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1、理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系高等数学高等数学A A第三章中值定理与导数的应用 中值定理中值定理 洛必达法则洛必达法则泰勒公式泰勒公式导数的应用导数的应用中值定理 第第 一一 节节学习重点学习重点学习重点学习重点理解罗尔定理理解罗尔定理理解罗尔定理理解罗尔定理掌握拉格朗日中值定理及其推论掌握拉格朗日中值定理及其推论掌握拉格朗日中值定理及其推论掌握拉格朗日中值定理及其推论理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程 微分中值定理微分中值定理包括：罗尔包括：罗尔
2、(Rolle)定理、拉格定理、拉格朗日朗日(Lagrange)中值定理和柯西中值定理和柯西(Cauchy)中值定理中值定理3.1 中中 值值 定定 理理 微分中值定理的共同特点是：微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。函数在该点具有某种微分性质。微分中值定理是微分学的理论基础。是利用微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。导数研究函数性质的理论依据。理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【
3、高高等等数数学学】电电子子教教程程一、费尔马一、费尔马(Fermat)引理引理（1）极值）极值(局部最值局部最值)的定义：的定义：则称函数则称函数 (或极小值或极小值),并称并称 为为 极值未必是函数极值未必是函数 在在 上的最大值上的最大值,极值只是局部最大的极值只是局部最大的.理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程（2）费尔马）费尔马(Fermat)引理引理(极值必要条件极值必要条件
4、)证明证明:理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程说明说明:称使称使 的点的点 为函数为函数 的的驻点驻点二、二、罗尔罗尔(Rolle)定理定理理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程怎样证明罗尔定理怎样证明罗尔定理？想到利用闭区间上连续想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！函数的最大最小值定理！理学
5、院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程证明证明:理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程怎样证明拉格朗日定理怎样证明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件:则为罗尔定理；则为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日
6、定理。则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。因此想到利用罗尔定理！因此想到利用罗尔定理！理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件弦线与弦线与f(x)在端点处相等在端点处相等设设所以函数所以函数理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程证明：证明：构造辅助函数构造辅助函数理学院信息与计算科
7、学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程有限增量公式有限增量公式微小增量公式微小增量公式理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程推论推论1：证证拉格朗日中值定理的推论拉格朗日中值定理的推论理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等
8、数数学学】电电子子教教程程推论推论2：推论推论3：推论推论4：理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程证明：证明：构造辅助函数构造辅助函数理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程拉格朗日定理拉格朗日定理罗尔定理罗尔定理柯西定理柯西定理理学院信息与计算科学系理学院信息与
9、计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程例例1.设函数设函数 f(x)=(x 1)(x 2)(x 3),试判断试判断方程方程 f x 有几个实根有几个实根,分别在何区分别在何区间间?解解:因为因为 f(1)=f(2)=f(3),且且f(x)在在1,2上连续上连续,在在(1,2)内可导内可导,由罗尔定理由罗尔定理,1(1,2),使使 f(1;同理同理,2,使使 f (2;又因又因f (x是二次方程是二次方程,至多两个实根至多两个实根,故故f (x有两个实根有两个实根,分别位于分别位于(1,2)和和(2,3)内内.理学院信息与计算科学系理学院信息与
10、计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程例例.设设 f(x)=x2+x.在在1,1上验证拉格上验证拉格朗日中值定理的正确性朗日中值定理的正确性.解解:(1)f(x)=x2+x在在1,1上连续上连续,在在(1,1)内内可导可导.(2)看是否存在看是否存在 (1,1),使得使得f(1)f(1)=f()2即即 2(2 +1)=20或或 4 =0.=0 (1,1).故故 =0 (1,1),使得使得f(1)f(1)=f()2.理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程例例.
11、证明证明 当当x 0时时,证证:改写原式改写原式,(利用公式利用公式证不等式时证不等式时,往往要把待证式中的一部分写成往往要把待证式中的一部分写成的形式的形式,以便构造函数以便构造函数 f(x).)理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程所以所以,记记 f(t)=ln(1+t),知知f(t)在在0,x上满足拉上满足拉格朗日中值定理的条件格朗日中值定理的条件.且且因因故故理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程证证在在 内可导，且
12、内可导，且 .设设 ，显然，显然 在在 上连续上连续;即即理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程例例5.设设 f(x)在在(,+)内可导内可导.f(0)=0.证明证明 (,+),使得使得 2f()f()=3 2 f 2(1)证证:这一类问题这一类问题,往往可考虑用中值定理解决往往可考虑用中值定理解决.变形变形.注意到注意到,理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程左端左端,从而从而,待证式为待证式为故故,记记F(x)=f 2(
13、x),g(x)=x3在在0,1上连续上连续,在在(0,1)内可导内可导.由柯西中值定理由柯西中值定理,(0,1),使得使得理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程证证思考题思考题理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系理学院信息与计算科学系【高高等等数数学学】电电子子教教程程