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1、高等数学（常微分方程）考点精讲例题解析一、 基本要求1. 理解微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件，特解等概念。2. 掌握一阶可分离变量微分方程的解法和一阶线性微分方程的解法。3. 了解二阶线性微分方程解的结构。4. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。5. 掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。（或）二、 重难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法三、内容提要1、 微分方程的基本概念（1） 微分方程的定义：凡是含有未知函数的导数或微分的方程。（2） 微分方程的阶，解，通解：阶：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。解：把或
2、代入微分方程能使方程成为恒等式，则称该函数为微分方程的解。通解：若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶相同，则称这样的解为微分方程的通解。（3） 初始条件和特解：初始条件：用未知函数及其各阶导数在某特定点的值作为确定通解中任意常数的条件。特解：满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解.2.可分离变量的微分方程定义：可化为的形式的一阶微分方程称为可分离变量方程.求解方法 第一步:分离变量 ，第二步:两边积分 .3. 一阶线性微分方程定义 形如（或）的微分方程，称为一阶线性微分方程，“线性”是指未知函数和它的导数都是一次的.求解方法 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程
3、（或）所对应的齐次线性微分方程（或）的通解（或）第二步：设（或）为一阶线性微分方程（或）的解,代入该方程后,求出待定函数（或）.(常数易变法)第三步: 将（或）代入（或）中,得所求一阶线性微分方程（或）的通解.4.二阶常系数齐次线性微分方程定义：形如 的微分方程（其中均为已知常数） 求解方法 第一步：写出方程的特征方程 ，第二步：求出特征方程的两个特征根 ,，第三步： 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出的通解.有两个不同特征实根有两个相同特征实根有一对共轭复根 i5.二阶常系数非齐次线性微分方程定义：形如 的微分方程（其中均为已知常数，） 解得结构：齐次通解+非齐次特解 求解方法 ：第一
4、步：先求出所对应的齐次线性微分方程的通解。第二步：根据下表设出非齐次线性微分方程的含待定常数的特解,并将代入非齐次线性微分方程解出待定常数,进而确定非齐次方程的一个特解; 1. ，则特解形式为， 其中是与同次的多项式，.2（A,B是实数并且允许其中一个为零），则特解第三步：+即为微分方程的通解。6. 二阶线性微分方程解的结构（新增内容） 二阶齐次线性微分方程解的叠加原理如果函数和是齐次线性微分方程的两个解，则函数也是方程的解；且当与线性无关时， 就是方程的通解（其中是任意常数）. 非齐次线性微分方程解的叠加原理如果函数为非齐次线性微分方程的一个特解，为齐次线性微分方程的通解，则为该非齐次线性微
5、分方程的通解. 非齐次线性微分方程解的分离定理如果是方程的解，是方程的解，则是方程的解.四、 题型本章内容可以出现在选择，填空，计算等多种题型中，但做题核心没有差异，都是求特解形式，微分方程的通解，微分方程的特解。一阶微分方程，首当其冲考虑分离变量使其变成，两边积分即得，而确定的隐函数就是微分方程的解，由分离变量解得微分方程最后的解得形式不一定非要是的形式。关于的恒等式即可。若分离变量行不通， 则用一阶线性微分方程的常数变易法，必有或的形式。我们要注意的是在用分离变量求对应齐次微分方程解得时候一定要化成（或）的形式，其实就是（或），然后令（或）代入原方程求出（或）即可。二阶常系数微分方程：对于
6、齐次的，求解特征方程记住三种形式即可。对于非齐次有两种情况，最重要的是熟记特解的形式。例1 （一阶) 求微分方程 满足条件的特解.解： 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 ，两边积分，得 ，求积分得 ，记 ，得方程的解 .所以原方程的通解为 （为任意常数）.代入初始条件 得 ，所以特解为 .例2 （一阶） 求微分方程（1），（2） 的通解.（1）分析:一阶，无法分离变量。与的形式不匹配，所以只有是。解：原方程可化为 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 ，得其通解为 .设为原方程的解，代入原方程，化简得 ，所以原方程的通解为 ，即 （为任意常数）.（2）分析：
