工程流体力学-第4章-M.ppt

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1、第四章第四章 相似原理及量纲分析相似原理及量纲分析（1 1）理论分析方法，除了极少数问题外，）理论分析方法，除了极少数问题外，很少能得到理论解析解，而必须借助于实很少能得到理论解析解，而必须借助于实验方法。验方法。（2 2）实验方法有原型实验、比拟实验和模）实验方法有原型实验、比拟实验和模型实验三大类。型实验三大类。（3 3）原型实验是用仪器实测原型系统的流）原型实验是用仪器实测原型系统的流动参数，它对于较小的原型系统比较合适，动参数，它对于较小的原型系统比较合适，对于大型系统就很难；对于大型系统就很难；（4）模型实验是最常用的实验方法，此法是）模型实验是最常用的实验方法，此法是在测试中用把原

2、型按一定比例缩小后的模型，在测试中用把原型按一定比例缩小后的模型，此外还可能变更流体的性质和流动条件等。此外还可能变更流体的性质和流动条件等。模模型实验的理论指导基础是相似原理型实验的理论指导基础是相似原理，具体实践具体实践方法是通过量纲分析方法是通过量纲分析。4.1 4.1 力学相似性原理力学相似性原理 为使模型流动能表现出原型流动的主要为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即即两个互为相似流动的对应部位上对应物两个互为相似流动的对应部位上对应物理量

3、都有一定的比例关系理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应具体来说，两相似流动应几何相似几何相似 、运、运动相似、动相似、动力相似动力相似 。这就是两流动相似应。这就是两流动相似应满足的条件。满足的条件。原型：原型：Prototype Prototype 模型：模型：ModelModel为便于讨论，规定：为便于讨论，规定：以以k k 表示其模型量和原型量的比率，而表示其模型量和原型量的比率，而 物理量下标物理量下标 P P、M M 则分别表示原型量和模则分别表示原型量和模型量。型量。几何相似几何相似运动相似运动相似动力相似动力相似流动相似流动相似一一 几何相似（空间相似）几何相似（空间相

4、似）定义：定义：两流动的两流动的对应边长成同一比例，对对应边长成同一比例，对应角相等应角相等。引入长度比例系数引入长度比例系数 进而，面积比例系数进而，面积比例系数 体积比例系数体积比例系数二二 运动相似（时间相似）运动相似（时间相似）定义：两流动的对应点上的流体速度定义：两流动的对应点上的流体速度方向相同方向相同而大小成比例而大小成比例。引入速度比例系数引入速度比例系数由于由于 因此因此 运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似只需确定时间比例系数似只需确定时间比例系数 就可以了。运动相就可以了。运动相似也就被称之为似也就被称之为时间相似时间相似。运

5、动学物理量的比例系数都可以表示为尺度运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。比例系数和时间比例系数的不同组合形式。如：如：k kv v=k=kl lk kt t-1-1 k ka a=k=kl lk kt t-2-2 k k=k=kt t-1-1 k k=k=kl l2 2k kt t-1-1 kq kqv v=k=kl l3 3k kt t-1-1 的单位是m2/sqV的单位是m3/s三三 动力相似（受力相似）动力相似（受力相似）定义：两流动的对应部位上定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例同名力矢成同一比例。原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则

6、原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各各同名力的方向相同、比值保持相等同名力的方向相同、比值保持相等。引入力比例系数引入力比例系数 也可写成也可写成 力学物理量的比例系数可以表示为密度、力学物理量的比例系数可以表示为密度、长度、速度比例系数的不同组合形式，如：长度、速度比例系数的不同组合形式，如：力矩力矩M M 压强压强p p功率功率P P 动力粘度动力粘度 边界条件和初始条件相似边界条件和初始条件相似流体运动受到边界条件和初始条件的影响流体运动受到边界条件和初始条件的影响和制约，要做到其流动相似，必须使两个

7、和制约，要做到其流动相似，必须使两个系统的边界条件和初始条件相似。系统的边界条件和初始条件相似。例如，原型：自由表面例如，原型：自由表面 模型：自由表面模型：自由表面 固体边壁固体边壁 固体边壁固体边壁 给定瞬时给定瞬时t tP P的流速的流速v vP P 对应瞬时对应瞬时t tm m的流速的流速v vm m几何相似、运动相似，动力相似是流动几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征。相似的重要特征。它们互相联系、互为条件它们互相联系、互为条件几何相似是运动相似、动力相似的前提条件几何相似是运动相似、动力相似的前提条件动力相似是决定流动相似的主导因素动力相似是决定流动相似的主导因素运动相

