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1、高等代数线性代数第一页，本课件共有34页一、多项式函数与根一、多项式函数与根 1.多项式函数多项式函数设设数数 将的表示式里的用代替，得到将的表示式里的用代替，得到P中的数中的数称为当时称为当时 的的值值，记作，记作这样，对这样，对P中的每一个数，由多项式中的每一个数，由多项式 确定确定P中唯一的一个数中唯一的一个数 与之对应，于是称与之对应，于是称 为为P上上的一个的一个多项式函数多项式函数第二页，本课件共有34页若多项式函数若多项式函数 在在 处的值为处的值为0，即，即 则称则称 为为 的一个的一个根根或或零点零点 2.多项式函数的根多项式函数的根(或零点或零点)易知，若易知，若则，则，第
2、三页，本课件共有34页（余数定理余数定理）：用一次多项式）：用一次多项式 去除多项式去除多项式 所得余式是一个常数，这个常数等于函数所得余式是一个常数，这个常数等于函数值值 二、多项式函数的有关性质二、多项式函数的有关性质1.定理定理7 是是 的根的根 推论推论:第四页，本课件共有34页 例例1 求求 在在 处的函数值处的函数值.法一：法一：把把 代入代入 求求 用用 去除去除 所得余数就是所得余数就是 法二：法二：答案：答案：第五页，本课件共有34页若若 是是 的的 重因式，重因式，则称则称 为为 的重根的重根.当当 时，称时，称 为为 的单根的单根 当当 时，称时，称 为为 的重根的重根
3、2.多项式函数的多项式函数的k重根重根定义定义第六页，本课件共有34页注：注：是是 的重根的重根 是是 的重因式的重因式 有重根有重根 必有重因式必有重因式反之不然，即有重因式未必反之不然，即有重因式未必 有重根有重根例如，例如，为为 的重因式，但在的重因式，但在R上上 没有根没有根 第七页，本课件共有34页3.定理定理8(根的个数定理根的个数定理)任一任一 中的中的 次多项式次多项式 在在 中的根中的根 不可能多于不可能多于 个，重根按重数计算个，重根按重数计算 4.定理定理9且且 若有若有 使使 则则 第八页，本课件共有34页证：设证：设 若若 即即时，由因式分解及唯一性定理，时，由因式分
4、解及唯一性定理，可分解成不可约多项式的乘积，可分解成不可约多项式的乘积，由推论，由推论，的根的个数等于的根的个数等于 分解式中分解式中一次因式的个数，重根按重数计算，且此数一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 此时对此时对 有有即即 有有0个根个根.定理定理8第九页，本课件共有34页证：令证：令 则有则有 由定理，若由定理，若 的话，则的话，则 矛盾矛盾所以，所以，即即 有有 个根，个根，即即定理定理9第十页，本课件共有34页解：解：例例2求求 t 值，使值，使有重根有重根第十一页，本课件共有34页若若即即则则此时，有重根，此时，有重根，为为 的三重根的三重根若若即即则则此时，有重根，此时，
5、有重根，为为 的二重根的二重根第十二页，本课件共有34页例例3举例说明下面命题是不对的举例说明下面命题是不对的 解：令解：令 则则但但 是是 的的2重根，重根，不是不是 的根，从而不是的根，从而不是 的的3重根重根 第十三页，本课件共有34页例例4 若若 求求 解：解：从而，从而，1为为 的根的根 于是有，于是有，1为为 的重根，的重根，第十四页，本课件共有34页第十五页，本课件共有34页一、复系数多项式一、复系数多项式 二、实系数多项式二、实系数多项式 1.8 复系数与实系数复系数与实系数多项式的因式分解多项式的因式分解第十六页，本课件共有34页1.代数基本定理代数基本定理一、复系数多项式一
6、、复系数多项式 若若 则则 在复数域在复数域上必有一根上必有一根 推论推论1若若则存在则存在使使即，即，在复数域上必有一个一次因式在复数域上必有一个一次因式第十七页，本课件共有34页推论推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则则 可约可约 2.复系数多项式因式分解定理复系数多项式因式分解定理若若 则则 在复数域在复数域上可唯一分解成一次因式的乘积上可唯一分解成一次因式的乘积 第十八页，本课件共有34页推论推论1推论推论2若若 则则 在在 其中其中 是不同的复数，是不同的复数，上具有标准分解式上具有标准分解式复根（重根按重数计算复根（重根按重数计
7、算）若若 ，则，则 有有n个个第十九页，本课件共有34页二、实系数多项式二、实系数多项式 命题命题：若：若 是实系数多项式是实系数多项式 的复根，则的复根，则 的共轭复数的共轭复数 也是也是 的复根的复根 若若 为根，则为根，则两边取共轭有两边取共轭有 也是为也是为 复根复根 证：证：设设第二十页，本课件共有34页实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理 ，若，若 ，则则 可唯一可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 证：对证：对 的次数作数学归纳的次数作数学归纳 时，结论显然成立时，结论显然成立.假设对次数假设对次数n的多项式结论成立的多项
