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1、第四章能控性和能第四章能控性和能观测性讲观测性讲1本讲稿第一页，共七十九页第四章第四章 线性控制系统的能控性和能观测性线性控制系统的能控性和能观测性本章主要内容本章主要内容线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性 线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性 对偶原理对偶原理线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的结构分解线性系统的结构分解传递函数矩阵与能控性、能观性的关系传递函数矩阵与能控性、能观性的关系2本讲稿第二页，共七十九页4.3 对偶原理对偶原理一、线性定常系统的对偶关系一、线性定常系统的对偶关系设有两个系统，一个系统设有两个系统，一个系统另一个系统另一
2、个系统若满足下列条件，则称若满足下列条件，则称与与是是互为对偶的互为对偶的。维输维输入入,维输维输出出的的 阶阶系系统统 维输维输入入,维输维输出出的的 阶阶系系统统 3本讲稿第三页，共七十九页4.3 对偶原理对偶原理 系系统结统结构构图图 系系统结统结构构图图 输入输出互换；输入输出互换；信号传递反向；信号传递反向；信号引出与综合点互换；信号引出与综合点互换；各矩阵转置。各矩阵转置。4本讲稿第四页，共七十九页4.3 对偶原理对偶原理1 1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。2 2、互为对偶的系统，其特征值相同。、互为对偶的系统，其特征值相同。5本讲稿第五页，共
3、七十九页4.3 对偶原理对偶原理二、对偶原理对偶原理系统系统 与与 是互为是互为 能观性能观性,的能观性等价于的能观性等价于 的能控性。或的能控性。或者者 的能控性等价于的能控性等价于对偶的两个系统，对偶的两个系统，则则的的 是状态完全能控的（完全能观的），是状态完全能控的（完全能观的），说，若说，若 是状态完全能观的（完全能控的）。是状态完全能观的（完全能控的）。则则6本讲稿第六页，共七十九页例如：能观标准形例如：能观标准形-显然能观的显然能观的能控标准形能控标准形显然能控的显然能控的4.3 对偶原理对偶原理7本讲稿第七页，共七十九页 好处好处对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析对
4、于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析十分方便。十分方便。能控标准型对于能控标准型对于状态反馈比较方便状态反馈比较方便能观标准型对于能观标准型对于状态观测器的设计状态观测器的设计及系统辩识比较方便及系统辩识比较方便 由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。是唯一的。在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态空在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标准型、对角标准型、约当标准型约当标准型 ）4.4 线性系统的能控标准形线性系统的
5、能控标准形和能观标准形和能观标准形8本讲稿第八页，共七十九页能能观观标标准准形形是是指指在在一一组组基基底底下下，将将能能观观性性矩矩阵阵中中的的A 和和 C 表现为能观的标准形式。表现为能观的标准形式。能能控控标标准准形形是是指指在在一一组组基基底底下下，将将能能控控性性矩矩阵阵中中的的A 和和 B 表现为能控的标准形式。表现为能控的标准形式。4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形9本讲稿第九页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线 性变换关键：在于寻找相应的
6、变换矩阵。理论依据：非奇异变换不改变系统的自然模 态及能控、能观性注意：注意：只有系统完全只有系统完全能控能控（能观）才能化（能观）才能化 成成能控能控（能观）标准型（能观）标准型 10本讲稿第十页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形一、一、能控标准形能控标准形 如果一个系统的状态空间表达式为：如果一个系统的状态空间表达式为：能能控控标标准准形形则，该系统一定完全能控。则，该系统一定完全能控。11本讲稿第十一页，共七十九页 回顾：回顾：第二章讲过，第二章讲过，根据传递函数根据传递函数可写出其状态空间表可写出其状态空间表达式：达式：能能控控
7、标标准准形形12本讲稿第十二页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形若系统是若系统是完全能控完全能控的，的，则必定存在非奇异线性变换则必定存在非奇异线性变换 或或 使其变换成能控标准形：使其变换成能控标准形：设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：13本讲稿第十三页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形能能控控标标准准形形非非能能控控标标准准形形14本讲稿第十四页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形且线性变换矩阵：且线性
