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1、第五节含参积分第1页，共17页，编辑于2022年，星期三一、被积函数含参变量的积分一、被积函数含参变量的积分上的连续函数,则积分确定了一个定义在a,b上的函数,记作x 称为参变量,上式称为含参变量的积分.含参积分的性质 定理定理1.(连续性连续性)上连续,则由 确定的含参积分在a,b上连续.连续性,可积性,可微性:第2页，共17页，编辑于2022年，星期三证证:在闭区域R上连续,所以一致连续,即只要就有就有 这说明第3页，共17页，编辑于2022年，星期三定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,续,则含参变量的积分由连续性定理易得下述可积性定
2、理:第4页，共17页，编辑于2022年，星期三定理定理2.(可积性可积性)上连续,同样,推论推论:在定理2 的条件下,累次积分可交换求积顺序,即第5页，共17页，编辑于2022年，星期三定理定理3.(可微性可微性)都在证证:令函数,第6页，共17页，编辑于2022年，星期三因上式左边的变上限积分可导,因此右边 且有此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时,求导与求积运算是可以交换顺序的.第7页，共17页，编辑于2022年，星期三例例1.解解:由被积函数的特点想到积分:第8页，共17页，编辑于2022年，星期三例例2.解解:考虑含参变量 t 的积分所确定的函数显然,由于第9页，共17页
3、，编辑于2022年，星期三故因此得第10页，共17页，编辑于2022年，星期三二、积分限含参变量的积分二、积分限含参变量的积分在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,为定义在区域 上的连续函数,则 也是参变量 x 的函数,其定义域为 a,b .利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.第11页，共17页，编辑于2022年，星期三定理定理4.(连续性连续性)上连续,则函数证证:令 则由于被积函数在矩形域上连续,由定理1知,上述积分确定的函数第12页，共17页，编辑于2022年，星期三定理定理5.(可微性可微性)都在中的可微函数,则证证:令第13页，共17页，编辑于2022年，星期三利用复合函数求导法则及变限积分求导,得第14页，共17页，编辑于2022年，星期三例例3.解解:第15页，共17页，编辑于2022年，星期三例例4.分小时,函数的 n 阶导数存在,且证证:令 在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5 可得第16页，共17页，编辑于2022年，星期三即同理于是第17页，共17页，编辑于2022年，星期三