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1、线性代数线性代数期末辅导期末辅导行列式的概念第一部分第一部分 行列式行列式主要内容主要内容二阶行列式：三阶行列式:(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式由个数构成的，记作阶行列式行列式的性质与计算性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质3 行列式的某一行（列）中的所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.性质4 行列式如果有两行（列）元素成比例，则
2、此行列式等于零.性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 等于两个行列式之和.定义 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 .叫做元素 的代数余子式.定理2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或 ,4.克莱姆法则 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即那么，方程组(1)有唯一解,其中 是把系数行列式 中第
3、列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即定理3 如果线性方程组(1)的系数行列式 ，则(1)一定有解，且解是唯一的.定理3如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定义5 线性方程组（1）右端的常数项 不全为零时，线性方程组（1）叫做非齐次线性方程组，当 全为零时，线性方程组（1）叫做齐次线性方程组.对于齐次线性方程组(2)一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组（2）的零解.如果一组不全为零的数是（2）的解，则它叫做齐次线性方程组(2)的非零解.定理4 如果线性方程组（2）的系数行列式 ，则齐次线性方程组（2）没有非零解.定理定理4 4如果线性方程组（2
4、）有非零解，则系数行列式必为零.第二部分第二部分 矩阵矩阵叫做m行n列矩阵（简称mn矩阵），记为其中叫做矩阵A的第i行第j列元素1矩阵的定义由mn个数排成m行n列的数表当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵n阶矩阵与n阶行列式是两个截然不同的概念只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量;只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量行数、列数均相等的矩阵称为同型矩阵设与是同型矩阵，且（i=1,2,m；j=1,2,n），则称它们相等，记作A=B2特殊矩阵设中每个元素都是零，则称它为零矩阵，记作或O时，称为n阶单位矩阵，记作En或E设方阵中，（），则称A为对角矩阵，记为；特别地，当时，即形如的n阶方阵A称为上三角形矩
5、阵形如的n阶方阵称为下三角形矩阵矩阵的运算矩阵的运算1.矩阵相加矩阵相加2.数乘矩阵3.矩阵相乘特别注意矩阵乘法的下列特性(1)矩阵乘法无交换律，即ABBA；特别地，EA=AE=A，即单位矩阵在矩阵乘法中相当于数1在数的乘法中的作用，注意这里的两个单位矩阵可能不同阶。(2)若AB=O，绝不能认为必然有A=O或B=O例如,(3)矩阵乘法无消去律，即若AB=AC，绝不能认为必然有B=C4.矩阵A的行列式，记作|A|或detA特别注意ABABA A|AT|=|A|，|A|=|A|AB|=|A|B|=|B|A|矩阵的行列式满足（设A、B为n阶方阵，为数）5.矩阵的转置设，称为A的转置矩阵，记为AT则矩
6、阵矩阵转置的运算律（设运算均可行）(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT;(kA)T=kAT满足条件AT=A的矩阵A称为对称矩阵（其元素以主对角线为对称轴对应相等）满足条件AT=-A的矩阵A称为反对称矩阵6 6逆矩阵逆矩阵定义:设A为n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记为A1=B若A是可逆的，则它的逆矩阵A1存在且唯一方阵A可逆的充分必要条件是|A|0运算律:设A、B均是同阶可逆矩阵，则(A1)1=A；(AB)1=B1A1AT也可逆，且(AT)1=(A1)T伴随矩阵设A为n阶矩阵，称为A的伴随矩阵对于任何一个n阶矩阵A与其伴