8、似是几何相似和动力相似的表现形式运动相似是几何相似和动力相似的表现形式它们是一个统一的整体，缺一不可。它们是一个统一的整体，缺一不可。4.2 4.2 力学力学相似准则相似准则相似准则的导出方法有：相似准则的导出方法有：物理法则法；物理法则法；方程分析法；方程分析法；量纲分析法。量纲分析法。一、牛顿数一、牛顿数惯性力总是企图保持原有的运动状态，而其它惯性力总是企图保持原有的运动状态，而其它的非惯性物理力总是力图改变液体的运动状态。的非惯性物理力总是力图改变液体的运动状态。液体的运动就是惯性力和其它非惯性物理力共液体的运动就是惯性力和其它非惯性物理力共同作用的结果。同作用的结果。惯性力：惯性力：非

9、惯性力：非惯性力：F F根据动力相似条件：根据动力相似条件：上式表明：相似系统中，原型中非惯性物上式表明：相似系统中，原型中非惯性物理力理力F FP P与惯性力与惯性力I IP P之比应等于模型中非惯性之比应等于模型中非惯性物理力物理力F FM M与惯性力与惯性力I IM M之比。之比。习惯上，将非惯性物理力习惯上，将非惯性物理力F F与惯性力与惯性力I I之比称为之比称为牛顿数，以牛顿数，以NeNe表示，即表示，即显然，两个流动相似，原型与模型的牛顿数显然，两个流动相似，原型与模型的牛顿数一定相等。这是标志两个流动相似的一般准一定相等。这是标志两个流动相似的一般准则，称为则，称为牛顿相似准则

10、牛顿相似准则。将上式改写为比率表示的关系式，就得到相将上式改写为比率表示的关系式，就得到相似判据。似判据。二、相似判据二、相似判据相似系统中各物理量的比率是不能任意选相似系统中各物理量的比率是不能任意选定的而要受描述该运动现象的物理方程的定的而要受描述该运动现象的物理方程的制约的。机械运动相似的两个系统都应受制约的。机械运动相似的两个系统都应受牛顿第二定律约束，即有牛顿第二定律约束，即有这是流动相似的重要判据，称为这是流动相似的重要判据，称为相似判据相似判据。因因1 1、重力相似准则、重力相似准则 流经闸、坝的水流，起主导作用的力是重流经闸、坝的水流，起主导作用的力是重力，只要用重力代替牛顿数

11、中的力，只要用重力代替牛顿数中的F F，根据牛顿相，根据牛顿相似准则就可求出只有重力作用下液流相似准则。似准则就可求出只有重力作用下液流相似准则。重力可表示为重力可表示为G=gVG=gV 或或 以以 代替代替 ，最后得到，最后得到 称为弗汝德（称为弗汝德（W.FroudeW.Froude）数）数，是，是惯性力与重力的比值，即两流体在重力作惯性力与重力的比值，即两流体在重力作用下相似时，它们德弗汝德数必然相等；用下相似时，它们德弗汝德数必然相等；反之亦然。这便是反之亦然。这便是重力相似准则重力相似准则。2 2、压力相似准则压力相似准则由总压力和惯性力的关系，得到由总压力和惯性力的关系，得到 称为

12、欧拉（称为欧拉（L.EulerL.Euler）数）数，是总压，是总压力与惯性力的比值，即两流体在压力作用下力与惯性力的比值，即两流体在压力作用下相似时，它们的欧拉数必然相等，反之亦然。相似时，它们的欧拉数必然相等，反之亦然。这便是压力相似准则。这便是压力相似准则。3 3、粘性力相似准则粘性力相似准则由粘性力和惯性力的关系，得到由粘性力和惯性力的关系，得到 称为雷诺（称为雷诺（O.ReynoldsO.Reynolds）数）数，是惯，是惯性力与粘性力的比值，即两流体在粘性力作用性力与粘性力的比值，即两流体在粘性力作用下相似时，它们的雷诺数必然相等，反之亦然。下相似时，它们的雷诺数必然相等，反之亦然

