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1、线性代数东南大学数学系 周建华1目目 录录第一部分第一部分 行列式行列式第二部分第二部分 矩阵矩阵第三部分第三部分 向量向量第四部分第四部分 线性方程组线性方程组第五部分第五部分 特征值、特征向量特征值、特征向量第六部分第六部分 实对称矩阵和二次型实对称矩阵和二次型第七部分第七部分 向量空间向量空间历年试题历年试题2第一部分第一部分行行 列列 式式3一 行列式的定义的行列式定义为矩阵4567二 行列式的性质不必会证明，但要会熟练运用。82.上述性质的一些推论(1).如果行列式有一行的元素全为零，则其值为零；(2).如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为零；(3).如果行列式有两行的元素对应成
2、比例，则其值为零.93.行列式按行、列展开：104.行列式乘法定理：115.分块矩阵的行列式：12容易出现的错误 131415三 行列式的计算1.分类：按阶数大小分-低阶、高阶；按元素分-数字、字母。2.典型方法：化成低阶行列式；化成三角形行列式。161718192021 其中，每个 均不为零。22232425第二部分矩 阵26一 矩阵的代数运算 1.运算规律 27282.应当注意的问题 问题293031问题：什么时候成立？32二.可逆矩阵1.矩阵A可逆的条件(1)A的行列式不为零（非退化）；(2)A秩等于其阶数（满秩）；(3)存在矩阵B，使得AB=E（可逆）；(4)A的特征值均不为零（非奇异
3、）。332.逆矩阵的计算 利用伴随矩阵。利用初等变换。343.重要性质，如 35364 伴随矩阵(1).伴随矩阵的定义；3738394041425 矩阵方程化成标准形式的矩阵方程。43La premiere44三 分块矩阵45注：46几种常用的分块法：474849505152535455四 矩阵的秩56575859602矩阵的等价标准形61623.矩阵的运算与秩 63646566674.初等变换与初等矩阵 68697071向 量第三部分 72一.概念 1.线性组合和线性表示；2.线性相关和线性无关；3.极大无关组和秩731.线性组合和线性表示7475762.线性相关和线性无关7778793.极
4、大无关组和秩80重要结论:8182La deusieme83二.常用命题注意命题的不同表达形式。84（2）重要命题 8503年考研题（数学一年考研题（数学一,选择题选择题1,4分）分）本题得分率：61.9%。86878889（3）更多命题：）更多命题：90919293简化阶梯形矩阵94以给定向量组为列列向量作一矩阵A用初等行行变换将A化成阶梯形矩阵B找出B中的非零非零首元首元A中与这些非零首元相对应对应的列的列就是所求向量组的极大无关组向量组极大无关组的求法:95第四部分线性方程组 96一.解的存在性、唯一性 97二.解的结构 1.齐次线性方程组 98齐次线性方程组的解的结构99齐次线性方程组
5、的基础解系100重要结论1011022.非齐次线性方程解的结构 103104105三.求解106107108109五 平面、直线的相对位置 110解：两直线不平行：B的秩为3，故前两行不成比例。111其次，两直线在同一平面内：112113114La troisieme115第五部分 特征值 特征向量 116117118119120121122123124125126127二.矩阵相似的必要条件 128129130131三.可相似对角化问题 132注2：133推论：没有重特征值的矩阵一定相 似于对角阵。134135136137138139140141142第六部分 实对称矩阵和二次型 14314
6、4145146147148149150151三.二次型的矩阵152153154155156157158159160161 已知实矩阵162163 对于实称矩阵而言,相似的矩阵是否合同?合同的矩阵是否相似?164La quatieme165五.正定性 166167168169170171六.二次型与二次曲面172173174175第七部分 向量空间 176177178179180181182183184185186187188189190191192三.基变换和坐标变换193194195196197198四.向量空间的标准正交基199200201La cinqieme202历 年 考 题2030
7、3年考研题（数学一年考研题（数学一,填空题填空题,4分）分）本题得分率：45.4%。20403年考研题（数学一年考研题（数学一,选择题选择题1,4分）分）本题得分率：61.9%。20503年考研题（数学一，选择题，分）年考研题（数学一，选择题，分）本题得分率：80.2%。20603年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）本题得分率：36.7%。20703年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）本题得分率：25.8%。20804年考研题（数学一，填空题，分）年考研题（数学一，填空题，分）20904年考研题（数学一，选择题，分）年考研题（数学一，选择题，分）21004年考研题（数学一，选择
