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1、高数微积分中值定理和导数应用课件第一页，本课件共有33页第三章中值定理与导数的应用 中中值定理定理 洛必达法洛必达法则泰勒公式泰勒公式导数的数的应用用第二页，本课件共有33页中值定理 第第 一一 节节学学学学习习重点重点重点重点理解理解理解理解罗尔罗尔定理定理定理定理掌握拉格朗日中掌握拉格朗日中掌握拉格朗日中掌握拉格朗日中值值定理及其推定理及其推定理及其推定理及其推论论第三页，本课件共有33页 微分中微分中值定理定理包括：包括：罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中中值定理和柯西定理和柯西(Cauchy)中中值定理定理3.1 中中 值 定定 理理 微分中微分中值定
2、理的共同特点是：定理的共同特点是：在一定的条件下，在一定的条件下，可以断定在所可以断定在所给区区间内至少有一点，使所研究的函数内至少有一点，使所研究的函数在在该点具有某种微分性点具有某种微分性质。微分中微分中值定理是微分学的理定理是微分学的理论基基础。是利用。是利用导数研数研究函数性究函数性质的理的理论依据。依据。第四页，本课件共有33页一、一、费尔马(Fermat)引理引理（1）极）极值(局部最局部最值)的定的定义：则称函数称函数 (或极小或极小值),并称并称 为 极极值未必是函数未必是函数 在在 上的最大上的最大值,极极值只是局部最大的只是局部最大的.第五页，本课件共有33页第六页，本课件
3、共有33页（2）费尔马(Fermat)引理引理(极极值必要条件必要条件)证明明:第七页，本课件共有33页第八页，本课件共有33页说明明:称使称使 的点的点 为函数函数 的的驻点点二、二、罗尔(Rolle)定理定理第九页，本课件共有33页怎怎样证明明罗尔定理定理？想到利用想到利用闭区区间上上连续函数的最大最小函数的最大最小值定理！定理！第十页，本课件共有33页证明明:第十一页，本课件共有33页三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理第十二页，本课件共有33页怎怎样证明拉格朗日定理明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件:则为罗尔定理；定理；罗尔定理若放弃条件定理若
4、放弃条件:则推广推广为拉格朗日定理。拉格朗日定理。知知识扩张所遵循的所遵循的规律之一就是将欲探索的律之一就是将欲探索的新新问题转化化为已掌握的已掌握的老老问题。因此想到利用因此想到利用罗尔定理！定理！第十三页，本课件共有33页满足足罗尔定理条件定理条件弦弦线与与f(x)在端点在端点处相等相等设所以函数所以函数第十四页，本课件共有33页证明：明：构造构造辅助函数助函数第十五页，本课件共有33页拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式第十六页，本课件共有33页有限增量公式有限增量公式微小增量公式微小增量公式第十七页，本课件共有33页推推论1：证拉格朗日中拉格朗日中值定理的推定理的推论第十八页，本课
5、件共有33页推推论2：推推论3：推推论4：第十九页，本课件共有33页四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理第二十页，本课件共有33页证明：明：构造构造辅助函数助函数第二十一页，本课件共有33页拉格朗日定理拉格朗日定理罗尔定理定理柯西定理柯西定理第二十二页，本课件共有33页例例1.设函数函数 f(x)=(x 1)(x 2)(x 3),试判断方判断方程程 f x 有几个有几个实根根,分分别在何区在何区间?解解:因因为 f(1)=f(2)=f(3),且且f(x)在在1,2上上连续,在在(1,2)内可内可导,由由罗尔定理定理,1(1,2),使使 f(1;同理同理,2,使使 f (2;又因又因f (x
6、是二次方程是二次方程,至多两个至多两个实根根,故故f (x有两个有两个实根根,分分别位于位于(1,2)和和(2,3)内内.第二十三页，本课件共有33页例例.设 f(x)=x2+x.在在1,1上上验证拉格朗日中拉格朗日中值定理的正确性定理的正确性.解解:(1)f(x)=x2+x在在1,1上上连续,在在(1,1)内可内可导.(2)看是否存在看是否存在 (1,1),使得使得f(1)f(1)=f()2即即 2(2 +1)=20或或 4 =0.=0 (1,1).故故 =0 (1,1),使得使得f(1)f(1)=f()2.第二十四页，本课件共有33页例例.证明明 当当x 0时,证:改写原式改写原式,(利用
7、公式利用公式证不等式不等式时,往往要把待往往要把待证式中的一部分写成式中的一部分写成的形式的形式,以便构造函数以便构造函数 f(x).)第二十五页，本课件共有33页所以所以,记 f(t)=ln(1+t),知知f(t)在在0,x上上满足拉格足拉格朗日中朗日中值定理的条件定理的条件.且且因因故故第二十六页，本课件共有33页证证在在 内可内可导，且，且 .设 ，显然然 在在 上上连续;即即第二十七页，本课件共有33页例例5.设 f(x)在在(,+)内可内可导.f(0)=0.证明明 (,+),使得使得 2f()f()=3 2 f 2(1)证:这一一类问题,往往可考往往可考虑用中用中值定理解决定理解决.变形形.注意到注意到,第二十八页，本课件共有33页左端左端,从而从而,待待证式式为故故,记F(x)=f 2(x),g(x)=x3在在0,1上上连续,在在(0,1)内可内可导.由柯西中由柯西中值定理定理,(0,1),使得使得第二十九页，本课件共有33页证思考思考题第三十页，本课件共有33页第三十一页，本课件共有33页第三十二页，本课件共有33页GoodGoodByeBye第三十三页，本课件共有33页