7、很显然与一阶线性微分方程的形式匹配。解：原方程对应的齐次方程 分离变量，得，两边积分，得，化简得，用常数变易法.设代入原方程，得 ，故原方程的通解为 （为任意常数）.例3 （二阶）求微分方程的通解.分析：原方程显然二阶常系数其次线性微分方程，只需考察特征方程的根，对应到三种解的形式即可。解：原方程对应的特征方程为 ，=，（1）当，即 或时，特征方程有两个不相等的实根 ， 故原方程的通解为.（2）当，即或时，特征方程有两个相等的实根 ， 故原方程的通解为 . （3）当，即 时，特征方程有两个共轭复根 ， 故原方程的通解为.例4 求微分方程 满足初始条件，的特解.解： 对应齐次方程的特征方程为 ，
8、特征根 故对应齐次微分方程的通解为 因为是特征方程的单根，所以设特解为 代入原方程得 ，比较同类项系数得 ，从而原方程的特解为 故原方程的通解为 ，由初始条件 时，得 从而，.因此满足初始条件的特解为 .例5 求微分方程 的通解.解： 对应的齐次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所对应的齐次微分方程通解为由于，是特征方程的单根，且是零次多项式。所以设特解为 ，代入原方程，化简得,比较同类项系数，得 ，.所以，方程（）的特解为=,其虚部即为所求原方程的特解 因此原方程通解为.小结：在设微分方程 的特解时，必须注意把特解设全.如：，那么 ，而不能设.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，
9、上面所求的特解一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.五、学法建议1本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法.2 本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求解法，学员首先要善于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座”，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下药”.同时，建议读者再做足够的习题加以巩固.常微分方程习题书本：P335习题1，习题4 P341习题1，习题
10、2，习题3 P358习题1（1）（6），习题2 P365习题1，习题2 P366概念复习 P367综合练习13，除带*外 1. 2. .求方程的通解 3. =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 4. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 5. = 6. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 7. tanydx-cotxdy=0 8.+=0 9. =e 10 11. 12四、 证明题1、 证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 无穷级数1.1常数项级数一、学习指导1.基本要求理解无穷级数及其收敛与发散的概念。掌握无穷级数的基本性质
11、及收敛的必要条件。熟悉几何级数、调和级数与级数的敛散性。掌握正项级数收敛性的比较判敛法、极限判敛法，熟练掌握比值判敛法。掌握交错级数的莱布尼茨判敛法。掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念和判敛法。2.重点与难点重点： 级数的收敛性概念，正项级数及交错级数的判别法，级数收敛的必要条件。难点： 正项级数的比较判别法和比值判别法，级数的绝对收敛与条件收敛的判别。3.学习方法（1）利用定义判别级数的敛散性，需讨论部分和数列的极限是否存在，关键是求出部分和数列的简化形式，一般化简的方法有两种：方法1：利用等比数列的求和公式 。方法2：拆项相加，如， 等。若不易化简，则考虑用其他方法。（2）利用极数收敛
12、的必要条件判别级数发散是一种常用的方法。一般地，若容易求，且，则可由此判定级数发散；但若，则级数可能收敛，也可能发散，需用其他方法判别。（3）正项级数敛散性的一般方法是：若所给级数从某项以后的项可经缩小与放大处理后化成级数或几何级数形式，则用级数或几何级数作为比较标准，利用比较判敛法；若所给级数的一般项含有阶乘形式或次幂形式，判别其敛散性时利用比值法；注意：对正项级数判敛，通常是先用比值法，当用比值法失效时，再利用比较判敛法，使用比较判敛法时，关键是对级数的一般项进行放缩，几何级数与级数通常被用作比较标准，当利用极限判敛法时，可选用一般项的等价无穷小或同阶无穷小作为比较级数的一般项。（4）交错
