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1、高等数学常微分方程考点精讲与例题解析计算题1解：为常数解 1y 当，时，分离变量取不定积分，得0y1yCxyyydlnd 原方程的通解为xCyeln注：包含在常数解中，当时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。1y 0c 2解：对应齐次方程的特征方程为 ，0520152齐次方程的通解为 xCCy521e 因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为0)()(21CBxAxxxy 代入原方程，比较系数确定出 ，31A51B252C 原方程的通解为 xxxCCyx2525131e235213. 解：原方程可化为 ，引入新的变量，则，xyxydxdy221xyu uxy udxduxdxdy将代入，可得
2、，变量分离 udxduxdxdy21udxduxxdxudu21两端积分，而xdxudu2112C|tansec|lnsectan1tttdttuudu12C|1|lnuu所以，也就是212C|lnC|1|lnxuuCxuu|1|ln2所以原方程的通解为Cxyxy222ln第 1 页 共 9 页4. 解：，变量分离 dyxdxy) 1-(2dxxdyy11-12两边积分：-， 解得 lnC|1|ln-1xyyCex11当，时 ， 所以原方程的特解为0 x1yeC1111yex5解：原方程为：=，变量分离dxdyyy2131xx ，两边积分得 dyyy21dxxx31Cln|1|ln21- |l
3、n|1|ln2122xxy所以原方程的通解为 222C)(11 (xyx6. 解： 据题意，方程两边同时对求导数，得1)()(0dttfxfxx，令，则有0)()()(20 xfdttfxfx)(xfy 2-yyy即，变量分离并两端积分，从而可得3-ydxdyCxy212所以或C21)(xxfC21-)(xxf7. 解: 据题意知函数是可导函数，方程 两边同时)(xdttxdtttexxxx00)(-)()(对求导，得到 ，方程两边同时对xdttexxx0)(-)(dttexxx0)(-)(求x导，得到二阶常系数非齐次微分方程 xexx )()(特征方程为 ，解得 ，012rir 1ir-2所
4、以对应齐次方程的通解为 0)()( xxxCxxsincosC)(21又因不是特征方程为 的根，故取1012r0k第 2 页 共 9 页所以的特解形式可设为，则，xexx )()(xAey *xAey )(*xAey )(*把，代入原方程可得 *y)(*y)(* y21A所以原方程的通解为 xexCxx21sincosC)(21又因 ，所以，1(0) 1(0) 211C212C故函数)sincos(21)(xexxx8解：特征方程为，解得 ，012rir 1ir-2所以对应齐次方程的通解为 0 yyxCxysincosC21对于微分方程，由于不是特征方程为的根，故取2xyy 0012r，0k，
5、因此方程的特解形式可设为；2)(xxPm2xyy CBxAxy2*1对于微分方程，由于不是特征方程为的根，故取，1 yy0012r0k，因此方程的特解形式可设为；1)(xPm1 yyDy *2对于微分方程，由于是特征方程为的根，故取xyysin ii 012r，因此方程的特解形式可设为1kxyysin )sincos(*3xFxExy综上可知，原微分方程的特解可设为xxyysin12 ，再令*yDCBxAx2)sincos(xFxExDCG则*yGBxAx2)sincos(xFxEx9. 解：微分方程的特征方程为 ，解得texxxtcos32- 032-2rr ， ir211ir2-12 因为
6、不是特征方程的根，故取ii1-032-2rr0k第 3 页 共 9 页 所以微分方程的特解形式可设为texxxtcos32- )sincos(-*tBtAext10解：原方程可化为，此方程为一阶线性微分方程，其中，12yxdxdyxxP2-)(1)(xQ 由一阶线性微分方程的通解公式可知 )()dx()(-CdxexQeyxPdxxP 即 2-2Cdxeeydxxdxx22ln-lnCdxeexx 22221-1Cx-xCxxCdxxx11 解： 因为，即，为一阶线性微分方程，其中yyxdydx2-2yxydydx-2-，y2-)(yP ，由一阶线性微分方程的通解公式可知yyQ-)(，)()d
7、y()(-CdyeyQexyPdyyP即1-2lnln2-222CdyyyCdyyeeCdyyeex-yydyydyy|)|ln-(2yCy于是所求得的通解为|)|ln-(2yCy12解： 特征方程为，解得，03-2-2rr31r1-2r因此对应齐次方程032 xxx通解为tteCeCx-231又因不是特征方程的根，故取，而003-2-2rr0k13)( ttPm所以微分方程具有的特解形式可设为 133-2- txxxbatx*则，把，代入原微分方程ax )(*0)(* xbatx*ax )(*0)(* x，比较系数得 ，133-2- txxx33-a13-2-ba解得 ，因此1-a31b31
8、-* tx所以原方程的通解为31-231teCeCxtt第 4 页 共 9 页无穷级数参考答案一. 选择题1. 解析解析: 绝对收敛, 发散, 所以发散. (B)是答案12sinnnn11nn121sinnnnn2. 解析解析: 因为条件收敛, 所以. 对于(C)1) 1(nnna0limnna所以，即(C)是正确，nknkknaaaas1111)(111)(limlimaaasnnnnA，B，D 不一定正确。3. 解析解析： 收敛, 所以收敛. 收敛级数的和收敛. 所以(D)是答案. 对于(C)有以1nnu11nnu下反例：， ， ，所以1111) 1(nnnnnu1112121nnnnu1