13、。这便是粘性力相似准则。这便是粘性力相似准则。4 4、弹性力相似准则、弹性力相似准则由弹性力和惯性力的关系，得到由弹性力和惯性力的关系，得到 称为柯西（称为柯西（B.A.L.CauchyB.A.L.Cauchy）数）数，是惯性力与弹性力比值，即两流体在弹性力是惯性力与弹性力比值，即两流体在弹性力作用下相似时，它们的柯西数相等，反之亦作用下相似时，它们的柯西数相等，反之亦然。这便是弹性力相似准则，又称柯西准则。然。这便是弹性力相似准则，又称柯西准则。对于气体，宜将柯西数转换为马赫（对于气体，宜将柯西数转换为马赫（L.MachL.Mach）数，由于数，由于 （c c为声速），故由可得为声速），故由

14、可得 称为马赫数称为马赫数，它仍是惯性力与弹性力，它仍是惯性力与弹性力的比值，即两流体在弹性力作用下相似时，它的比值，即两流体在弹性力作用下相似时，它们的马赫数必然相等，反之亦然。这还是弹性们的马赫数必然相等，反之亦然。这还是弹性力相似准则，又称力相似准则，又称马赫准则马赫准则。5 5、表面张力的相似准则表面张力的相似准则由表面张力和惯性力的关系，得到由表面张力和惯性力的关系，得到 称为韦伯（称为韦伯（M.WeberM.Weber）数）数，是，是惯性力与表面张力的比值，即两流体主要惯性力与表面张力的比值，即两流体主要受到表面张力的作用并相似时，它们的韦受到表面张力的作用并相似时，它们的韦伯数必

15、然相等，反之亦然。这便是表面张伯数必然相等，反之亦然。这便是表面张力相似准则。力相似准则。6 6、非定常相似准则、非定常相似准则 由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（称为斯特罗哈（Strouhal)Strouhal)数数，要，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。也称为非定常相似准则。4.3 4.3 近似模型试验近似模型试验流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原流动相似理论是工程模型研

16、究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。核心问题。一、模型与原型的相似一、模型与原型的相似1、近似相似、近似相似1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的；）不是所有的相似准则数都能同时被满足的；2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。2、实验方法、实验方法根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。问：原型和模型能否同时满足重力相似准

17、则和粘滞力问：原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？相似准则？为什么？答：当采用同一种流体，不可能同时满足两种相似。答：当采用同一种流体，不可能同时满足两种相似。因为：当重力相似时因为：当重力相似时 而粘滞力相似时而粘滞力相似时可知速度比率不同，也即不能同时满足两种相似。可知速度比率不同，也即不能同时满足两种相似。二、参数测试及实验结果的整理二、参数测试及实验结果的整理 根据所需测定的无量纲数，进行试验可以把根据所需测定的无量纲数，进行试验可以把无量纲数之间的关联式通过实验数据建立起来。无量纲数之间的关联式通过实验数据建立起来。通过这种具体的关联式，便可以求出模型实验通过

18、这种具体的关联式，便可以求出模型实验和原型之间的转换。和原型之间的转换。通过相似原理，不仅可以把难以展开的原型实通过相似原理，不仅可以把难以展开的原型实验进行模型（缩小或放大）实验，而且也极大验进行模型（缩小或放大）实验，而且也极大地减少了所需测量的参数。地减少了所需测量的参数。例例11 为研究热风炉中烟气的流动特性，采用长度为研究热风炉中烟气的流动特性，采用长度比率为比率为1010的水流做模型实验。已知热风炉内烟气流速的水流做模型实验。已知热风炉内烟气流速为为8 8m/sm/s，烟气温度为烟气温度为600600，密度为，密度为0.40.4Kg/mKg/m3 3，运动，运动粘度为粘度为0.90

19、.9cmcm2 2/s/s。模型中水温模型中水温1010，密度为，密度为10001000Kg/mKg/m3 3，运动黏度，运动黏度0.01310.0131cmcm2 2/s/s。试问：（试问：（1 1）为保证流动相似，模型中水的流速是多少）为保证流动相似，模型中水的流速是多少？（？（2 2）实测模型的压降为）实测模型的压降为6307.56307.5N/mN/m2 2，原型热风炉，原型热风炉运行时，烟气的压降是多少？运行时，烟气的压降是多少？解解（1 1）对流动起主要作用的力是黏滞力，应满对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则足雷诺准则（2）流动的压降满足欧拉准则）流动的压降满足欧拉准则