8、变换矩阵：其中：其中：证明：证明：(由由 推得推得)15本讲稿第十五页，共七十九页4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形16本讲稿第十六页，共七十九页4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形17本讲稿第十七页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形例例4.13 试将下列系统变换为能控标准形试将下列系统变换为能控标准形解解：（1）先判别系统的能控性先判别系统的能控性 系统是能控的系统是能控的 18本讲稿第十八页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的
9、能控标准形和能观标准形（2）计算非奇异变化矩阵计算非奇异变化矩阵 19本讲稿第十九页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形（3）求得能控求得能控标准形：标准形：20本讲稿第二十页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形 二、系统的能观测标准形系统的能观测标准形 则系统必定完全能观测。则系统必定完全能观测。如果一个系统的状态空间表达式为：如果一个系统的状态空间表达式为：能观能观标准形标准形21本讲稿第二十一页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能
10、观标准形设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换将系统变换为能观标准形将系统变换为能观标准形o o变换矩阵为：变换矩阵为：22本讲稿第二十二页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形能能观观标标准准型型非非能能观观标标准准型型23本讲稿第二十三页，共七十九页例例4.144.14解：解：1）判断能观性判断能观性 能观性矩阵：能观性矩阵：试判断如下系统是否能观。如果能观，则变试判断如下系统是否能观。如果能观，则变换成能观标准形。换成能观标准形。2）求变
11、换矩阵求变换矩阵 24本讲稿第二十四页，共七十九页25本讲稿第二十五页，共七十九页4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形线性系统的能控标准形和能观标准形本节小结本节小结1、能控标准型、能观标准型的基本形式；、能控标准型、能观标准型的基本形式；2、牢固掌握将系统的传递函数或状态方程和输出方程转、牢固掌握将系统的传递函数或状态方程和输出方程转化为能控标准型、能观标准型的方法；化为能控标准型、能观标准型的方法；（重点：变换矩阵）（重点：变换矩阵）3、注意：注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准只有能控能观的系统才可以化为能控标准 型、能观标准型型、能观标准型 （即：在化能控标准型时需先
12、判断系统是否能控，而在化（即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控，而在化能观标准型需先判断系统是否能观）能观标准型需先判断系统是否能观）。26本讲稿第二十六页，共七十九页4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解系统中系统中只要有一个状态变量不能控只要有一个状态变量不能控，则称系统不能控；，则称系统不能控；不能控系统一般含有不能控系统一般含有能控和不能控能控和不能控两种状态变量。两种状态变量。只要有一个状态变量不能观只要有一个状态变量不能观，则称系统不能观；，则称系统不能观；不能观测系统一般也有不能观测系统一般也有能观和不能观能观和不能观两种状态变量。两种状态变量。把系统能控或能观部分同不
13、能控或不能观部分区分开来，将有利于更把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构。深入了解系统的内部结构。因此，从能控性、能观性角度出发：因此，从能控性、能观性角度出发：状态变量可分成：状态变量可分成：能控能观状态变量、能控不能观状态变量、能控能观状态变量、能控不能观状态变量、不能控能观状态变量、不能控不能观状态变量不能控能观状态变量、不能控不能观状态变量四类。四类。采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态变量作采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，坐标轴构成的子空
