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1、课时跟踪检测(二十)一、选择题1若过点P(2,1)的直线l与圆C:x2y22x4y70相交于两点A,B,且ACB60(其中C为圆心),则直线l的方程是()A4x3y50 Bx2或4x3y50C4x3y50 Dx2或4x3y50解析:选B由题意可得,圆C的圆心为C(1,2),半径为2,因为ACB60,所以ABC为正三角形,边长为2,所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x2,与圆相交,且圆心C到直线l的距离为3,满足条件;若直线l的斜率存在,设l:y1k(x2),则圆心C到直线l的距离d3,解得k,所以此时直线l的方程为4x3y50.2圆心在直线xy40上,且经过两
2、圆x2y26x40和x2y26y280的交点的圆的方程为()Ax2y2x7y320Bx2y2x7y160Cx2y24x4y90Dx2y24x4y80解析:选A设经过两圆的交点的圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0,即x2y2xy0,其圆心坐标为,又圆心在直线xy40上,所以40,解得7,故所求圆的方程为x2y2x7y320.3(2017洛阳统考)已知双曲线E:1,直线l交双曲线于A,B两点,若线段AB的中点坐标为,则l的方程为()A4xy10 B2xy0C2x8y70 Dx4y30解析:选C依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得,即.又线段AB的中点坐标是,因
3、此x1x21,y1y22,则,即直线AB的斜率为,直线l的方程为y1,即2x8y70,故选C.4(2017云南统考)抛物线M的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上,准线与曲线E:x2y26x4y30只有一个公共点,设A是抛物线M上一点,若4,则点A的坐标是()A(1,2)或(1,2) B(1,2)或(1,2)C(1,2) D(1,2)解析:选B设抛物线M的方程为y22px(p0),则其准线方程为x.曲线E的方程可化为(x3)2(y2)216,由题意知圆心E到准线的距离d34,解得p2,所以抛物线M的方程为y24x,F(1,0)设A,则,所以y4,解得y02,所以x01,所以点A的坐标为(1
4、,2)或(1,2),故选B.5(2017成都模拟)已知A,B是圆O:x2y24上的两个动点,|2,.若M是线段AB的中点,则的值为()A3 B2 C2 D3解析:选A由条件易知OAB为正三角形,|cos2.又由M为AB的中点,知(),所以()3. 6(2017武昌调研)已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且与反向,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析:选C由题可知,双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,令AOF,则由题意知tan ,在AOB中,AOB1802,tanA
5、OBtan 2,|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,设|OA|md,|AB|m,|OB|md,OABF,(md)2m2(md)2,整理,得dm,tan 2,解得2或(舍去),b2a,ca,e.二、填空题7设P,Q分别为圆x2y28x150和抛物线y24x上的点,则P,Q两点间的最小距离是_解析:由题意知,圆的标准方程为(x4)2y21,则圆心C(4,0),半径为1.由题意知P,Q间的最小距离为圆心C(4,0)到抛物线上的点的最小距离减去半径1.设以(4,0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x4)2y2r2,与y24x联立,消去y整理得,x24x16r20,令164(16r2)0,解得r2,所
6、以|PQ|min21.答案:218(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A,B两点若|AF|BF|4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_解析:法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|y1,|BF|y2,|OF|,由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p,得y1y2p.联立消去x,得a2y22pb2ya2b20,所以y1y2,所以p,即,故,所以双曲线的渐近线方程为yx.法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|y1,|BF|y2,|OF|,由|AF|BF
7、|y1y2y1y2p4|OF|2p,得y1y2p.kAB.由得kAB,则,故,双曲线的渐近线方程为yx.答案:yx9(2017洛阳统考)已知抛物线C:x24y的焦点为F,直线AB与抛物线C相交于A,B两点,若230,则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为_解析:依题意得,抛物线的焦点F(0,1),准线方程是y1,因为2()()0,即20,所以F,A,B三点共线设直线AB:ykx1(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则由得x24kx40,则x1x24;又20,因此2x1x20.由解得x2,x8,弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为(y1y2)1(xx)1.答案:三、解答题10(2017合
8、肥质检)已知椭圆E:1(ab0)经过点M,离心率为.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若A1,A2分别是椭圆E的左、右顶点,过点A2作直线l与x轴垂直,点P是椭圆E上的任意一点(不同于椭圆E的四个顶点),连接PA1交直线l于点B,点Q为线段A2B的中点,求证:直线PQ与椭圆E只有一个公共点解:(1)依题意得,解得椭圆E的标准方程为1.(2)证明:设P(x0,y0)(x00且x0),则直线PA1的方程为y(x),令x,得B ,则线段A2B的中点Q ,直线PQ的斜率kPQ.P是椭圆E上的点,1,即x3,代入式,得kPQ,直线PQ的方程为yy0(xx0),将其与椭圆方程联立,得又2x3y6,整理得x2
9、2x0xx0,0,直线PQ与椭圆E相切,即直线PQ与椭圆E只有一个公共点11(2018届高三广西三市联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:1(ab0)过点,且椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点(1)求椭圆C的方程;(2)过点作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围解:(1)椭圆C过点,1,椭圆C关于直线xc对称的图形过坐标原点,a2c,a2b2c2,b2a2,由得a24,b23,椭圆C的方程为1.(2)依题意,直线l过点且斜率不为零,故可设其方程为xmy.由消去x,并整理得4(3m24)y212my450.设E(x1,y1)
10、,F(x2,y2),M(x0,y0),y1y2,y0,x0my0,k.当m0时,k0;当m0时,k,4|m|8,0,0b0)的左、右焦点,点P 在椭圆E上,且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆E的方程;(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1l2,问是否存在常数,使得,成等差数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由解:(1)|PF1|PF2|4,2a4,a2.椭圆E:1.将P 代入可得b23,椭圆E的方程为1.(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时,;当AC的斜率k存在且k0时,设AC的方程为yk(x1),代入椭圆方程1,并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1x2,x1x2.|AC|x1x2|.直线BD的斜率为,|BD|.综上,2,.故存在常数,使得,成等差数列