现足够多超静定梁由于有多余约束，必须出现足够多超静定梁由于有多余约束，必须出现足够多的塑性铰才能使其变成机构而丧失继续承载的塑性铰才能使其变成机构而丧失继续承载的塑性铰才能使其变成机构而丧失继续承载的塑性铰才能使其变成机构而丧失继续承载能力。能力。能力。能力。17.4 17.4 单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载 17哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载弹弹塑塑性性阶阶段段，随随荷荷载载增增加加，A截截 面面 塑塑 性性区区不不断
22、断增增大大，弯弯矩矩图图的的变变化化不不再再与与弹弹性性弯弯矩矩图图成成比比 例例，A截截面面逐逐渐渐形形成成塑性铰。塑性铰。FPl/2l/2ABCFP FPsABCFPs FP FPuABCFP=FPuABC此时结构尚有进一步承此时结构尚有进一步承载能力。随荷载增加，载能力。随荷载增加，A截面弯矩不再增加。荷截面弯矩不再增加。荷载增量引起的弯矩增量载增量引起的弯矩增量分布类似于简支粱的弯分布类似于简支粱的弯矩图。矩图。C截面弯矩逐渐增截面弯矩逐渐增大，当大，当C截面弯矩增大到截面弯矩增大到极限弯矩时，形成第二极限弯矩时，形成第二个塑性铰，结构变成机个塑性铰，结构变成机构，梁的承载能力达到构，
23、梁的承载能力达到极限。极限。18哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载A 截面先出现塑性铰，这时截面先出现塑性铰，这时再增加荷载使再增加荷载使C 截面出现塑性铰截面出现塑性铰将将FP代入，得代入，得逐渐加载法（增量法）逐渐加载法（增量法）19哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载根据极限状态的弯矩图，由静力平衡方程推算极限荷根据极限状态的弯矩图，由静力平衡方程推算极限荷根据极限状态的弯矩图，由静力平衡方程推算极限荷根据极限状态的弯矩图，由静力平衡方程推算极限荷载，而不必考虑梁
24、的弹塑性变形的发展过程载，而不必考虑梁的弹塑性变形的发展过程载，而不必考虑梁的弹塑性变形的发展过程载，而不必考虑梁的弹塑性变形的发展过程.破坏机构法破坏机构法 FP=FPuAB极限平衡法极限平衡法FP=FPuABC20哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载例题：例题：例题：例题：试求图示结构的极限荷载试求图示结构的极限荷载试求图示结构的极限荷载试求图示结构的极限荷载 q qu u 解：解：解：解：qABABq首先求当出现第一个首先求当出现第一个首先求当出现第一个首先求当出现第一个塑性铰时支座塑性铰时支座塑性铰时支座塑性铰时支座B B
25、的约的约的约的约束反力束反力束反力束反力F FR RB B由梁的弯矩图可由梁的弯矩图可由梁的弯矩图可由梁的弯矩图可知：第一个塑性知：第一个塑性知：第一个塑性知：第一个塑性铰必出现在固定铰必出现在固定铰必出现在固定铰必出现在固定支座处；支座处；支座处；支座处；21哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载第二个塑性铰位置待定，由弯矩图知道，应在梁中某第二个塑性铰位置待定，由弯矩图知道，应在梁中某第二个塑性铰位置待定，由弯矩图知道，应在梁中某第二个塑性铰位置待定，由弯矩图知道，应在梁中某处，设距处，设距处，设距处，设距支座支座支座支座A A为
26、为为为x x 处。处。处。处。梁梁梁梁x x 处处处处的弯矩应最大的弯矩应最大的弯矩应最大的弯矩应最大,达到达到达到达到极限弯矩，对应剪力为零。极限弯矩，对应剪力为零。极限弯矩，对应剪力为零。极限弯矩，对应剪力为零。qAB22哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载由由由由 解得解得解得解得由由由由 解得解得解得解得由由由由 解得解得解得解得不合题意，舍弃不合题意，舍弃不合题意，舍弃不合题意，舍弃23哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载超静定结构极限荷载计算特点：超静定结构极