14、间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，这些统称为这些统称为系统的结构分解系统的结构分解。27本讲稿第二十七页，共七十九页x-能控能观能控能观-能控不能观能控不能观-不能控能观不能控能观-不能控不能观不能控不能观4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解28本讲稿第二十八页，共七十九页一、按系统的能控性分解一、按系统的能控性分解 设线性定常系统为设线性定常系统为 其能控性判别矩阵，其能控性判别矩阵，系统不能控。系统不能控。存在非奇异变换矩阵存在非奇异变换矩阵 ，对系统进行状态变换，对系统进行状态变换4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解r个线性无关列向量个线性无关列向量任意任意n-
15、r个列向量个列向量29本讲稿第二十九页，共七十九页则则 其中：其中：-能控状态子向量能控状态子向量-不能控状态子向量不能控状态子向量rn-rr n-r4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解30本讲稿第三十页，共七十九页将变换后的动态方程将变换后的动态方程按前按前r维和后维和后n-r维维展展开，则有开，则有:4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解其中，其中，r维能控子系统维能控子系统:n-r维不能控子系统维不能控子系统:31本讲稿第三十一页，共七十九页4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解关键：关键：非奇异变换阵的构造非奇异变换阵的构造n个列向量的求法如下：个列向量的求法如下：
16、1）前前 r 个列向量个列向量 是是能控性判别矩阵能控性判别矩阵 中的中的r个线性无关的列个线性无关的列；2）另外另外 个列向量个列向量 ，在确保，在确保 为为非奇异非奇异的条件下的条件下任意选择任意选择。32本讲稿第三十二页，共七十九页u4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解y按能控性分解的系统分解结构图按能控性分解的系统分解结构图33本讲稿第三十三页，共七十九页4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解注意！注意！系统按能控性分解后：系统按能控性分解后：1 1）能控性不变；）能控性不变；2 2）传递函数矩阵不变；）传递函数矩阵不变；且且能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函能控子
17、系统的传递函数矩阵与原系统的传递函 数矩阵相同数矩阵相同 （换言之，不完全能控系统中，（换言之，不完全能控系统中，传递函数矩阵只描述传递函数矩阵只描述能控子系统的特性能控子系统的特性）。）。34本讲稿第三十四页，共七十九页由前面知识，已知，分由前面知识，已知，分解后的能控子系统：解后的能控子系统：能控子系统的能控子系统的传递函数矩阵传递函数矩阵4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解35本讲稿第三十五页，共七十九页例例4.15、试对系统进行能控性分解。试对系统进行能控性分解。4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解解：解：所以系统不能控。所以系统不能控。36本讲稿第三十六页，共七十九页
18、若选取若选取4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解则则通过通过37本讲稿第三十七页，共七十九页1维不能控子系统：维不能控子系统：4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解2维能控子系统：维能控子系统：38本讲稿第三十八页，共七十九页4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解能控子系统：能控子系统：不能控子系统不能控子系统:39本讲稿第三十九页，共七十九页练习：为了进一步理解在构造变换阵列时，练习：为了进一步理解在构造变换阵列时，第第n-r个列向量是任意选取的（只需保证变个列向量是任意选取的（只需保证变换阵为非奇异的前提条件下）换阵为非奇异的前提条件下）若对例若对例4.15，选取，选取
19、 请自行对系统进行能控性分解。请自行对系统进行能控性分解。4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解40本讲稿第四十页，共七十九页二、按系统的能观性分解二、按系统的能观性分解设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为 假设对系统的能观性矩阵有假设对系统的能观性矩阵有（n n为状态向量维数），则系统不完全能观。为状态向量维数），则系统不完全能观。4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解那么，必然可引入非奇异线性变换：那么，必然可引入非奇异线性变换：则则41本讲稿第四十一页，共七十九页-能观子状态能观子状态-不能观子状态不能观子状态4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解-1-14
