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1、高等数学常微分方程考点精讲与例题解析计算题1解：为常数解 当，时，分离变量取不定积分，得 原方程的通解为注：包含在常数解中，当时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。2解：对应齐次方程的特征方程为 ，齐次方程的通解为 因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，比较系数确定出 ， 原方程的通解为 3. 解：原方程可化为 ，引入新的变量，则，将代入，可得，变量分离 两端积分，而所以，也就是所以原方程的通解为4. 解：，变量分离 两边积分：-， 解得 当，时 ， 所以原方程的特解为5解：原方程为：=，变量分离，两边积分得 所以原方程的通解为 6. 解： 据题意，方程两边同时对求导数，得，
2、令，则有即，变量分离并两端积分，从而可得所以或7. 解: 据题意知函数是可导函数，方程 两边同时对求导，得到 ，方程两边同时对求导，得到二阶常系数非齐次微分方程 特征方程为 ，解得 ，所以对应齐次方程的通解为 又因不是特征方程为 的根，故取所以的特解形式可设为，则，把，代入原方程可得 所以原方程的通解为 又因 ，所以，故函数8解：特征方程为，解得 ，所以对应齐次方程的通解为 对于微分方程，由于不是特征方程为的根，故取，因此方程的特解形式可设为；对于微分方程，由于不是特征方程为的根，故取，因此方程的特解形式可设为；对于微分方程，由于是特征方程为的根，故取，因此方程的特解形式可设为综上可知，原微分
3、方程的特解可设为，再令则9. 解：微分方程的特征方程为 ，解得 ， 因为不是特征方程的根，故取 所以微分方程的特解形式可设为10解：原方程可化为，此方程为一阶线性微分方程，其中， 由一阶线性微分方程的通解公式可知 即 11 解： 因为，即，为一阶线性微分方程，其中， ，由一阶线性微分方程的通解公式可知，即于是所求得的通解为12解： 特征方程为，解得，因此对应齐次方程通解为又因不是特征方程的根，故取，而所以微分方程具有的特解形式可设为 则，把，代入原微分方程，比较系数得 ，解得 ，因此所以原方程的通解为无穷级数参考答案一. 选择题1. 解析: 绝对收敛, 发散, 所以发散. (B)是答案2. 解
4、析: 因为条件收敛, 所以. 对于(C)所以，即(C)是正确，A，B，D不一定正确。3. 解析： 收敛, 所以收敛. 收敛级数的和收敛. 所以(D)是答案. 对于(C)有以下反例：， ， ，所以发散。同理，对于A，B，举反例可知不正确。4. 解析： 因为在收敛，所以在处收敛，故幂级数在内绝对收敛，即在内绝对收敛，因此答案B正确。二. 判断下列级数的敛散性:1. 解： 因为，所以和有相同的敛散性，由于 收敛，所以原级数收敛.2. 解：，所以级数发散.3. 解： ， 所以级数收敛.4. 解： 因为，所以由级数收敛的必要条件可知，原级数发散。5. 解： 因为所以收敛，故原级数绝对收敛.6. 解：因为
5、=1， 收敛，所以正项级数收敛，故原级数绝对收敛.7. 解：.因为，又因为条件收敛，所以原级数条件收敛.8. 解： 这是交错级数，其绝对值级数为级数，需分，讨论其绝对收敛与条件收敛。当时，其绝对值级数是收敛的，所以原级数绝对收敛；当时，其绝对值级数是发散的，而级数是交错级数，由莱布尼茨判别法可知其收敛，所以原级数条件收敛。当时，所以原级数发散。三. 求下列级数的收敛域:1. 解：第一个幂级数的收敛区间为， 第二个幂级数的收敛区间为所以它们的共同收敛区域为，考察端点：当时，得第一个级数发散，第二个级数收敛. 所以该级数发散. 原级数的收敛域为.2. 解：因为，令，原级数为，取，则，所以。当时，考察级数，易知级数与级数都收敛，所以级数收敛；当时，考察级数，因为发散，级数收敛，所以级数发散。综上可知，幂级数的收敛区间为，由解不等式，得原级数的收敛区间为.四。解答题1. 将函数展开成的幂级数。分析 将化为关于形式的函数，再利用的幂级数展开式求解。解：，因为，即，即所以，收敛区间为2将函数展开成的幂级数解：将函数进行部分分式分解通分，比较系数得，解得 ，所以，所以，即收敛区间为3. 解：令，则逐项求导得，再对逐项求导得，所以对逐项积分可得所以再对逐项积分可得