27、限荷载计算特点：超静定结构极限荷载计算特点：超静定结构极限荷载计算特点：极极极极限限限限荷荷荷荷载载载载的的的的计计计计算算算算不不不不受受受受温温温温度度度度变变变变化化化化、支支支支座座座座移移移移动动动动等等等等因素的影响。它们只影响位移演变过程。因素的影响。它们只影响位移演变过程。因素的影响。它们只影响位移演变过程。因素的影响。它们只影响位移演变过程。无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需考虑最后的破坏机构；只需考虑最后的破坏机构；只需考虑最后的破坏机构；只需考虑最后的破坏机构；无需考
28、虑变形协调，无需考虑变形协调，无需考虑变形协调，无需考虑变形协调，只需考虑静力平衡条件；只需考虑静力平衡条件；只需考虑静力平衡条件；只需考虑静力平衡条件；24哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载例题：例题：例题：例题：求变截面梁的极限荷载求变截面梁的极限荷载求变截面梁的极限荷载求变截面梁的极限荷载可能出现塑性铰的位置（可能出现塑性铰的位置（可能出现塑性铰的位置（可能出现塑性铰的位置（A A、B B、C C）。即塑性铰可能出现）。即塑性铰可能出现）。即塑性铰可能出现）。即塑性铰可能出现的位置除弯矩较大点外，还的位置除弯矩较大点外，还的
29、位置除弯矩较大点外，还的位置除弯矩较大点外，还与截面突变位置及极限弯矩与截面突变位置及极限弯矩与截面突变位置及极限弯矩与截面突变位置及极限弯矩的比值的比值的比值的比值有关。有关。有关。有关。ABCFPl/3l/3l/3D解：解：解：解：首先绘制弯矩图首先绘制弯矩图首先绘制弯矩图首先绘制弯矩图25哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载破坏机构实现的条件：破坏机构实现的条件：破坏机构实现的条件：破坏机构实现的条件：（1 1 1 1）B B、C C 点出现塑性铰点出现塑性铰点出现塑性铰点出现塑性铰 则：则：则：则：FPMuMuMuMuABC
30、DABCFPD26哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载破坏机构实现的条件：破坏机构实现的条件：破坏机构实现的条件：破坏机构实现的条件：（2 2 2 2）A A、C C点出现塑性铰点出现塑性铰点出现塑性铰点出现塑性铰 则：则：则：则：（3 3 3 3）A A、B B、C C点出现塑点出现塑点出现塑点出现塑性铰性铰性铰性铰 则：则：则：则：FPABCDABCFPD27哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载由上述分析可见由上述分析可见:当当3时，塑性铰出现在时，塑性铰出现在B B
31、、C C 截面；截面；当当1 3 时，塑性铰出现在时，塑性铰出现在A A、C C 截面；截面；预计当预计当 1 时，塑性铰出现在时，塑性铰出现在A A、B B 截面。截面。28哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载例题：例题：求图示变截面梁的极限荷载求图示变截面梁的极限荷载(=2)解：解：确定塑性铰的位置：确定塑性铰的位置：ABCFPl/3l/3l/3D由于由于=2，根据前面的，根据前面的讨论，塑性铰只能在讨论，塑性铰只能在A、C 截面出现。截面出现。列虚功方程列虚功方程ABCFPDABCD当当 1 时时，将如何？，将如何？1/2 时
32、又当如何？时又当如何？29哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载比例加载的含义比例加载的含义比例加载的含义比例加载的含义：求极限荷载相当于求比例参数求极限荷载相当于求比例参数 P 的极限值的极限值FP1FP3q25 5 比例加载一般定理比例加载一般定理1.1.1.1.所有荷载变化时保持同一比例；所有荷载变化时保持同一比例；所有荷载变化时保持同一比例；所有荷载变化时保持同一比例；2.2.2.2.只是单调增大只是单调增大只是单调增大只是单调增大,不出现卸载过程。不出现卸载过程。不出现卸载过程。不出现卸载过程。30哈工大哈工大 土木工程学院