20、2本讲稿第四十二页，共七十九页则则4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解将变换后的动态方程将变换后的动态方程按前按前L维和后维和后n-L维维展开，展开，L维能观子系统：维能观子系统：n-L维不能观子系统：维不能观子系统：43本讲稿第四十三页，共七十九页u4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解按能观性分解的系统分解结构图按能观性分解的系统分解结构图44本讲稿第四十四页，共七十九页4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解关键：关键：非奇异变换阵的构造非奇异变换阵的构造n个行向量的求法如下：个行向量的求法如下：1）前前 L个行向量个行向量 是是能观性判别矩阵能观性判别矩阵 中的中的L
21、个个线性无关的线性无关的行向量行向量；2）另外另外 个行向量个行向量 ，在确保，在确保 为非奇异的条件下为非奇异的条件下任意选择任意选择。中中L L个线性无关的行向量个线性无关的行向量 任意任意n-Ln-L个行向个行向量量45本讲稿第四十五页，共七十九页例例4.16、进行能观性分解。进行能观性分解。4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解所以不能观。所以不能观。解解：（1 1）判断能观测性）判断能观测性46本讲稿第四十六页，共七十九页（2）构造非奇异变换阵）构造非奇异变换阵 取取在保证在保证 非奇异的条件下，任取非奇异的条件下，任取 ，有：有：4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解4
22、7本讲稿第四十七页，共七十九页于是于是 ，即，即 经过经过4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解48本讲稿第四十八页，共七十九页不能观子系统：不能观子系统：4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解能观子系统：能观子系统：49本讲稿第四十九页，共七十九页三、同时按能控性和能观性进行结构分解三、同时按能控性和能观性进行结构分解能控性分解定理能控性分解定理+能观性分解定理能观性分解定理=卡尔曼的典型分解卡尔曼的典型分解定理，又称定理，又称标准分解标准分解定理。定理。假设系统：假设系统：不能控也不能观不能控也不能观标准分解的步骤：标准分解的步骤：进行能控性分解进行能控性分解对能控子系统进行对
23、能控子系统进行能观性分解能观性分解4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解50本讲稿第五十页，共七十九页不能控子系统，能观性分解不能控子系统，能观性分解4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解51本讲稿第五十一页，共七十九页4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解52本讲稿第五十二页，共七十九页4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解53本讲稿第五十三页，共七十九页能控能观：能控能观：能控不能观：能控不能观：不能控能观：不能控能观：不能控不能观：不能控不能观：4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解54本讲稿第五十四页，共七十九页4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解
24、系统的传递函数矩阵仅仅决定于系统的传递函数矩阵仅仅决定于能控能观子系统能控能观子系统。即，传递函数矩阵是对系统结构的不完全描述。即，传递函数矩阵是对系统结构的不完全描述。55本讲稿第五十五页，共七十九页例例4.17、试对该系统进行试对该系统进行标准分解标准分解。56本讲稿第五十六页，共七十九页系统不能控且不能观。系统不能控且不能观。由：由：解解:57本讲稿第五十七页，共七十九页(A，b，c)进行能控性分解进行能控性分解(,)取取58本讲稿第五十八页，共七十九页取取则：则：59本讲稿第五十九页，共七十九页能控子系统：能控子系统：不能控子系统：不能控子系统：显然显然60本讲稿第六十页，共七十九页只
25、需对能控子系统进行能观性分解：只需对能控子系统进行能观性分解：取取61本讲稿第六十一页，共七十九页62本讲稿第六十二页，共七十九页标准分解标准分解:63本讲稿第六十三页，共七十九页4.6 4.6 能控性、能观性能控性、能观性与传递函数矩阵的关系与传递函数矩阵的关系能控性、能观性能控性、能观性-描述系统的描述系统的内部特性内部特性传递函数传递函数-描述系统的描述系统的外部特性外部特性问题：问题：两者关系如何？两者关系如何？换言之，基于传递函数的能控、能观性条换言之，基于传递函数的能控、能观性条件是怎样的？件是怎样的？64本讲稿第六十四页，共七十九页例：如下所示的两个状态空间模型例：如下所示的两个
26、状态空间模型能控不能观！能控不能观！4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系1 1）65本讲稿第六十五页，共七十九页能观不能控！能观不能控！传递函数相同的不同状态空间模型传递函数相同的不同状态空间模型带来显著的能控、能观性的差异！带来显著的能控、能观性的差异！4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系2 2）66本讲稿第六十六页，共七十九页可见，可见，其传递函数中均其传递函数中均出现了出现了零极点相消或重合零极点相消或重合现象现象。虽然虽然都是存在零极点相消现象，但一个不能控，都是存在零极点相消现象，但一个不能控，一个不能观
