平面问题基本理论ppt课件.ppt

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1、第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第五章第五章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论l5.1 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题l5.2 平面问题的基本方程平面问题的基本方程l5.3 边界条件边界条件l5.4 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用l5.5 按位移求解平面问题按位移求解平面问题l5.6 按应力求解平面问题按应力求解平面问题l5.7 常体力下的简化常体力下的简化 应力函数应力函数第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学

2、习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 弹性力学平面问题共有应力、应变和弹性力学平面问题共有应力、应变和位移位移8 8个未知函数，且均为个未知函数，且均为 。2-12-1平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题l弹性力学空间问题共有应力、应变和位移弹性力学空间问题共有应力、应变和位移1515个未知函数，且均为个未知函数，且均为 ；退退化化到到平平面面问问题题第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 （2 2）体力体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；作

3、用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；（3 3）面力面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（4 4）约束约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。结构条件：结构条件：第一类平面问题：第一类平面问题：平面应力问题平面应力问题 （1 1）等厚度的）等厚度的薄板薄板；受力条件：受力条件：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 坐标系如图选择。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带

4、着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确简化为平面应力问题：简化为平面应力问题：故只有平面应力故只有平面应力 存在。存在。由于薄板很薄，应力是连续变化的，由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无又无z向外力，可认为：向外力，可认为：（1 1）两板面上无面力和约束作用，故）两板面上无面力和约束作用，故第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 所以归纳为平面应力问题：所以归纳为平面应力问题：a.a.应力中只有平面应力应力中只有平面应力 存在；存在；b.b.且仅为且仅为

5、。（2 2）由于板为等厚度，外力、约束沿）由于板为等厚度，外力、约束沿z z向向不变，故应力不变，故应力 仅为仅为 。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确如：弧形闸门闸墩计算简图：深梁计算简图：F第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确因表面无任何面力，因表面无任何面力，AB例题例题1 1：试分析试分析ABAB薄层中的应力状态薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故表面

6、上，有：故表面上，有：在近表面很薄一层内：在近表面很薄一层内：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 （2 2）体力体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；长度方向不变；第二类平面问题：平面应变问题第二类平面问题：平面应变问题条件是：条件是：（1 1）很长的）很长的常截面柱体常截面柱体；（3 3）面力面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；长度方向不变；（4 4）约束约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体作用于

7、柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。长度方向不变。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确坐标系选择如图：对称面第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 故任何故任何z z 面（截面）均为对称面。面（截面）均为对称面。平面应变（1 1）截面、外力、约束沿）截面、外力、约束沿z z 向不变，外力、约束向不变，外力、约束 平行平行xyxy面，柱体非常长；面，柱体非常长；简化为平面应变问题：简化

8、为平面应变问题：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（2 2）由于截面形状、体力、面力及约束沿）由于截面形状、体力、面力及约束沿 向均不向均不 变，故应力、应变和位移均为变，故应力、应变和位移均为。平面应变所以归纳为平面应变问题：所以归纳为平面应变问题：A.应变中只有平面应变分量应变中只有平面应变分量 存在；存在；B.且仅为且仅为 。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l例如：平面应变

9、隧道挡土墙oyxyox第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确且仅为且仅为 。故只有故只有 ，本题中：本题中：平面应变oxyz例题例题2 2：试分析薄板中的应变状态。：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。故为平面应变问题。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5 52 2平面问题基本方程平面问题基本方程定义 一、平衡微分方程平衡微分方程二、几何方程几何方程第二章 平面应力问题和平面应变

10、问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确定义广义胡克定律：广义胡克定律：三、物理方程三、物理方程第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确平面应力问题的物理方程：平面应力问题的物理方程：代入 ，得：在z方向平面应力第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 代入 得平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程平面应变在z方向，

11、第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l平面应力物理方程平面应变物理方程：变换关系变换关系：平面应变物理方程平面应力物理方程：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 位移边界条件位移边界条件 设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有（在 上)。（a）定义 边界条件边界条件 表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。位移边界条件5 53 3边界条件边界条件第二章 平面应力问题和平面应变