33、土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载结构的极限受力状态应满足的条件：结构的极限受力状态应满足的条件：结构的极限受力状态应满足的条件：结构的极限受力状态应满足的条件：两个定义两个定义两个定义两个定义：1.1.1.1.可破坏荷载可破坏荷载可破坏荷载可破坏荷载 ，由单向机构求得的荷载，由单向机构求得的荷载，由单向机构求得的荷载，由单向机构求得的荷载 2.2.2.2.可接受荷载可接受荷载可接受荷载可接受荷载 ，内力皆不超过极限弯矩的荷载，内力皆不超过极限弯矩的荷载，内力皆不超过极限弯矩的荷载，内力皆不超过极限弯矩的荷载 所以所以所以所以 满足满足满足满足1 1 1
34、1，3 3 3 3条件；条件；条件；条件；满足满足满足满足1 1 1 1，2 2 2 2条件。条件。条件。条件。极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载 平衡条件：整体、局部皆平衡；平衡条件：整体、局部皆平衡；平衡条件：整体、局部皆平衡；平衡条件：整体、局部皆平衡；内力局限：各截面弯矩不大于其极限弯矩；内力局限：各截面弯矩不大于其极限弯矩；内力局限：各截面弯矩不大于其极限弯矩；内力局限：各截面弯矩不大于其极限弯矩；单向机构：机构沿荷载方向做单向运动。单向机构：机构沿荷载方向做单向运动。单向机
35、构：机构沿荷载方向做单向运动。单向机构：机构沿荷载方向做单向运动。31哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载基本定理：基本定理：基本定理：基本定理：唯一定理唯一定理唯一定理唯一定理(单值定理单值定理单值定理单值定理)：FPu 是唯一的是唯一的 上限定理上限定理上限定理上限定理(极小定理极小定理极小定理极小定理)：下限定理下限定理下限定理下限定理(极大定理极大定理极大定理极大定理)：比例加载时关于极限荷载的四个定理：比例加载时关于极限荷载的四个定理：比例加载时关于极限荷载的四个定理：比例加载时关于极限荷载的四个定理：可破坏荷载：不一定满
36、足内力局限条件可破坏荷载：不一定满足内力局限条件可接受荷载：不一定满足机构条件可接受荷载：不一定满足机构条件32哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载利用上、下限定理，一方面可以得出极限荷载的利用上、下限定理，一方面可以得出极限荷载的利用上、下限定理，一方面可以得出极限荷载的利用上、下限定理，一方面可以得出极限荷载的近似解，并给出精确解的范围；另一方面可用来近似解，并给出精确解的范围；另一方面可用来近似解，并给出精确解的范围；另一方面可用来近似解，并给出精确解的范围；另一方面可用来求极限荷载的精确解。求极限荷载的精确解。求极限荷载的精
37、确解。求极限荷载的精确解。穷举法穷举法穷举法穷举法：完备地列出可能的破坏机构，用平衡条件求完备地列出可能的破坏机构，用平衡条件求完备地列出可能的破坏机构，用平衡条件求完备地列出可能的破坏机构，用平衡条件求出各破坏荷载，利用上限定理取其最小者即出各破坏荷载，利用上限定理取其最小者即出各破坏荷载，利用上限定理取其最小者即出各破坏荷载，利用上限定理取其最小者即极限荷载。极限荷载。极限荷载。极限荷载。试算法试算法试算法试算法：每次选择一种破坏机构，并验算相应的可破每次选择一种破坏机构，并验算相应的可破每次选择一种破坏机构，并验算相应的可破每次选择一种破坏机构，并验算相应的可破坏荷载是否同时也是可接受荷
38、载，如果是，坏荷载是否同时也是可接受荷载，如果是，坏荷载是否同时也是可接受荷载，如果是，坏荷载是否同时也是可接受荷载，如果是，根据唯一性定理，它即极限荷载。根据唯一性定理，它即极限荷载。根据唯一性定理，它即极限荷载。根据唯一性定理，它即极限荷载。33哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载例题：例题：求图示等截面梁的极限荷载。求图示等截面梁的极限荷载。解：解：用穷举法求解用穷举法求解共有三种可能的破坏机构共有三种可能的破坏机构FPl/3l/3l/3FPFPFPFPFPFPFP34哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑
39、性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载令令令令解：解：用上限定理（极小定用上限定理（极小定理）计算理）计算例题：例题：求图示等截面梁的极限荷载。求图示等截面梁的极限荷载。AB 平衡状态平衡状态虚位移状态虚位移状态35哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载 连续梁破坏机构的形式连续梁破坏机构的形式连续梁破坏机构的形式连续梁破坏机构的形式：假定连续梁在每跨内为等截面假定连续梁在每跨内为等截面假定连续梁在每跨内为等截面假定连续梁在每跨内为等截面(各跨之间截面可以各跨之间截面可
40、以各跨之间截面可以各跨之间截面可以不同不同不同不同)；荷载方向相同；比例加载。；荷载方向相同；比例加载。；荷载方向相同；比例加载。；荷载方向相同；比例加载。这样的连续梁只可能在各跨独立形成单梁破坏机构，这样的连续梁只可能在各跨独立形成单梁破坏机构，这样的连续梁只可能在各跨独立形成单梁破坏机构，这样的连续梁只可能在各跨独立形成单梁破坏机构，而不能由相邻几跨形成一个联合破坏机构。而不能由相邻几跨形成一个联合破坏机构。而不能由相邻几跨形成一个联合破坏机构。而不能由相邻几跨形成一个联合破坏机构。弹性状态弯矩图弹性状态弯矩图FP1FP2FP3假设截面极限正弯矩与截面极限负弯矩数值相等；假设截面极限正弯矩
41、与截面极限负弯矩数值相等；假设截面极限正弯矩与截面极限负弯矩数值相等；假设截面极限正弯矩与截面极限负弯矩数值相等；忽略轴力和剪力的影响。忽略轴力和剪力的影响。忽略轴力和剪力的影响。忽略轴力和剪力的影响。36哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载可能的各种破坏机构可能的各种破坏机构可能的各种破坏机构可能的各种破坏机构 FP1FP2FP3FP1FP2FP3FP1FP2FP3关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释 或某几
42、跨或某几跨同时破坏同时破坏37哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载显然由于它们都不满足极限条件显然由于它们都不满足极限条件显然由于它们都不满足极限条件显然由于它们都不满足极限条件（塑性铰沿极限弯矩方向产生）（塑性铰沿极限弯矩方向产生）（塑性铰沿极限弯矩方向产生）（塑性铰沿极限弯矩方向产生）FP1FP2FP3FP1FP2FP3不可能的各种破坏机构不可能的各种破坏机构不可能的各种破坏机构不可能的各种破坏机构 关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释关于连续梁
43、极限荷载对应单跨破坏机构的解释 38哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载例题：例题：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的，求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的，AB、BC 跨的极限弯矩为跨的极限弯矩为Mu，CD跨的极限弯矩为跨的极限弯矩为3Mu。解：解：先分别求出各跨独自破坏时的可破坏荷载先分别求出各跨独自破坏时的可破坏荷载.（1 1）AB跨破坏时跨破坏时（2 2）BC跨破坏时跨破坏时（3 3）CD跨破坏时有三种情况：跨破坏时有三种情况：0.8FPFPll2llllFPFP/lABCD39哈工大哈工大 土木工程学院土木工
44、程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载首先确定可能破坏机构首先确定可能破坏机构首先确定可能破坏机构首先确定可能破坏机构，然后利用，然后利用，然后利用，然后利用虚功原理求最小可破坏荷载。虚功原理求最小可破坏荷载。虚功原理求最小可破坏荷载。虚功原理求最小可破坏荷载。刚架的超静定次数刚架的超静定次数刚架的超静定次数刚架的超静定次数 n n，可能出现的，可能出现的，可能出现的，可能出现的塑性铰个数塑性铰个数塑性铰个数塑性铰个数h h(出现一个塑性铰相当减出现一个塑性铰相当减出现一个塑性铰相当减出现一个塑性铰相当减少一个约束或增加一个运动自由度少一个约束或增加一个运动自由度少