27、。一个不能观。传递函数的零极相消会导致系统能控、能传递函数的零极相消会导致系统能控、能 观或观或能控能观性的缺失；能控能观性的缺失；具体缺失什么，与状态变量的选取有关。具体缺失什么，与状态变量的选取有关。4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系67本讲稿第六十七页，共七十九页设设 单输入单输出系统单输入单输出系统4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系定理定理1 1：单变量系统能控又能观的：单变量系统能控又能观的充要条件充要条件 是是G(s)G(s)中中没有零极点相消没有零极点相消现象。现象。68本讲稿第六十八页，共七十九
28、页设设A的特征值互异：的特征值互异：,则系统可化为：则系统可化为：系统能控能观系统能控能观不能控不能控不能观不能观4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系69本讲稿第六十九页，共七十九页验证能控性：验证能控性：设设 不能控，则不能控，则 一定存一定存在零极点对消。在零极点对消。4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系70本讲稿第七十页，共七十九页验证能观性：验证能观性：设设 不能观，则不能观，则 一定一定存在零极点对消。存在零极点对消。4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系71本讲稿第
29、七十一页，共七十九页一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。又能观的那一部分子系统。一个系统的传递函数若有零极点对消现象，一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的或是不能控亦不能观的。控的或是不能观的或是不能控亦不能观的。两个推论两个推论 4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系72本讲稿第七十二页，共七十九页例例4.18、考虑下列传递函数所描述系统的能控能观性。考虑下列传递函数所描述系统的能控能观性。不能观不
30、能观解解:能控型：能控型：73本讲稿第七十三页，共七十九页能观型：能观型：不能控不能控74本讲稿第七十四页，共七十九页不能控不能观不能控不能观:不能控不能观不能控不能观选择不同的状态变量选择不同的状态变量会有不同的结果会有不同的结果！75本讲稿第七十五页，共七十九页定理定理2 2：对多输入多输出系统：对多输入多输出系统传递函数矩阵传递函数矩阵 如果在传递矩阵如果在传递矩阵G(s)G(s)中中没有零极点相消没有零极点相消，则该系，则该系统是统是能控且能观测能控且能观测的。的。（注意：注意：仅为仅为充分条件，非必要充分条件，非必要）4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数
31、矩阵的关系76本讲稿第七十六页，共七十九页例例4.19、能控且能观 但存在公因式 4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系77本讲稿第七十七页，共七十九页第四章第四章 线性控制系统的能控性和能观测性线性控制系统的能控性和能观测性本章总结本章总结1、在明确能观、能控的定义基础上；掌握各能控型、在明确能观、能控的定义基础上；掌握各能控型 判据和能观性判据。判据和能观性判据。注意条件限制，并根据题意灵活应用注意条件限制，并根据题意灵活应用2、输出能控的含义，掌握输出能控判据及应用输出能控的含义，掌握输出能控判据及应用；3、明确将系统的传函或状态方程和输出方程转化为
32、明确将系统的传函或状态方程和输出方程转化为能能控控标准标准 型、型、能能观标准型的必要性；观标准型的必要性；牢固掌握将系统的传函或状态方程和输出方程转化牢固掌握将系统的传函或状态方程和输出方程转化为为能能控标准型、控标准型、能能观标准型的方法观标准型的方法；（注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准型、（注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准型、能观标准型）能观标准型）78本讲稿第七十八页，共七十九页第四章第四章 线性控制系统的能控性和能观测性线性控制系统的能控性和能观测性本章总结本章总结4、标准分解、标准分解（步骤：先将原系统按能控性分解（步骤：先将原系统按能控性分解一次，再将其中状态能控子系统按能观测性一次，再将其中状态能控子系统按能观测性分解。）分解。）5、单变量系统及多变量系统：能控、能观与传、单变量系统及多变量系统：能控、能观与传递函数的关系递函数的关系（注意区分：充要条件、充分（注意区分：充要条件、充分条件）条件）6、对偶原理的含义、对偶原理的含义 79本讲稿第七十九页，共七十九页