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1、二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第五节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分广义积分(反常积分)广义积分（ImproperIntegrals)第五五章 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。基本问题：基本问题：（1）积分区间 a,b 为有限区间；（2）f(x)连续，或有界且间断点的个数为有限个。（1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间；（2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分引例引例.曲
2、线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 定义定义1.设若存在,则称此极限为 f(x)的无穷限广义积分积分,记作这时称广义积分收敛收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散发散.类似地,若则定义则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的广义积分也称为第一类第一类广义积分积分.并非未定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该广义积分发散.通常取通常取 c=0.引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式:广义积分 的计算分两步：（1）计算正常积分：（2）求极限：例例1.计算广义积分解解:或严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做
3、到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。思考思考:分析分析:原积分发散!注意注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例2.计算广义积分解解:例例3.证明第一类 p 积分证证:当 p=1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛;p1 时发散.因此,当 p 1 时,广义积分收敛,其值为当 p1 时,广义积分发散.例例4.计算广义积分解解:严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违
4、纪行为或突发事件。例例5：计算 方法一：方法一：两个不同类型函数乘积的广义积分，可考虑用分部积分法。其中，严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。思考题：指出下面解题过程的错误不存在或发散严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例5：计算 方法二：方法二：先换元，消去反三角函数令则正常积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 定义定义2.设而在点 a 的右邻域内
5、无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f(x)在 a,b 上的广义积分,记作则定义则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点瑕点(奇点奇点)瑕积分.例如,间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义注意注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则则可相消吗可相消吗?例例6.计算广义积分解解:显然瑕点为 a,所以原式严格执行突发事件上
6、报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。下述解法是否正确:,积分收敛例例7.讨论广义积分的收敛性.解解:所以广义积分发散.例例8.证明广义积分证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.当 q1 时所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为当 q 1 时,该广义积分发散.例例9.解解：求的无穷间断点,故 I 为广义积分.内容小结内容小结 1.广义广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的广义积分（瑕积分需要注意内部的瑕点）（瑕积分需要注意内部的瑕点）注：注：当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。高数A