8、式结论成立设设 ，由代数基本定理，由代数基本定理,有一复根有一复根 若若 为实数为实数,则则 ，其中，其中 第二十一页，本课件共有34页若若 不为实数，则不为实数，则 也是也是 的复根，于是的复根，于是 设设 ，则，则 即在即在R上上 是是 一个二次不可约多项式一个二次不可约多项式从而从而 由归纳假设由归纳假设 、可分解成一次因式与二次可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积不可约多项式的乘积由归纳原理，定理得证由归纳原理，定理得证 第二十二页，本课件共有34页在在R上具有标准分解式上具有标准分解式推论推论1其中其中且且 ，即，即 为为R上的不可约多项式上的不可约多项式.第二十三页，本课件共有
9、34页推论推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二例例1求求 在在 上与在上与在 上的标准分解式上的标准分解式.1)在复数范围内在复数范围内 有有n个复根，个复根，次不可约多项式，所有次数次不可约多项式，所有次数3的多项式皆可约的多项式皆可约.解：解：第二十四页，本课件共有34页 2)在实数域范围内在实数域范围内这里这里 第二十五页，本课件共有34页当当n为奇数时为奇数时 当当n为偶数时为偶数时 第二十六页，本课件共有34页一、本原多项式一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解二、整系数多项式的因式分解 1.9 有理系数多项式有理系数多项式
10、第二十七页，本课件共有34页问题的引入问题的引入 1.由因式分解定理，作为一个特殊情形：由因式分解定理，作为一个特殊情形：对对 则则 可唯一分解可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积成不可约的有理系数多项式的积.但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法一般的方法.第二十八页，本课件共有34页2.我们知道，在我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约上只有一次多项式才是不可约 多项式；多项式；在在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些上，不可约多项式只有一次多项式与某些二次多项式；二次多项式；但在但在 上有任意次数的不可约多项式如上有任意次数
11、的不可约多项式如 如何判断如何判断 上多项式的不可约性呢上多项式的不可约性呢?第二十九页，本课件共有34页3.有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 这是因为任一有理数可表成两个整数的商这是因为任一有理数可表成两个整数的商事实上，设事实上，设 则可选取适当整数则可选取适当整数 使使 为整系数多项式为整系数多项式若若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得的各项系数有公因子，就可以提出来，得 也即也即 其中其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于是整系数多项式，且各项系数没有异于 的公因子的公因子 第三十页，本课件共有34页一、本原多项式一、本原多项式 设
12、设 定义定义若若 没有没有则称则称 为为本原多项式本原多项式异于异于 的公因子，即的公因子，即是互素的，是互素的，第三十一页，本课件共有34页有关性质有关性质1 使使其中其中 为本原多项式为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）2Gauss引理引理定理定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式两个本原多项式的积仍是本原多项式第三十二页，本课件共有34页设设 是两个本原多项式是两个本原多项式若若 不是本原的，则存在素数不是本原的，则存在素数 证：证：又又 是本原多项式，所以是本原多项式，所以 不能整除不能整除 的的每一个系数每一个系数反证法反证法第三十三页，本课件共有34页令令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数，即整除的数，即 同理，同理，本原，令本原，令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数，即整除的数，即 又又矛盾矛盾在这里在这里 故是本原的故是本原的第三十四页，本课件共有34页