12、问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：（在 上）。（b）它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。它是函数方程，要求在 上每一点，位移与对应的约束位移相等。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确任一斜面应力与坐标面应力的关系式，应力边界条件应力边界条件设在 上给定了面力分 量 （c）应力边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让

13、学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确将此斜面移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明：式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立；它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很

14、明确 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边）也必须满足。式（d）中，按应力符号规定，按面力符号规定；位移,应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示 ，向的条件；说明第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确若x=a为正x 面，l=1,m=0,则式(d)成为当边界面为坐标面时当边界面为坐标面时，坐标面第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确若x=-b为负x 面，l=-1,m=0,则式(d)成为

15、第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确应力边界条件的两种表达式：应力边界条件的两种表达式：两种表达式 在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一 致）。即在同一边界面上,应力数值应 等于面力数值(给定),应力方向应同面 力方向(给定)。在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f）；第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例1 列出边界条件：第二章 平

16、面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例2 列出边界条件：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确显然，边界条件要求在 上，也成抛物线分布。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，

17、所提出的问题也很明确 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件混合边界条件：混合边界条件：同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l例3列出 的边界条件：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足

18、边界条件。5 54 4圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 圣维南原理圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。圣维南原理圣维南原理：圣维南原理：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确圣

19、维南原理1.圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：圣维南原理的说明：4.远处 指“近处”之外。3.近处 指面力变换范围的一，二倍 的局部区域；2.静力等效 指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确圣维南原理 圣维南原理表明，在小边界小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部近处（局部区域）区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（

20、主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l例1比较下列问题的应力解答：b第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l例2比较下列问题的应力解答：推广第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l 圣维南原理的应用

21、：圣维南原理的应用：l1.推广解答的应用；l2.简化小边界上的边界条件。应用第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：精确的应力边界条件如图，考虑 小边界，第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。(a)在边界 上，第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教

22、学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界在同一边界 x=l 上，上，应力的主矢量 =面力的主矢量（给定);应力的主矩(M)=面力的主矩（给定）.数值相等,方向一致.(b)圣维南原理圣维南原理的应用的应用积分的应力边界条件积分的应力边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应

23、力的方向规定确定正负号。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确具体列出具体列出3 3个积分的条件：个积分的条件：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确即：应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值；应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。式中应力主矢量，主矩的正方向应力主矢量，主矩的正方向,正负号正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即

24、（正应力）（正的矩臂）的方向。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题平面应力问题。1.1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题的基本方程及边界条件平面问题5 55 5按位移求解平面问题按位移求解平面问题第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 平面应力问题 平

25、面域平面域A内的基本方程内的基本方程:平衡微分方程（在（在A内）内）第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确几何方程物理方程（在（在A内）内）（在（在A内）内）第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确应力边界条件 位移边界条件 （在 上）（在 上）S上边界条件上边界条件:8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习

26、，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 按位移求解按位移求解（位移法）取 ，为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ，的方程和边界条件，从而求出 ，；再求形变和应力。2.2.解法解法消元法消元法 解法第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 按应力求解按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。这是弹力问题的两种基本解法这是弹力问题的两种基本解法。第二章 平面应力

27、问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.按位移求解按位移求解 将其他未知函数用 ，表示：形变用 ，表示几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用 ，表示:取 ，为基本未知函数；按位移求解第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 在A中导出求 ，的基

28、本方程将式(a)代入平衡微分方程，上式是用 ，表示的平衡微分方程。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确位移边界条件 （在 上）(d)（在 上）(c)应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，在在S S上的边界条件上的边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确按位移求解时，按位移求解时，必须满足必须满足A A内的方程内的方程(b)b)和边界条件和边界条件(c)c)，(d)(d)。归纳：归

29、纳：式(b)，(c)，(d)是求解 ，的条件;也是校核 ，是否正确的全部条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l 按位移求解（位移法）的优缺点：按位移求解（位移法）的优缺点：求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。适用性广可适用于任何边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移

30、法求解。(a)(b)第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为(a)(b)第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 均属于位移边界条件，代入 ，得得解出第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也

31、很明确在 处，代入 ，并求出形变和应力，第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（1）取 为基本未知函数；基本方程56 按应力求解平面问题按应力求解平面问题相容方程相容方程1.按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题（2）其他未知函数用应力来表示:第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量