8、题，分）年考研题（数学一，选择题，分）21104年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）本题得分率：36%。21204年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）本题得分率：29%。21305年考研题（数学一、二，填空题，分）年考研题（数学一、二，填空题，分）21405年考研题（数学一、二，选择题，分）年考研题（数学一、二，选择题，分）21505年考研题（数学一、二，选择题，分）年考研题（数学一、二，选择题，分）21605年考研题（数学一、二，分）年考研题（数学一、二，分）21705年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）21805年考研题（数学二，分）年考研题（数学二，分）21922
9、022106年考研题（数学一、二，填空题，分）年考研题（数学一、二，填空题，分）22206年考研题（数学一、二，选择题，分）年考研题（数学一、二，选择题，分）22306年考研题（数学一、二，选择题，分）年考研题（数学一、二，选择题，分）22406年考研题（数学一、二，分）年考研题（数学一、二，分）22506年考研题（数学一、二，分）年考研题（数学一、二，分）22607年考研题（选择题年考研题（选择题1，4分）分）22707年考研题（选择题年考研题（选择题2，4分）分）22807年考研题（填空题，年考研题（填空题，4分）分）22907年考研题（计算题年考研题（计算题1，11分）分）23007年考
10、研题（计算题年考研题（计算题2，11分）分）23108年数学一试题（第20题）（10%）23208年数学一、二、三、四代数题（12%）23308年数学二、三、四第二道代数题（10%）23408年选择题一（数学一、二、三、四）23508年选择题二（数学一）23608年选择题三（数学二、三、四）23708年填空题（数学一）23808年填空题（数学二）23908年填空题（数学三）24008年填空题（数学四）24109年第一道大题（11%）24209年第二道大题（11%）24309年数学一、二、三选择题（2）（4%）24409年数学一选择题（1）（4%）24509年数学二、三选择题（1）（4%）246
11、09年数学一填空题（4%）224709年数学二填空题（4%）224809年数学三填空题（4%）224925010年数学一填空题（4%）25110年数学二、三填空题（4%）25210年数学一选择题（1）（4%）25310年数学二、三选择题（1）（4%）25410年数学一、二、三选择题（2）（4%）条件多余25510年数学一、二、三大题（1）（11%）25610年数学一大题（2）（11%）本题超纲25710年数学二、三大题（2）（11%）25810年抽样统计（数学一）考场一23人考场二24人考场三28人题一题一题二题二题一题一题二题二题一题一题二题二0分分7127130411分分3070202均分
12、均分5.04426.582.333 10.066得分率得分率 45.85 18.18 59.85 21.21 91.23 54.5525910年抽样统计（数学二、三-第1大题）考场一二三四五人数24人25人24人26250分5594711分74793均分6.546.85.726.5774.96得分率59.4661.8252.6559.7945.0926010年抽样统计（数学二、三-第2大题）考场一二三四五人数24人25人24人26250分161917182111分23322均分2.291.762.1252.1541.16得分率20.831619.3219.5810.5526111年数学一、二、
13、三选择题（4%）26211年数学一、二选择题（4%）26311年数学三选择题（4%）26411年数学一填空题（4%）26511年数学二填空题（4%）26611年数学三填空题（4%）26711年数学一、二、三大题（11%）07-08-3期末考试考题26811年数学一、二、三大题（11%）03-04-2期末考试试题26912年数学一、二、三选择题(1)（4%）27012年数学一、二、三选择题(2)（4%）27112年数学一填空题（4%）27212年数学二、三填空题（4%）27312年数学一、二、三大题（1）（11%）27412年数学一、二、三大题（2）（11%）275本次命题的特点 1主要知识点：
14、最基本；2主要方法：最基本；3基本难度：逐年降低；4侧重于计算。5两道大题的层次感不强；6代数中的重要结论作为考生的必备知识；7评分标准有些主观。276考试中的现象 1得分率会有所提高；2考生失分的现象：1.计算错误；2.第一大题参数的讨论不全面；3.非齐次线性方程组的特解、导出组的基础解系、通解的求法以及它们间的关系没弄清楚；4.第二大题矩阵的乘法算错（4*4矩阵？）；5.第二大题计算矩阵的行列式：即使算对，但，不仅麻烦，而且还只得到了必要条件；6.特征多项式算错（部分考生还带参数计算）；7.没有将特征向量单位化；8.标准形写成规范形（或者没有写标准形）。277失分的原因 1概念混淆，知识点
15、掌握不全面；2基本功不扎实：计算错误；3不重视对参数的讨论；4没有理解第一小题的“桥梁”作用；5对试题的要求理解不充分；6对命题倾向没有思想准备。278应当注意的几个倾向：1每年必考的内容：线性方程组、特征值和特征向量；2带参数的问题：需要讨论；3与解析几何相结合（典型问题）；4应用题（典型问题）；5分块矩阵（典型的分块方式）；6有超纲嫌疑的几个方面。279一些建议：一些建议：1要有信心，不放弃；2重视基础：重在基本概念、基本理论和基本方法，而不是解题技巧；3重视计算：要适量地完整地做一些题目，养成好的做题习惯；4考虑问题要全面；5复习要有重点，但不要押题；6利用好教材；7利用好往年的考题；8利用好“辅导班”。280