能控性和能观测性-1讲.ppt

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1、第四章 线性控制系统的能控性和能观测性Modern Control Theory1第四章第四章 线性控制系统的能控性和能观测性线性控制系统的能控性和能观测性本章主要内容本章主要内容线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性 线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性 对偶原理对偶原理线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的结构分解线性系统的结构分解传递函数矩阵与能控性、能观性的关系传递函数矩阵与能控性、能观性的关系2状态空间模型建立了输入、状态、输出之状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。间的关系。状态方程反映控制输入对状态的影响；状态方程反映控制输入对状

2、态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。的依赖。运动分析揭示了输入和初始状态对系统运运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响。行状况的影响。引言引言问题的提出问题的提出3引言引言问题的提出问题的提出经典控制理论：经典控制理论：传递函数传递函数（输入输出特性）（输入输出特性）输出量即是被控量输出量即是被控量（只要系统稳定，（只要系统稳定，输出便可以受控，且输出总是可测量的）输出便可以受控，且输出总是可测量的）现代控制理论：现代控制理论：状态空间状态空间（状态方程和输出方程）（状态方程和输出方程）输入、输出输入、输出外部变量外部变量状态状态

3、内部变量内部变量v研究系统的最终目的：更好地研究系统的最终目的：更好地了解了解系统和系统和控制控制系统。系统。思考？思考？1、当系统运动状况不佳时，能否通过系统的输入来改变系、当系统运动状况不佳时，能否通过系统的输入来改变系统的动态变化行为？统的动态变化行为？2、系统内部所有动态信息由状态反映，那么能否通过系统、系统内部所有动态信息由状态反映，那么能否通过系统的输出来反映系统所有的状态信息？的输出来反映系统所有的状态信息？4引言引言问题的提出问题的提出含义含义1:系统输入对状态变量的支配系统输入对状态变量的支配 系统输出对状态变量的反映系统输出对状态变量的反映含义含义2:能否通过控制作用由任意

4、初态确定终态能否通过控制作用由任意初态确定终态能否由输出量的测量值确定各状态能否由输出量的测量值确定各状态 5多变量系统的两个基本问题：多变量系统的两个基本问题：在有限时间内，控制作用能否使系统从初在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态始状态转移到要求的状态?引言引言问题的提出问题的提出指控制作用对状态变量的影响或控制能力，称指控制作用对状态变量的影响或控制能力，称之为之为状态的能控性问题状态的能控性问题。即，如果系统的每一个状态变量的运动都可由即，如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由输入来影响和控制，而由任意的始点任意的始点达到终达到终点，则点，则系

5、统能控系统能控(状态能控状态能控)。6在有限时间内，能否通过对系统输出的测定在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的各个状态？来估计系统的各个状态？指系统的输出量（或观测量）对系统状态的识别能指系统的输出量（或观测量）对系统状态的识别能力，称之为力，称之为状态的能观性问题状态的能观性问题。能控性、能观性能控性、能观性-刻画系统内部结构的刻画系统内部结构的两个两个基础性概念，基础性概念，由由卡尔曼卡尔曼(Kalman)于于1960年提出的，在现代控制理论中起年提出的，在现代控制理论中起 重要作用重要作用。即，如果系统的所有状态变量的即，如果系统的所有状态变量的任意形式任意形式的运动均的

6、运动均 可由输出完全反映，则称系统是可由输出完全反映，则称系统是状态能观状态能观测的。测的。引言引言问题的提出问题的提出状态能控否，决定能否实现最优控制；状态能控否，决定能否实现最优控制；能观否，决定能否实现状态反馈控制。能观否，决定能否实现状态反馈控制。7例例4.1、给定系统的状态空间描述：给定系统的状态空间描述：引言引言问题的提出问题的提出表明：状态变量表明：状态变量 、都可通过选择输入都可通过选择输入u而由而由始点始点 终点，状态都能控。终点，状态都能控。输出输出y只能反映状态变量只能反映状态变量 ，所以，所以 不能观测。不能观测。解：展开得解：展开得8例例4.2 引言引言问题的提出问题

7、的提出RLC网络网络 选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量，电容上的电压为输出变量变量，电容上的电压为输出变量,即即 当当R1R4R1R4R2R3R2R3，即电桥不平衡时，输入，即电桥不平衡时，输入u u能控能控制制x1x1和和x2x2所有状态变量，称系统是能控的。所有状态变量，称系统是能控的。9例例4.3 RLC网络网络 同样同样引言引言问题的提出问题的提出 当当R1R4=R2R3R1R4=R2R3，即电桥平衡时，电感中的电流，即电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，称该系统是