32、来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题只考虑全部为应力边界条件的问题,即 。形变用应力表示（物理方程）。按应力求解第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 在A内求解应力的方程(b)从几何方程中消去位移 ，得相容方相容方程（形变协调条件）程（形变协调条件）：补充方程从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出:平衡微分方程（2个）。(a)第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，

33、由浅入深，所提出的问题也很明确 代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程：其中(4)应力边界条件假定全部边界上均为应力边界条件 。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界 上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件（见第四章）。归纳归纳：（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题 ，应力 必须满足下列条件：第二章 平面应力问题和平面

34、应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调对应的位移存在位移必然连续；形变不协调对应的位移不存在不是物体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体位移连续几何方程形变协调条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确点共点（连续），变形后三连杆在 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调

35、条件。例1 三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。2.若 是否可能 成为弹性体中的形变？3.若 是否 可能为弹性体中的应力？思考题思考题第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 相容方程 (A)(a)1.常体力情况下按应力求解的条件常体力情况下按应力求解的条件

36、(A)(b)平衡微分方程 按应力函数求解5 57 7常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 应力边界条件 (S)(c)多连体中的位移单值条件。(d)第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 在-条件下求解 的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故 与弹性常数无关。2.在在常体力常体力,单连体单连体,全部为应力边全部为应力边界

37、条件（界条件（）下的应力）下的应力 特征：特征：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 3.常体力下按应力求解的简化常体力下按应力求解的简化 对应的齐次微分方程的通解通解，艾里已求出为 非齐次微分方程(b)的任一特解特解，如取（1）常体力下平衡微分方程的通解通解是：非齐次特解非齐次特解+齐次通解。齐次通解。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确所以满足平衡微分方程的通解为平衡微分方程的通解

38、为:(g)为艾里应力函数。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（2）应力应满足相容方程（a），将式 （g）代入（a），得 （3）若全部为应力边界条件 则应力边界条件也可用 表示。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确归纳：归纳：（1）A内相容方程（h）；（2）上的应力边界条件；（3）多连体中的位移单值条件连体。求出 后，可由式（g）求得应力。在常体力下求解平面问题，可转变为按应力函数按应

39、力函数 求解求解，应满足:第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例1 试列出图中的边界条件。MFyxl h/2 h/2q(a)第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解:(a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积

40、分的近似边界条件，当板厚 时，第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：FOxyqh(b)b/2 b/2第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置

41、具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 在小边界y=0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时，第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例2 2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。第二章 平面应力问题

42、和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 h/2 h/2AxylFO第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:(1)区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式218）;第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（2）应力边界条件（书中式219），在 所有受面力的边界

43、 上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用3个积 分的边界条件来代替。（3）位移边界条件（书中式214）。本 题在x=l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使3个积分的应力边界条 件已经满足。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（x=l及y=0），读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明

44、确例例3 3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 （a）相容；（b）须满足B=0,2A=C；（c）不相容。只有C=0，则第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例4 4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带

45、着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（当 ）。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l（a）此组应力满足相容方程。为了满足平l 衡微分方程，必须A=-F,D=-E.此外，还应满足应力边界条件。l（b）为了满足相容方程，其系数必须满足l A+B=0。l 为了满足平衡微分方程，其系数必须l 满足 A=B=-C/2。l 上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。第

46、二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例5 5 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程 试证明函数 都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数使用。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解：上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程），第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(a)

47、例例6 6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确xyloqql h/2 h/2第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确l解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足l（1）平衡微分方程；l（2）相容方程 ;l（3）应力边界条件（在 上）。l 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。第二章

48、平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确再校核边界条件，在主要边界上，第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确再将式（b）表达式代入次要边界条件，其主矢量为而主矩为第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具

49、有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确其主矢量为其主矢量为0，而主矩为第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 q(x)xylo h/2 h/2例7 在材料力学中，当矩形截面梁（度 ）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为第二章 平面应力问题和平面应变问题在

50、整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力 和挤压应力 的公式。（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题在整堂课的教学中，刘教师总是让学