7、随矩阵A*都有AA*=A*A=|A|E由此可见，A*可逆的充要条件是A可逆矩阵的秩(1)矩阵的阶子式在矩阵中,任取行列,位于这些行列交叉处的个元素,按原来它们在A中所处的位置而得到的阶行列式,称为的阶子式.（2)矩阵的秩设在矩阵中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果有的话)都等于0,则称D为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).9.矩阵的初等变换(1)交换矩阵的两行或两列;(2)用一个非零数k乘以矩阵的某一行或某一列;(3)把矩阵某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.10.初等方阵单位矩阵施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.11.等价矩阵矩阵A经过初等
8、变换而得到矩阵B,称矩阵A与矩阵B等价,记作 AB.重要结论存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ,使得 .设 是 矩阵,秩 ,则典型例题典型例题解解第三部分第三部分 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1.维向量及其运算 2.线性组合与线性表示(1)线性组合 设 是一 维 向量组，是一组实数，称 是 A 的一个线性组合3 线性相关性的概念及结论(1)线性相关、线性无关:设 为 个 维向量,若存在 个不全为零的数 ,使 ，则称 线性相关若由 可推出 全为零，则称 线性无关.(2)维向量组 线性相关的充要条件是其中有一个向量可以由其余向量线性表示；含有零向量的向量组一定线性相关(4)n维向量组 线
9、性相关的充要条件是齐次线性方程组 有非零解其中 .特别地 时,线性相关的充要条件是 (3)线性无关，而 线性相关，则 可由 唯一线性表示例 设向量组线性无关，则向量组也线性无关令则有由 向量组线性无关得，由第四部分第四部分 线性方程组线性方程组1基本概念称为n个未知量m个方程的线性方程组，不全为0时，称(1)为非齐次线性方程组；当全为0时，称(1)为齐次线性方程组称(2)为（1）对应的齐次线性方程组或导出组若记或，则（1）可写成矩阵形式（3）或（4）A称为方程组（1）的系数矩阵，为方程组（1）的增广矩阵.齐次线性方程组可表示为或注注齐次线性方程组总有解；2 2解的性质性质1若是的解则也是的解；
10、性质2若是的解则也是的解；性质3 的解的任一线性组合，还是的解；性质4若为的解，则为其导出组的解；性质5若为的解为其导出组的解，则为的解求非齐次方程组的通解方法(1)对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵；(2)求出导出组的一个基础解系；(3)求的一个特解（为简便，可令自由变量全为0）；(4)写出通解；其中 为任意常数3基本方法例求解方程组求解方程组解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B第五部分第五部分 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1正交向量组与正交矩阵（1）向量的内积设维向量称为向量与的内积.特别地，当时，称向量与正交.（2）向量的长度称为维向量的长度（范数）.（3）正
11、交向量组设为一组非零维向量，若它们两两正交，则称为一正交向量组.2 矩阵的特征值和特征向量（1）特征值与特征向量的概念设A是阶方阵，如果数和维非零列向量使成立，则称是方阵A的一个特征值，非零列向量是A 的属于特征值的特征向量.对可写成如下形式这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是其系数行列式此式是以为未知数的次方程，称为方阵A的特征方程，其左端是的次多项式，记作,称为方阵A的特征多项式，易见A的特征值就是特征方程的根.（）特征值和特征向量的求法求特征方程 的全部根,便得到A的全部特征值.对于特征值 ，求它所对应的齐次线性方程组的全部非零解,得到A的属于的全部特征向量.二次型
12、及其矩阵表示（1）二次型的定义含有个变量的二次齐次函数称为二次型.取，则于是二次型的矩阵表示为其中,称A 为二次型 的矩阵，二次型的标准形与规范形（1）二次型，经可逆线性变换后化为，其中仍是对称阵，（2）对任意的二次型 ，总可以通过可逆的线性变换化成只含变量平方项称为二次型的标准形，时，称为二次型的规范形,化二次型为标准形的方法（1）配方法（2）正交变换法对任一 个变量的实二次型，总有正交变换，使化为标准形,其中是A的全部特征值.将二次型（或实对称矩阵）通过正交变换,化为标准形（或对角矩阵）的一般步骤是对每个特征值求出相应的特征向量；写出二次型的矩阵A,并求出A的全部特征对应单根的特征值的特征向量只需单位化，对应 重根的特征值，应先求出 个线性无关的特征向量,然后正交单位化.例 已知二次型写出该二次型的矩阵