8、不能观测的。定的，称该系统是不能观测的。104.14.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性本节主要内容本节主要内容v能控性定义能控性定义 v能控性判据能控性判据 状态能控判据状态能控判据 输出能控输出能控判据判据 11含义：含义：能控性能控性：u(t)x(t)状态方程状态方程一、能控性定义（可控性）能控性定义（可控性）1 1、状态能控性、状态能控性对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入能在有限时间间隔内，使得系统从任意一个初始状态转移到任意的终止状态，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性一致可控一致

9、可控12egeg：假如相平面中的假如相平面中的P点能在点能在输输入的作用下入的作用下转转移到移到任一指定状任一指定状态态 ，那么相平面上的那么相平面上的P点是能控状点是能控状态态。PP3P1P2PnP40 x1x24.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性134.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性 把把系系统统的的初初始始状状态态规规定定为为状状态态空空间间中中的的任任意意非非零零点点，而把终端目标规定为状态空间中的而把终端目标规定为状态空间中的原点原点。说明：说明：这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处这种定义方式不便于写成解析形式。为

10、了便于数学处 理，而又不失一般性，可以把上面的能控性定义分两理，而又不失一般性，可以把上面的能控性定义分两 种情况叙述：种情况叙述：状态状态能控能控性性：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态非零初始状态转移到零状零状态态，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。144.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性 把把系系统统的的初初始始状状态态规规定定为为状状态态空空间间的的原原点点，把把终终端状态规定为任意端状态规定为任意非零有限点非零有限点。状状 态态 能能 达达 性性：对 于 给 定 的 线 性 定 常

11、系 统，如 果 存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由零零初初始始状状态态转移到任一指指定定的的非非零零终终端端状状态态，则称此系统是状态完全能达的，简称系统是能达的。注意：注意：1、在线性定常系统中，能控性与能达性是可逆的，即：能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。2、在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一。154.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性2、输出能控性、输出能控性控制输入影响输出的能力控制输入影响输出的能力 在分析和设计控制中，系统的被控量往往不是系统的状态，而是系统的输出，必须研究系统的输出是否能控。在

12、有限时间区间 ，存在一个无约束的分段连续的控制输入 ，能使任意初始输出 转移到状态空间原点 =0，则称系统是输出完全能控的，简称输出能控。对于系统输入有唯一解的问题164.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性问题：如何来判断能控性？二、能控性判别准则能控性判别准则1 1、定理、定理1 1 对于n 阶线性定常系统 ，其系统状态完全能控的充分必要条件是：由A、B 构成的能控性判别矩阵满秩，即：n为该系统为该系统的维数的维数 能控能控性性矩阵矩阵174.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性（1）例例4.4 判别下列状态方程的能控性。判别下列状态方程的能

13、控性。系统状态不完全能控。系统状态不完全能控。解：（1）18（2）（3）（4）19 解：解：（2），系统不能控。系统不能控。（3），系统能控。系统能控。（4）系统不能控。系统不能控。注意：注意：对于行数列数的情况求对于行数列数的情况求秩时：秩时：rank =rankrank =rank204.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性2、定理、定理2：设线性定常系统 ，具有互不相同的实特征值，则其 状态完全能控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准 型：中，阵不存在全零行。21证明证明：（：（1）非奇异非奇异线性变换后系统的能控线性变换后系统的能控 性不变。性不变。设

14、设令则：令则：其中：其中：22非奇异线性变换后，系统的非奇异线性变换后，系统的能控性不变。能控性不变。234.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性因为线性变换后的状态变量间无耦合，由能控的定义，因为线性变换后的状态变量间无耦合，由能控的定义，显然能控性的充要条件为显然能控性的充要条件为变换后的变换后的b b阵中无全为零的行阵中无全为零的行。（2 2）244.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性解解：（1）状态方程为对角标准型，）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为阵中不含有元素全为零的行，故系统是能控的。零的行，故系统是能控的。（2）状态方