9、1221nnnnu发散。同理，对于 A，B，举反例可知不正确。112121)(nnnnnuu4. 解析解析： 因为在收敛，所以在处收敛，故幂级数1) 1(nnnxa2x1nnnta3t在内绝对收敛，即在内绝对收敛，因此答案 B 正1nnnta3|t1) 1(nnnxa(-2,4)x确。二二. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:1. 解：解： 因为，所以11) 1)()(1(1lim3nnananan1) 1)()(1(1nnanana和有相同的敛散性，由于 收敛，所以原级数收敛.0)( a131nn131nn第 5 页 共 9 页2. 解：解：，所以级数发散.13!3) 1()!1(3
10、limlim111ennnnuunnnnnnnn3. 解：解： ， 所以级数收敛.141) 12)(22() 1(lim)!2(!)!22()!1()!1(limlim21nnnnnnnnnuunnnnn4. 413121aaaa)0(a解：解： 因为，所以由级数收敛的必要条件可知，原级数发散。0limlimlim1nnnnnnaau5. 解：解： 因为1322332lim) 13(52) 12(53)23)(13(52)32)(12(53limlim1nnnnnnnnuunnnnn所以收敛，故原级数绝对收敛.1) 13(852) 12(753nnn6. 解：解：因为=1， 收敛，所以正项级数
11、收敛，故原级数nlimnnnn11tan11nnn11tannnn绝对收敛.7. 解解：.11sin) 1()sin(nnnnnn因为，又因为条件收敛，所以原级数条件收敛.nnn1sinlim11) 1(nnn8. 解：解： 这是交错级数，其绝对值级数为级数，需分，讨论其绝p10 , 1pp0p对收敛与条件收敛。第 6 页 共 9 页当时，其绝对值级数是收敛的，所以原级数绝对收敛；1p11npn当时，其绝对值级数是发散的，而级数是交错级数，由10 p11npn 111npnn莱布尼茨判别法可知其收敛，所以原级数条件收敛。当时，所以原级数发散。0p01) 1(limlimpnnnnnu三三. 求
12、下列级数的收敛域求下列级数的收敛域:1. 123) 1)(3(nnnxn解解：12312123) 1() 1(3) 1)(3(nnnnnnnnxnxxn第一个幂级数的收敛区间为， 第二个幂级数的收敛区间为)31,131-(1x)2(0,x所以它们的共同收敛区域为，考察端点：)311 ,311 (当时，得第一个级数发散，第二个级数收敛. 所以该级数发散. 311x13131nnnn原级数的收敛域为.)311 ,311 (2. 1) 1()2(3nnnnxn解：因为，令，原级数为，取nnnnxn-xu) 1() 3(3)(1 xynnnnyn1(-2)3，则nannn(-2)3 ，所以。31)()
13、32(-1)32(-13lim1)(-2)3(-2)3limlim11n11nnnnaannnnnnnnnn31R第 7 页 共 9 页当时，考察级数，易知级数与级数都31y1)31()2(3nnnnn1) 1(nnn1321nnn收敛，所以级数收敛；1)31()2(3nnnnn当时，考察级数，因为发散，级数收敛，31y1)31()2(3nnnnn11nnnnnn)32(-1)1所以级数发散。1)31()2(3nnnnn综上可知，幂级数的收敛区间为，由解不等式123nnnnyn)31,31-1 xy，得原级数的收敛区间为.31131x)32,-34-四。解答题1. 将函数展开成的幂级数。xxx
14、f1ln)(1x分析 将化为关于形式的函数，再利用的幂级数展开式求解。)(xf1x)1ln(x解：，因为，)1 (ln-ln1ln)(xxxxxfnxxnnn1(-1)1 (ln(-1,1)x，即11 -) 1-(-1) 1-1 (lnlnnnnnxxx1|1-|x(0,2)x，11 -2) 1-(-1)ln2)21-ln(1ln2)21-ln2(11)-ln(2)1 (lnnnnnnxxxxx，即1|21-|x(-1,3)x所以)1 (ln-ln1ln)(xxxxxf11 -) 1-(-1)nnnnx11 -2) 1-(-1)ln2nnnnnx，收敛区间为11 -)211(1)-(-1)2l
15、nnnnnnnx(0,2)x2将函数展开成的幂级数3262)(2xxxxf2-x第 8 页 共 9 页解：将函数进行部分分式分解)(xf31-3-26-2)(2xBxAxxxxf通分，比较系数得，解得 ，6-32BABA1-A3B所以1-1-33331-1-3-26-2)(2xxxxxxxxf，nnnxxx2)-(-1)2-(111-101|2-|x，0105)2-(-1)35)2-(-1)5352-11532-5333nnnnnnnnxxxxx5|2-|x所以1-1-33)(xxxf015)2-(-1)3nnnnxnnnx 2)-(-1)-0，即收敛区间为011)-53()2-(-1)nnnnx1|2-|x(-1,3)x3. 解：令，则逐项求导得，11) 1(1)(nnxnnxS1)(nnnxxS再对逐项求导得，1)(nnnxxSxxxxSnnnn-11)(011 - (-1,1)x所以对逐项积分可得xxxxSnnnn-11)(011 - )-1 (ln-11)(0 xdttxSx所以再对逐项积分可得1)(nnnxxSdttxnnxSxnn011)-(1ln) 1(1)(xxxxttxxdttxxdttttt0000)-1 (ln-)-1 (ln)-111(-)-1 (ln-1)-1 (lnxxx-)-)ln(11-(第 9 页 共 9 页