45、一个约束或增加一个运动自由度少一个约束或增加一个运动自由度),),),),则刚架可能有的基本机构数为则刚架可能有的基本机构数为则刚架可能有的基本机构数为则刚架可能有的基本机构数为 m=h-n2FPFP2FPFP刚架的极限荷载刚架的极限荷载刚架的极限荷载刚架的极限荷载m=h n532即两个基本机构即两个基本机构40哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载设想刚架上所有的塑性铰同时出现，则刚架变成一个自由度设想刚架上所有的塑性铰同时出现，则刚架变成一个自由度设想刚架上所有的塑性铰同时出现，则刚架变成一个自由度设想刚架上所有的塑性铰同时出现，
46、则刚架变成一个自由度数为数为数为数为(h-nh-n)的机构体系，它的可能位移形式由的机构体系，它的可能位移形式由的机构体系，它的可能位移形式由的机构体系，它的可能位移形式由(h-nh-n)个参变数个参变数个参变数个参变数决定决定决定决定,而与每个独立参变数对应的运动形式就是该体系的一而与每个独立参变数对应的运动形式就是该体系的一而与每个独立参变数对应的运动形式就是该体系的一而与每个独立参变数对应的运动形式就是该体系的一种基本机构。种基本机构。种基本机构。种基本机构。梁破坏机构梁破坏机构2FPFP2FPFP柱破坏机构柱破坏机构2FPFP组合破坏机构组合破坏机构原刚架的各种可能的破坏机构都可由原刚
47、架的各种可能的破坏机构都可由原刚架的各种可能的破坏机构都可由原刚架的各种可能的破坏机构都可由(h-nh-n)个基本机构线性组合个基本机构线性组合个基本机构线性组合个基本机构线性组合而成。组合过程中转角相反的塑性铰闭合。而成。组合过程中转角相反的塑性铰闭合。而成。组合过程中转角相反的塑性铰闭合。而成。组合过程中转角相反的塑性铰闭合。41哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载增量变刚度法以矩阵位移法为基础。增量变刚度法以矩阵位移法为基础。增量变刚度法以矩阵位移法为基础。增量变刚度法以矩阵位移法为基础。基本假设基本假设基本假设基本假设 1
48、1 1 1 塑性铰只在一个截面产生，其余部分仍为弹性；塑性铰只在一个截面产生，其余部分仍为弹性；塑性铰只在一个截面产生，其余部分仍为弹性；塑性铰只在一个截面产生，其余部分仍为弹性；2 2 2 2 荷载按比例增加，且为结点荷载；荷载按比例增加，且为结点荷载；荷载按比例增加，且为结点荷载；荷载按比例增加，且为结点荷载；3 3 3 3 各各各各杆杆杆杆的的的的极极极极限限限限弯弯弯弯矩矩矩矩可可可可以以以以不不不不同同同同，但但但但每每每每杆杆杆杆沿沿沿沿杆杆杆杆长长长长极极极极限限限限弯弯弯弯矩矩矩矩为为为为常常常常数；数；数；数；4 4 4 4 忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。忽略剪力和轴力对极
49、限弯矩的影响。忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。基本思路：将原非线性问题转化为分段线性问题基本思路：将原非线性问题转化为分段线性问题基本思路：将原非线性问题转化为分段线性问题基本思路：将原非线性问题转化为分段线性问题6 6 增量变刚度法增量变刚度法42哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载 弹性阶段，确定第一个塑性铰出现的位置和荷载值。弹性阶段，确定第一个塑性铰出现的位置和荷载值。弹性阶段，确定第一个塑性铰出现的位置和荷载值。弹性阶段，确定第一个塑性铰出现的位置和荷载值。对原结构，加单位力对原结构，加单位
50、力对原结构，加单位力对原结构，加单位力FPl/2l/2ABCABC取最小非零值为第一塑性铰取最小非零值为第一塑性铰取最小非零值为第一塑性铰取最小非零值为第一塑性铰出现的荷载值出现的荷载值出现的荷载值出现的荷载值43哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 17 结构的塑性分析和极限荷载结构的塑性分析和极限荷载此时梁结点弯矩此时梁结点弯矩此时梁结点弯矩此时梁结点弯矩 一铰阶段，确定下一个塑性铰出现的位置和一铰阶段，确定下一个塑性铰出现的位置和一铰阶段，确定下一个塑性铰出现的位置和一铰阶段，确定下一个塑性铰出现的位置和荷载增量值。荷载增量值。荷载增量值。荷载增量值。对修改后的结构，加单位力对修改