15、程为对角标准型，）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的阵中含有元素全为零的行，所以系统是不能控的。行，所以系统是不能控的。（2）（1）例例4.5 判别下列系统的状态能控性判别下列系统的状态能控性状态变量状态变量 x x2 2 不受控制不受控制 此此方方法法的的优优点点在在于于很很容容易易判判断断出出能能控控性性，并并且且能能将将不不能能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行线性变换。控的部分确定下来，但它的缺点是要进行线性变换。254.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性例例4.6 判别下列系统的状态能控性。判别下列系统的状态能控性。解：解：状态方程为对角型，状态

16、方程为对角型，B阵中不含有元素全为零的行，阵中不含有元素全为零的行，故系统是能控的。故系统是能控的。正解：定理2要求：互不相同的实特征值 只能用定理1的代数判据判断 系统是不能控的系统是不能控的264.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性3 3、定理、定理3 3：若线性定常系统 ，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全能控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型 中，每个约当块（）最后一行所对应的 阵中的各行元素不全为零。27例：设，已知例：设，已知该系统该系统能控能控4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控

17、性284.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性例例4.7 判别下列系统的状态能控性。判别下列系统的状态能控性。解：解：(1)系统是系统是能能控的。控的。(2)系统不系统不能能控的。控的。（1）(2)（3）(3)系统不系统不能能控的。控的。294.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性 系统输出能控的充分必要条件是 的秩为输出变量的数目 。即：4 4、输出能控性判据、输出能控性判据注意：注意：一一般般而而言言，系系统统输输出出能能控控性性和和状状态态能能控控性性之之间间没没有有什什么么必然的联系，即必然的联系，即 输出输出能能控不一定状态控不一定状态

18、能能控，状态控，状态能能控不一定输出控不一定输出能能控。控。输出输出能控能控性矩性矩阵阵或者说：该矩阵的秩等于该或者说：该矩阵的秩等于该矩阵的行数，即行满秩矩阵的行数，即行满秩304.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性例例4.8 判断下列系统的状态及输出能控性。判断下列系统的状态及输出能控性。解：解：（1）状态能控性判别矩阵）状态能控性判别矩阵 ，故，故状态不能控状态不能控。（2）输出）输出能能控性判别矩阵控性判别矩阵 ，所以，所以系统输出能控系统输出能控。结论：结论：系统输出能控，但不是状态能控的。系统输出能控，但不是状态能控的。即使系统状态能控，也可能输出不能控。

19、即使系统状态能控，也可能输出不能控。314.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性本节的小结本节的小结1 1、能控、能观问题的含义、能控、能观问题的含义2 2、状态能控性、状态能达性及输出能控性的定义、状态能控性、状态能达性及输出能控性的定义3 3、各种能控性判据（注意条件限制，灵活应用）、各种能控性判据（注意条件限制，灵活应用）能控性判别准则有两类能控性判别准则有两类:(1)1)先将系统进行状态变换，把状态方程化先将系统进行状态变换，把状态方程化 为对角或约当标准型为对角或约当标准型 ，再根据，再根据 阵确定系统的能控性；阵确定系统的能控性；(2)(2)直接根据状态方程

20、的直接根据状态方程的A A阵和阵和B B阵确定其能控性。阵确定其能控性。4 4、输出能控的定义及判据、输出能控的定义及判据324.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性本节主要内容本节主要内容v能观性定义能观性定义 v能观性判据能观性判据 在实际工程实践中，往往需要知道状态变量，在实际工程实践中，往往需要知道状态变量，但状态变量未必都可以从外部观测到！但状态变量未必都可以从外部观测到！1 1、检测手段的限制；、检测手段的限制；2 2、一些状态变量不是物理量。、一些状态变量不是物理量。但输出变量总是可以获取和测量的。但输出变量总是可以获取和测量的。问题：问题：能否通过输入输出信

21、息来了解系统内部能否通过输入输出信息来了解系统内部的状态？的状态？能观性问题能观性问题334.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性一、一、能观测性定义 （可观性）（可观性）表示的是输出反映状态矢量的能力，表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制输入没有直接的关系与控制输入没有直接的关系 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为：如果对于任一给定的输入 ，存在一有限观测时间 ，使得在 期间的输出 能唯一地确定系统初始状态 ，则称此系统状态完全能观测的，简称系统是能观的。能观性：能观性：y(t)x(t)y(t)x(t)输出方程输出方程34即，对任意给定即，对任意给定u(t)，在内

