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1、第一章全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（1）全等-:角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角：（3）有公共边的，公共边一定是对应边；（4）有公共角的，角一定是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），这一
2、条也说明了三角形具有稳定性的原因2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”几3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角”）。4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）5,直角三角形全等条件有：斜边及一宜角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或“斜边，直角边”）所以，SSS, SAS, ASA, AAS, HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写（angle）, S是英文边的缩写（side）。性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三
3、角形的对应边上的高对应相等。3,全等三角形的对应角平分线相等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6,全等:.角形周长相等。（以上可以简称:全等三角形的对应元素相等）7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等的判定却刚好相反。2,利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的
4、对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一 定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。3,当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有定帮助。做题技巧一般来说考试中线段和加相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式.来想要证全等，则需要什么条件另一种则要根据题口中给出的已知条件，求出有关信息。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。1. （2008年湖南省邵阳市）如图（四），点尸是A8匕任意-点，ZABC = AABD , 还应补充 个条
5、件，才能推出APCgZXAPO.从下列条件中补充一个条件，不 用能推出APCgZXAPO的是（）A. BC = BDb. AC = ADc. ZACB = ZADBD. NCAB = NDAB2. （2008年江苏省无锡市）如图，048绕点。逆时针旋转80到0C。的位置,等于（）D图（四）已知 4。5 = 45,则 NA0。a. 55 B. 45 C. 40 D. 353.（2008年四川省宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC（2008山东威海）（1）把两个含有45。角的直角三角板如图1放置, 求证：AF1BE.ECA图1（2）把两个含有30。角的直角三角板如图2放置，
6、点。在8c上，连结8E, AD, 4?的延长线交8E于点F.AO4.点。在8c上，连结8, AD, AD的延长线交8于点F.BECA图2问AF与8E是否垂直？并说明理由.AC = DE 求证：AF = BD5.(2008 年乐山市)如图(10). ACDE, BC/EF,D6. （2008年陕西省）已知：如图，B, C, E三点在同一条直线上，AC / DE , AC = CE , NACD = N8. 求证：AABC 咨 ACDE .7. （2008年江苏省苏州市）如图，四边形48CO的对角线4c与8。相交于。点，N1 = N2,CN3 = N4. E 求证：（1） /ABC A/ADC ：
7、 （2） BO = DO.13.（2008湖南 怀化）如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M, CG与AD相交于点N.AE = CG ：求证:图1014.（2008 重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC, BC=DC, CF平分/BCD, DF/7AB, BF的延长线交DC于点E。 求证：（1） ABFCADFC： （2） AD=DE16.(2008四川 广安)如图，在梯形A88中，AD/BC, E为CD中点，连接AE并延长4E交8c的延长线于点F. (1)求证：CF=AD-,(2)若47=2, AB=8,当BC为多少时，点8在线段AF的垂直
8、平分线上，为什么？第一章轴对称本节主要通过生活中一些轴对称图形的认识，引导学生发现问题：轴时称图形有那些性质？明白了轴对称图形的性质后， 再学习如何判别轴对称图形。动手操作学会画轴对称图形的对称轴。学习了轴对称图形的性质后接着动手作轴对称图形。轴 对称图形的性质是学习下节等腰二角形性质的基础，所以轴对称图形的性质有着重要的作用。一、轴对称图形的性质这是本节的面点也是难点，在【典例引路】、【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。二、轴对称图形的性质在生活中的应用学习知识重要运用，所以这是学习的最终目的，设置在【典例引路】的例2.如识点击点击一：什么是轴时称？什么是轴对称图形？
9、它们之间有什么区别？有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫 做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称 仙.轴对称是两个图形之间的关系，轴对称图形是一个图形具有的特征.点击二：图形的轴对称有哪些性质？图形的轴对称主要有下列两条性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称图形的对称轴是任何对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称是指两个图形之间的形状与位置
10、关系，成轴对称的 两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等 形，并且成轴对称.点击三：线段的垂直平分线有什么性质？线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.点击四：对称变换性质及坐标对称规律轴对称变换的性质：(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样(2 )经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图的某一点关于对称轴的对称点。(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
11、.点P (x, y)关于x轴对称的点的坐标是(x, -y)：点P(X, y)关于y轴对称的点的坐标是(-X, y)；点P (x, y)关于原点对称的点的坐标是(-x, y).点P (x, y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2mx, y)；点P (x, y)关于直线产n对称的点的坐标是(x, 2n-y)信堂演称1.轴对称图形的对称轴是一条.2,等腰三角形的一个内角为110P,则其它两个内角为 度。3 .写出6个是轴对称图形的英文字母：。4 .写出五个具有轴对称性质的汉字：。5 .等腰三角形有 条对称轴；五角星有 条对称轴；角的对称轴是这个角的6 .下列说法塔成的是()A.关于某条直线对称的两个