20、例例22 有一直径有一直径d=50cm的输油管道，管道的输油管道，管道长长l=200m，油的运动粘滞系数，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量管中通过油的流量 。现用。现用10的水和的水和管径管径dm=5 cm的管路进行模型试验，试求模的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。型管道的长度和通过的流量。解：该管道模型的几何比率为解：该管道模型的几何比率为所以模型管道的长度所以模型管道的长度判别原型管道中的流态：判别原型管道中的流态：所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则（雷诺相似准则）计算模型中流量（雷诺相似准则）计算模型中流量Qm。10

21、 水的运动粘滞系数为水的运动粘滞系数为 ，模型运，模型运动粘滞系数比率为动粘滞系数比率为 流量比率流量比率故模型管道中的流量故模型管道中的流量Qm 应为应为4.44.4量纲分析量纲分析一、单位与量纲一、单位与量纲 物理量单位的种类称为量纲。物理量单位的种类称为量纲。l取长度、时间和质量的量纲取长度、时间和质量的量纲L L、T T、MM为基本量纲为基本量纲 。l在与温度有关的问题中，还要增加温度的量在与温度有关的问题中，还要增加温度的量纲纲 为基本量纲为基本量纲 。二、量纲一致性原则二、量纲一致性原则 工程中描述物理现象的方程的量纲必定是相同工程中描述物理现象的方程的量纲必定是相同的，即用量纲表

22、示的物理方程必定是的，即用量纲表示的物理方程必定是齐次性齐次性的，的，这便是物理方程这便是物理方程量纲一致性原则量纲一致性原则 （量纲和谐（量纲和谐性）。性）。量纲一致性原则的最重要用途还在于能确定方量纲一致性原则的最重要用途还在于能确定方程式中物理量的指数，从而找到物理量间的函程式中物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建立结构合理的物理、力学方程式，数关系，以建立结构合理的物理、力学方程式，量纲和谐性原理是量纲分析法的理论依据。量纲和谐性原理是量纲分析法的理论依据。三、瑞利法瑞利法 Rayleigh 法认为是影响流动现象的变量之间的法认为是影响流动现象的变量之间的函数关系是幂函数乘积

23、的形式。函数关系是幂函数乘积的形式。求解这个函数关系式的具体步骤是：求解这个函数关系式的具体步骤是：1）确定影响流动的重要物理参数，并假设它们之）确定影响流动的重要物理参数，并假设它们之间的关系是幂函数乘积形式；间的关系是幂函数乘积形式；2）根据量纲一致性原理，建立各物理量的幂指数）根据量纲一致性原理，建立各物理量的幂指数的联立方程式；的联立方程式；3 3）解此方程式求得各物理量的指数值，代入所）解此方程式求得各物理量的指数值，代入所假定的函数关系式中，得到无量纲（相似准假定的函数关系式中，得到无量纲（相似准则数）之间的关系式。则数）之间的关系式。4 4）通过模型实验，确定函数关系式中的待定常

24、）通过模型实验，确定函数关系式中的待定常数和具体的函数形式。数和具体的函数形式。例例1/4-4 1/4-4 不可压缩流体稳定流动中，有一固定不动不可压缩流体稳定流动中，有一固定不动的直径为的直径为D D的圆球，试确定作用于球上的拉力的圆球，试确定作用于球上的拉力FDFD与球直与球直径径D D、流体流动速度、流体流动速度 、及流体的性质：密度和黏性间、及流体的性质：密度和黏性间的关系。的关系。解：解：（1 1）找出同水泵输出功率）找出同水泵输出功率P P有关的物理量有关的物理量按按瑞利法瑞利法，写出指数乘积关系式，写出指数乘积关系式将变量量纲代入指数方程中将变量量纲代入指数方程中（2 2）根据量

25、纲和谐原理建立联立方程式根据量纲和谐原理建立联立方程式M：1 c+d L：1 a+b-3c-dT：-2 -b -d上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示：c=1-d；b=2-d；a=2-d（3 3）求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式）求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的

26、，这也是量纲分析的明显好处。是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。例例2 2 求水泵输出功率的表达式。求水泵输出功率的表达式。解：（解：（1 1）找出同水泵输出功率）找出同水泵输出功率P P有关的物理量有关的物理量、流量qV、扬程H，即：写出指数乘积关系式写出指数乘积关系式（2 2）根据量纲和谐原理建立联立方程式根据量纲和谐原理建立联立方程式以基本量纲（以基本量纲（M M、L L、T T）表示各物理量量纲：）表示各物理量量纲：，得得：a=1，b=1，c=1.M M L L T T（3 3）求得各物理量的指数值）求得各物理量的指数值四、四、定理法定理法 定理表述为：在一个物理过程中，如果涉及定