13、级数判别收敛性时应先判别其是否绝对收敛，若否再判别是否条件收敛，为此需验证莱布尼茨判敛法的两个条件，验证时，可用比值；差值；或将看成，讨论在上单调不增，验证时，若极限不容易求，则先求，再由得证。（5）任意项级数判敛散，先将各项取绝对值，考察其绝对值级数的敛散性，即正项级数的敛散性，若绝对值级数发散，不能断言原级数也发散，但如果利用比值法知绝对值级数发散，则可断定原级数发散，这是因为此时必有，从而.二、解题指导1.利用部分和及级数的性质例1 判别下列级数的敛散性：； .解： 因为级数的一般项，而级数与都是公比绝对值小于1的几何级数，故它们都收敛，由性质知其和也收敛，从而，所以原级数收敛。由于，而
14、与 都是收敛的级数，所以由级数的性质可知，它们的和收敛，即原级数收敛。级数的一般项，注意到 由于极限不存在，由级数收敛的必要条件知原级数发散。2.正项级数的收敛性例2 判别下列级数的敛散性：； ； .解题思路： 判断正项级数敛散性的一般顺序是：观察级数是否为级数或几何级数或是两者的线性组合，若是，可利用性质。若不是，则进行下一步。考察是否为零，若不是，知级数发散；若是，则进行下一步。用比值法进行判别，若失效，则进行下一步。用比较判敛法或其极限形式进行判别，难点在于选取比较级数.若用极限形式的比较判敛法，应 注意利用通项的特点选其等价无穷小作为，此时与同敛散。解： 一般项可经过放缩处理，化成级数
15、，故选用比较法，也可利用拆项法求解。方法1： 因为，而收敛，由比较判别法知，原级数收敛。方法2： 因为 ， ，则，故原级数收敛且其和为. 方法3：比较判别法的极限形式分析：分母是n的多项式，分子是常数，可看成是零次多项式，最高次次数的差是3，除以对应的P级数因为，所以和同时收敛或发散。易知收敛，所以收敛。方法：比较判别法的极限形式注意到，取，用极限判敛法。因为，所以原级数与调和级数具有相同的敛散性，由于调和级数发散，故原级数发散。一般项出现了阶乘形式，选用比值判别法。因为 ，所以原级数发散。比较判别法的极限形式常用于一般项中分子分母都是关于n的多项式或是开方，比较分子分母中最高次次数的差，若分
16、子的最高次不小于分母的最高次，由必要性知必发散，否则，若除以对应的P级数即可。，因为发散，所以原级数发散，因为收敛，所以原级数收敛.,因为发散，所以原级数发散. 利用等价判定敛散性：因为对于两个正项级数，若，则他们的敛散性相同。, 当时，所以当，所以 与敛散性相同，易知收敛，所以收敛。， ，当时，易知发散，所以发 散，原级数非绝对收敛。由莱布尼茨定理易知原级数收敛，故为条件收敛。3.交错级数例3 判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ ； ； .解题思路： 对交错级数先考察其绝对值级数是否收敛，若收敛，原级数为绝对收敛；若发散，再验证莱布尼茨定理条件是否满足，若满足，则原级数
17、条件收敛。解： 级数，其部分和 ，故，从而绝对值级数发散。（可用等价做，留给同学练习）对级数，设，因为 ，所以是单调递减数列，又，由莱布尼茨判别法，原级数收敛且为条件收敛。设，因为 ，由比值判别法，绝对值级数收敛，所以原级数绝对收敛。注意到，原级数化为，故原级数为交错级数。对正项级数，因为，而级数发散，由极限判敛法，绝对值级数发散。（与等价原理一样）对级数，设，因为，由莱布尼茨判别法，原级数收敛且为条件收敛。4.任意项级数例4 判别下列级数的敛散性： ； ； .解： 这是任意项级数，其绝对值级数发散。根据级数的规律，每三项加一括号，考察加括号后级数的敛散性，因为 ，（利用比较判别法的极限形式）
18、令，则 ，所以级数发散，从而级数发散。相对于原级数，加括号后的级数发散，由级数的性质可知，原级数必发散。原级数可化为交错级数，先考察其绝对值级数的敛散性，因为 ，（等价原理）对级数，因为，而发散，由比较判别法知发散，从而发散。对级数，令，因为，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故为条件收敛。将一般项放大处理，考察以放大后的项作为一般项的级数的敛散性，因为，对级数，令，则 ，由比值法知级数收敛，所以由比较法知绝对值级数收敛，从而原级数绝对收敛。5.含参数的级数例5 判别下列级数的敛散性： ； 解题思路： 一般项中含有参数，需注意对参数进行讨论。解： 注意到，故就分别讨论。当时，由级数收敛的必要条件知
19、原级数发散；当时，由级数收敛的必要条件知原级数发散；当时，而级数为公比绝对值小于1的几何级数，是收敛的，由比较判别法原级数收敛。综上所述，当时原级数收敛；当时，原级数发散。6.综合题例6 证明； 解题思路： 证明数列极限为0可利用级数收敛的必要条件，证明一般项为此的级数收敛即可。证明： 考察正项级数，若该级数收敛，则.为此设是正项级数的一般项，用比值法判别级数的敛散性。因为 ，所以级数收敛，故.例7 设正项级数和都收敛，证明级数也收敛。分析： 因为，所以，且。又已知级数和收敛，如果级数和收敛，由不等式与比较判别法即可推得收敛，从而欲证结论成立。证明： 因为收敛，所以，由极限定义，对正数，存在，