22、输出在内输出y(t)可唯一确定系统的初态可唯一确定系统的初态 x()，则系统是则系统是完全能观测完全能观测的。的。y x()另：另：y x()确定确定确定确定4.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性能观能观能检能检不能观状态的物理意义！不能观状态的物理意义！在输出中反映不出初始状态。在输出中反映不出初始状态。换言之，换言之，不能观不能观：非零初始状态：非零初始状态x x0 0产生的输出响应恒为零。产生的输出响应恒为零。能观能观：系统初始状态信息可以在输出中反映。：系统初始状态信息可以在输出中反映。对任意给定对任意给定u(t)，如果根据，如果根据 内的输出内的输出y(t)可唯

23、一确可唯一确定任意指定的系统状态定任意指定的系统状态 x()，则称系统是，则称系统是完全能检测完全能检测的。的。两者等价两者等价354.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性1）、能观性表示的是输出）、能观性表示的是输出 反映状态矢量反映状态矢量 的能力，的能力，由于控制作用所引起的输出是可以算出的，所以在由于控制作用所引起的输出是可以算出的，所以在 分析能观测问题时，可令分析能观测问题时，可令 。换言之，换言之，系统的输入不改变系统的能观测性。系统的输入不改变系统的能观测性。说明：说明：2)、将、将能观性规定为对初始状态的确定能观性规定为对初始状态的确定，是因为一旦确定，是

24、因为一旦确定 了初始状态，便可以根据给定的控制量（输入），利了初始状态，便可以根据给定的控制量（输入），利 用状态转移方程（第三章）：用状态转移方程（第三章）：求出各个瞬时的状态求出各个瞬时的状态。364.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性二、能观性判据1、定理、定理1 线性定常连续系统:其状态完全能观的充分必要条件是：由A、C构成的能观性判别矩阵:满秩，即:。能观能观性性矩阵矩阵oQ1nCCACA-=M37证明：证明：设设38这里：这里：要使要使y(t)x(0)确定394.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性例例4.9 判别下列系统的能观性判别下列系

25、统的能观性（1）（2）解：解：（1 1）故系统是不能观的。故系统是不能观的。（2 2）故系统是能观的。故系统是能观的。404.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性2、定理、定理2 设线性定常连续系统：A阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型:中的矩阵中 不含元素全为零的列。414.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性例例4.10 判别系统可观测性判别系统可观测性解：（解：（1 1）系统能观测。）系统能观测。（2 2）系统不能观测。）系统不能观测。（1）（2）注意：注意：当为对角阵但含有当为对角阵但含有相同

26、元素相同元素时，上述判据不适用，时，上述判据不适用，应根据可观性的代数判据来判别应根据可观性的代数判据来判别 424.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性3、定理、定理3 设线性定常连续系统A阵具有重特征值，且每一个特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的约当标准型:中的矩阵 中与每个约当块 首列相对应的那些列的元素不全为零。43如：如：4.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性若能观若能观444.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性例例4.11 判别系统的能观测性判别系统的能观测性（1）（

27、2）解：解：（1 1）系统状态不能观）系统状态不能观 （2 2）系统状态能观）系统状态能观 454.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性例例4.12 试判断由式试判断由式所描述的系统是否为能控和能观的。所描述的系统是否为能控和能观的。解：解：1)由于由于能控性能控性矩阵矩阵的秩为的秩为2，即，即 ，故该系统是，故该系统是状状态能控态能控的。的。464.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性 2)对于对于输出能控输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于秩确定。由于 的秩为的秩为1，即，即 ，故该系统是，故该系统是输出能输出

28、能控控的。的。3)为了检验为了检验能观性能观性条件，需验算能观性矩阵的秩。条件，需验算能观性矩阵的秩。由于由于 的秩为的秩为2，即，即 ，故此系统是，故此系统是能观能观的。的。474.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性本节的小结：本节的小结：1、状态能观性的定义及有关说明、状态能观性的定义及有关说明2、牢固掌握各种能观性判据、牢固掌握各种能观性判据 能观性判别准则有两种形式能观性判别准则有两种形式:(1)、先对系统进行坐标变换，将系统的状态空间、先对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换为对角或约当标准型，然后再根据表达式变换为对角或约当标准型，然后再根据 标标准型中的准型中的 阵确定系统的能观性；阵确定系统的能观性；(2)、直接根据状态方程的、直接根据状态方程的A阵和阵和C阵确定其能阵确定其能 观性观性3、注意条件限制，并能根据题意灵活应用。、注意条件限制，并能根据题意灵活应用。48