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1、第二章二次函数1对于二次函数y(x1)22的图象与性质,下列说法正确的是()A对称轴是直线x1,最小值是2B对称轴是直线x1,最大值是2C对称轴是直线x1,最小值是2D对称轴是直线x1,最大值是22已知二次函数yax2bxc的图象如图2Y1所示,则()Ab0,c0Bb0,c0Cb0,c0Db0,c0图2Y1图2Y23将如图2Y2所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线的表达式是()Ay(x1)21By(x1)21Cy2(x1)21Dy2(x1)214已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图2Y3所示,以下四个结论:a0;c0;b24ac0;0,正确的是()A
2、BCD图2Y3图2Y45如图2Y4,抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1,给出下列结论:b24ac;abc0;ac;4a2bc0,其中正确的有()A1个B2个C3个D4个6若抛物线yx26xm与x轴没有交点,则m的取值范围是_7如图2Y5,若抛物线yax2bxc上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴直线x1对称,则点Q的坐标为_8已知函数y(x1)2的图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a2,则y1与y2的大小关系是y1_y2(填“”“”或“”)图2Y5图2Y69如图2Y6,图中二次函数的表达式为yax2bxc(a0),则下列命题中正确的有_(填序号)abc0;b24ac;
3、4a2bc0;2abc.10如图2Y7是抛物线y1ax2bxc(a0)的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2mxn(m0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:图2Y7abc0;方程ax2bxc3有两个相等的实数根;抛物线与x轴的另一个交点是(1,0);当1x4时,有y2y1;x(axb)ab,其中正确的结论是_(只填序号)11已知函数yx2(m1)xm(m为常数)(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是()A0B1C2D1或2(2)求证:不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y(x1)2的图象上;(3)当2m3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围1
4、2某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系:yx60(30x60)设这种双肩包每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式;(2)这种双肩包销售单价定为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少?13随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水
5、平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米(1)请你建立适当的直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数表达式;(2)求出水柱的最大高度是多少图2Y814我们知道,经过原点的抛物线可以用yax2bx(a0)表示,对于这样的抛物线:(1)当抛物线经过点(2,0)和(1,3)时,求抛物线的表达式;(2)当抛物线的顶点在直线y2x上时,求b的值;(3)如图2Y9,现有一组这样的抛物线,它们的顶点A1,A2,An在直线y2x上,横坐标依次为1,2,3,n(n为正整数,且n12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,Bn,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn,如果这组抛物线中的某一条经
6、过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长图2Y9详解详析1B2B解析二次函数yax2bxc图象的开口向下,a0.二次函数图象与y轴交于负半轴,c0.对称轴为直线x0,b0.故选B.3C解析由图象,得原抛物线的表达式为y2x22.由平移规律,得平移后所得抛物线的表达式为y2(x1)21,故选C.4C解析抛物线开口向上,a0,结论正确;抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,c0,结论错误;抛物线与x轴有两个交点,b24ac0,结论正确;抛物线的对称轴在y轴右侧,0,结论错误故选C.5C解析抛物线与x轴有2个交点,b24ac0,错误;抛物线开口向上,a0.抛物线的对称轴在y轴的左侧,a,b同
7、号,b0.抛物线与y轴的交点在x轴上方,c0,abc0,正确;x1时,y0,即abc0.对称轴为直线x1,1,b2a,a2ac0,即ac,正确;抛物线的对称轴为直线x1,x2和x0时的函数值相等,即x2时,y0,4a2bc0,正确正确的有,3个,故选C.6m9解析由b24ac(6)241m9.7(2,0)解析设Q(a,0),由对称性知,1,a2.即Q(2,0)8解析函数y(x1)2,图象的对称轴是直线x1,开口向下,当x1时,y随x的增大而减小函数图象上两点A(2,y1),B(a,y2),a2,y1y2.故答案为:.9解析抛物线开口向上,对称轴在y轴右侧,与y轴交于负半轴,a0,0,c0,b0
8、,abc0,正确;抛物线与x轴有两个交点,b24ac0,即b24ac,错误;当x2时,y4a2bc0,正确;01,2ab0,2ab0c,正确故答案为:.10解析根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可由图象可知:a0,b0,c0,故abc0,故错误;观察图象可知,抛物线与直线y3只有一个交点,故方程ax2bxc3有两个相等的实数根,故正确;根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(2,0),故错误;观察图象可知,当1x4时,有y2y1,故错误;因为当x1时,y1有最大值,所以ax2bxcabc,即x(axb)ab,故正确所以正确故答案为.11解析(1)表示出根的
9、判别式,判断其正负即可得到结果;(2)将二次函数表达式配方变形后,判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可;(3)根据m的范围确定出顶点纵坐标的范围即可解:(1)函数yx2(m1)xm(m为常数),(m1)24m(m1)20,则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.故选D.(2)证明:yx2(m1)xm(x)2,其图象顶点坐标为(,)把x代入y(x1)2,得y(1)2,故不论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y(x1)2的图象上(3)设z,当m1时,z有最小值为0;当m1时,z随m的增大而减小;当m1时,z随m的增大而增大当m2时,z;当m3时,z4.则当2m3时,该函数图象的顶点纵坐标z的
10、取值范围是0z4.12解:(1)w(x30)y(x30)(x60)x290x1800.所以w与x之间的函数关系式为wx290x1800(30x60)(2)wx290x1800(x45)2225.10,当x45时,w有最大值为225.答:销售单价定为45元/个时,每天的销售利润最大,最大利润为225元(3)当w200时,可得方程(x45)2225200.解得x140,x250.5042,x250不符合题意,应舍去答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元/个13解:(1)所建直角坐标系不唯一,如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直
11、线为y轴,建立平面直角坐标系由题意可设抛物线的表达式为ya(x1)2h(0x3)抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线表达式可得解得水柱抛物线的表达式为y(x1)2(0x3)化为一般式为yx2x2(0x3)(2)由(1)知抛物线的表达式为y(x1)2(0x3)当x1时,y最大.水柱的最大高度为米14解:(1)抛物线yax2bx经过点(2,0)和(1,3),解得抛物线的表达式为y3x26x.(2)抛物线yax2bx的顶点坐标是(,),且该点在直线y2x上,2()a0,b24b,解得b14,b20.(3)这组抛物线的顶点A1,A2,An在直线y2x上,由(2)可知,b4或b0.当b0时,抛物线的顶点在坐标原点,不合题意,舍去;当b4时,抛物线的表达式为yax24x.由题意可知,第n条抛物线的顶点为An(n,2n),则Dn(3n,2n)以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn,设第(nk)(k为正整数)条抛物线经过点Dn,此时第(nk)条抛物线的顶点坐标是Ank(nk,2n2k),nk,a,第(nk)条抛物线的表达式为yx24x.Dn(3n,2n)在第(nk)条抛物线上,2n(3n)24(3n),解得kn.n,k为正整数,且n12,n15,n210.当n5时,k4,nk9;当n10时,k8,nk1812(舍去),D5(15,10),正方形的边长是10.6