20、使当时，有，从而，由比较判别法，级数收敛，同理可证级数收敛。又因为，而收敛，由比较法知级数收敛，所以收敛。7.错解分析例8 已知级数与均收敛（或均发散），且，问级数是否收敛？错解： 因为，由比较法知级数，同时敛散。分析： 比较法仅对正项级数成立，此处的三个级数为任意项级数，故上述结论在时成立。正解： 若级数与均收敛，则收敛，因为，所以由比较判别法知收敛。又，所以由性质知收敛。若级数与均发散，则的敛散性不确定。如对，虽然与发散，但收敛。对，有，且与发散，而也发散。1.2 幂级数一、学习指导1.基本要求（1）理解幂级数的概念和密集式在其收敛区间内的性质（和，差，逐项求导，逐项求积）（2）熟练掌握确
21、定幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。（3）熟练掌握，的麦克劳林展开式，并会将一些简单函数展开成幂级数。2.重点与难点重点： 幂级数的收敛性、收敛半径、收敛区间，一些特殊函数的麦克劳林展开式难点： 幂级数收敛域的端点收敛性的判定，用间接法求函数的幂级数展开式3.学习方法（1）求幂级数收敛域的一般方法。对幂级数，如果，则该幂级数的收敛半径为 绝对收敛区间为，对区间端点，则利用数项级数判别法另行讨论级数的收敛性后确定收敛域。幂级数的收敛域是以为中心的对称区间，其收敛半径为 ，绝对收敛区间为，在收敛区间端点，幂级数是否收敛，需用数项级数判别法判断。对形如 （设有反函数）的函数项级数求收敛区间，直接利用
22、正项级数的比值法，由确定的取值范围。（这个方法一般用于函数的幂是不连续的，比如幂是等等，而不是这样连续的）求幂级数展开式的方法和步骤把已知函数展为幂级数的方法有直接法与间接法两种。直接展开法：（不常用，证明常用函数的幂级数展开式时用此方法）展开步骤如下：求出的各阶导数，。计算。写出幂级数，并求收敛区间。写出 ，并讨论。若，则，并写出收敛区间。间接展开法（重点）：利用几个常用函数(，)的麦克劳林展式，根据函数幂级数展开式的惟一性，通过适当的变量代换、四则运算、复合运算、微分及积分运算，将函数展成幂级数。二、解题指导1.求幂级数的收敛区间例1 求下列幂级数的收敛半径与收敛区间： (1)；(2)；
23、解题思路： 求形如幂级数的收敛区间，一般是利用公式，先求得收敛半径，再用数项级数判别法判断级数的敛散性后确定收敛域；求其他形式幂级数的收敛域可用两种方法之一求：一种是通过变量代换将所求幂级数化为形式；另一种是直接用正项级数的比值法，然后讨论区间端点处的收敛性。（常用后者）解： (1)因为，原级数缺少的奇次幂项，故直接用比值法。因为 ，所以时原级数收敛，时原级数发散，故。当时，原级数发散，所以所求收敛区间为。(2)因为，且缺少的奇次幂项，直接用比值法有时原级数收敛，所以，当时原级数发散，从而.当或4时，原级数为是收敛级数，所以所求收敛区间是。例2 将下列函数展开成的幂级数：； ，展开成的幂级数；
24、.解题思路： 把函数展开成幂级数一般用间接展开法，为利用已知函数的幂级数展开式，应先对函数进行恒等变形，再采用代换法、代数运算、分析运算等方法进行展开，并注意在收敛区间内将所得结果用一个幂级数表示。解： 是有理函数，应将其化为幂函数与部分分式乘积的形式，再利用相应公式展开。 ，易知收敛区间为.（2） 解题思路：有理函数展开成幂级数是常考题型，而且多见于分母是2次的。 做题步骤：第一步，化假分式为真分式 第二步，将真分式的分母分解因式 第三步，把真分式化成分母为因式的真分式之和 第四步，把X变成X-A加减常数使原式不变，把分母上的常数（一般放在前面）变成1, 第五步，利用，的麦克劳林展开式，注意
25、收敛域，再化简。解：= （第一步）易知 （第二步）令 （第三步）两边通分，比较系数得，所以， （第四步）同理易知 （第五步）所以 因为 ，所以 ，.习 题一. 选择题1. 设a为常数, 则级数（ ）(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与a取值有关. 2. 设条件收敛, 则（ ）(A) 收敛, (B) 发散, (C) 收敛,(D) 和都收敛.3. 若在处收敛, 则此级数在处 （ ）(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定. 二. 判断下列级数的敛散性:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.三. 求下列级数的收敛域:1. （利用性质）2. （利用性质）3.四、解答题1将函数展开成的幂级数。2.将。