27、理表述为：在一个物理过程中，如果涉及到到n n个物理量个物理量，并包含有，并包含有m m个基本量纲个基本量纲，则这个，则这个物理过程可以用由物理过程可以用由n n个物理量组成的个物理量组成的n-mn-m个无量个无量纲变量纲变量（即（即 ）来描述。这些无量纲量表示为）来描述。这些无量纲量表示为（i i=1=1、22、n-mn-m）。倘若物理过程的方程式）。倘若物理过程的方程式为为 则式可写成无量纲方程为则式可写成无量纲方程为定理的应用可以分成以下四步。定理的应用可以分成以下四步。（1 1）分析并找出影响流动问题的全部主要变）分析并找出影响流动问题的全部主要变量。定理应用是否成功，关键在于能否正确

28、地量。定理应用是否成功，关键在于能否正确地预测问题中所牵涉到的所有的预测问题中所牵涉到的所有的主要变量（主要变量（n n个）。个）。如果多选，则会增加分析难度和试验工作量，如果多选，则会增加分析难度和试验工作量，如果漏选，则会使分析结果不能全面反映问题如果漏选，则会使分析结果不能全面反映问题的要求，导致分析和试验结果不能正确地使用。的要求，导致分析和试验结果不能正确地使用。（2 2）分析所有变量的量纲，并确定其中包含）分析所有变量的量纲，并确定其中包含的的基本量纲（基本量纲（m m个）个），则可以组合成，则可以组合成n-mn-m个无量个无量纲变量。纲变量。（3 3）确定）确定m m个重复变量，

29、这些个重复变量，这些变量将重复地在变量将重复地在每一个参数组合每一个参数组合中出现。选择中出现。选择m m个重复变量的个重复变量的条件是：条件是：这些重复变量本身必须包含这些重复变量本身必须包含m m个基个基本量纲；本量纲；这些重复变量本身不可能够组合成这些重复变量本身不可能够组合成无量纲参数。一般选与无量纲参数。一般选与质量、几何结构和流体质量、几何结构和流体运动运动有关的参数作重复变量。有关的参数作重复变量。（4 4）用带指数的重复变量与其他变量的乘积用带指数的重复变量与其他变量的乘积组合成组合成 ，根据量纲一致性原理，根据量纲一致性原理，计算各个重计算各个重复变量的指数复变量的指数，并根

30、据需要表示出，并根据需要表示出 的形式。的形式。例例1/4-4 1/4-4 为了实验研究水流对光滑球形潜体的作用力，为了实验研究水流对光滑球形潜体的作用力，要求预先作出实验的方案。要求预先作出实验的方案。解解 水流对光滑球形潜体的作用力水流对光滑球形潜体的作用力F FD D与水流速度、潜与水流速度、潜体直径、水的密度、水的黏度诸物理量有关。体直径、水的密度、水的黏度诸物理量有关。即：即：应用量纲分析方法组织实验，首先找出有关量应用量纲分析方法组织实验，首先找出有关量 由由 定理，选定理，选 ，为基本量，组成各为基本量，组成各 项：项：n=5m=3，n-m=2 按按 项无量纲，决定基本量指数：项

31、无量纲，决定基本量指数：整理方程式：整理方程式：C Cd d为阻力系数。为阻力系数。例例22已知圆管两端压强降已知圆管两端压强降 与管道长度与管道长度 、内径、内径 、绝对粗糙度绝对粗糙度 、平均流速、平均流速 以及流体的密度以及流体的密度 和动力黏和动力黏性系数性系数 有关，试用有关，试用 定理求压强降定理求压强降 的表达式。的表达式。解解 根据题意，首先找出有关量根据题意，首先找出有关量 由由 定理，选定理，选 ，为基本量，组成各为基本量，组成各 项：项：n=7，m=3，n-m=4指定每一不重复变指定每一不重复变量的指数为量的指数为1 1分子与分母量纲相等有分子与分母量纲相等有 ，解得解得 则则同理可得同理可得代入代入，令令或或试验可以证明，圆管两端压强降试验可以证明，圆管两端压强降 与管道长度与管道长度 成成正比，与内径正比，与内径 成反比。成反比。上式可以写为：上式可以写为：沿程损失的达西(Darcy)公式