12、三角形定全等B.轴对称图形至少有一条对称轴C.全等三角形”定能关于某条直线对称D.角是关于它的平分线对称的图形9.在锐角ABC内点P满足PA=PB=PC,则点P是AABa )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点10 . AABC AOBC,边AB的垂直平分线与AC交于点D,己知AC=5, BC=4,则BCD的周长是()A.9B.8C.7D.611 .平面上不重合的两点的对称轴是,线段是轴对称图形，它有 条对称轴。12 . 一个等腰三角形有两边分别为4和8厘米，则周长是 厘米。13 .举出生活中具有轴时称性质的事物（至少三个）：。14 .若AC是等腰错
13、误！未找到引用源.ABC的高，则AC也是,还是。15 .等边三角形的周长是30厘米，一边上的高是8厘米，则三角形的面积为 o16 .下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.不等边三角形D.线段17 .下列说法中，正确的是（）A.关于某直线对称的两个二角形是全等二角形18 全等三角形是关于某直线对称的C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形定分别位于这条直线的两侧D.有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称18.在线段、两条相交直线、等腰二角形和圆四个图形中，是轴对称图形的个数是（）A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 3个19 .如图，DE是二AB
14、C中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10摩米，则，ABC的周长为（）厘米A. 16 B. 28 C. 26 D. 1820 .下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.有两条边相等的三角形B.有一个角为60的RtAC.有 个角为60的等腰三角形D. 个内角为40, 个内角为100的三角形C类21 .如图所示的标志中，是轴对称图形的有（）A.1个FT个C.3个D.4个22 .下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）24 如图，ZXABC 中，AB=AC=14cm, D 是 AB 的中点，DE_LAB 于 D 交 AC 于 E, EBC 的周长是 24cm,则 BC=25 .互不平行的两条线段
15、AB、4夕关于直线/对称，AB和”夕所在直线交于点P,卜面结论：AB=A8；点P在直线/上;若点A、4是对称点，则/垂直平分线段A4；若点B, B是对称点，则PB=尸8，其中正确的有（只 填序号）.26 .当写有数字的纸条垂直于镜ifri摆放时（如图所示）： eBra2PE5l|l23H55109n下面是从镜子中看到的一串数55 口日己5己它其实是.27 .如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。28 .分别找出具有一条对称轴、两条对称轴、三条对称轴、四条对称轴的几何图形，并画出来（包括对称轴）.29 .如图，ZABC和ABC关于直线m对称.结合
16、图形指出对称点.连接A、A,直线m与线段AA有什么关系？延长线段AC与4C,它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延 长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流.（考虑两种情况）30 .一个等腰:角形的一个内角比另一个内角的2倍少30,求这个三角形的三个内角的度数。经典题整类型之一:例1：如图，已知：AABC,直线MN,求作aABC”使AA|B|C|与4ABC关于MN对称.【点拨】首先做 出关键的点关于直线的对称点.按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点.类型之二：例2：如
17、图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC=BD,若A到河岸CD的中 点的距离为500cm.问：（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？（2）最短路程是 多少？ 【点拨】所求问题可转化为在CD上取一点M使其AM+BM为最小：在上述基础上，利用三角形性质.实际问题要善 于转化为数学问题.若A、B两点在直线的两侧，自然想到连结AB,交点即为所求的点，但本题的A、B在直线的同侧，如何 转化为异侧呢？我们容易想到“翻折”即“轴对称”.若点A关于直线的对称点A1,则对于直线上的任意点到A和A1的距 离总相等.类型之三：例3：在锐角NA0B内
18、有定点P,试在0A、0B上确定两点C、D,使4PCD的周长最短.【点拨】4PCD的周长等于PC+CD+PD. 要使4PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于 直线0A和0B的对称点E, F,则4PCD的周长等于线段EF的长.F1 .如图，AABC与4AED关于直线1对称，若AB=2cm, ZC=95%则AE=_, ZD=_度.【点拨】两个三角形关于某直线对称，对应线段相等,对应角相等，可以得到AE=AB, ZC=ZD,即可得以答案.2 .已知：如图，ZSABC是等边三角形，延长BC至D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、
19、DE . 求证：CE=DE.【点拨】解题关键是作出正确的辅助线。要证CE=DE,即证明E在CD的垂直平分线上即可，为此，我们构造出关于CD的垂 直平分线的轴对称图形来证明.3如图，点D是AABC中NBAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG_LAB于点G, DH_LAC交AC的延长线于点H, 求证BG=CH.【解析】由AD平分NBAC及DG_LAB、DHAC可以得到DG=DH （角平分线的性质），而DE是BC的垂直平分线, 由线段垂直平分线的性质可得到BD=CD,于是可利用“HL ”证明RtzXBDG0, Va 0o(2)性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0,则这儿个
20、非负数均为0。10 .倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，o没有倒数。11 .平方根、立方根：如果2=。，那么x叫做a的平方根；正数a的平方根叫做a的算术平方根，记作0的算术 平方根为0;如果3=。，那么x叫做。的立方根，记作我知识点2实数的两种分类知识点3常用的几个特殊整数o最小的自然数；绝对值最小的数；最小是非负整数；相反数和绝对值是它本身1最小的正整数；既不是质数也不是合数，绝对值和倒数是它本身-1最大的负整数2最小的质数，也是唯一的偶质数知识点4实数的运算1 .加法法则：(1)互为相反数的两个数相加，和为0(2)同号相加，取相同的符号，再把它们的绝对值相加(3)异号相加，取绝对值较大的符
21、号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值(4)任何数与0相加，结果仍是这个数2 .减法法则：减去个数等于加上这个数的相反数3 .乘法法则：(1)同号相乘为正(如果有偶数个负数为因数，则积为正数)(2)异号相乘得负(如果有奇数个负数为因数，则积为负数)(3)任何数与0相乘，积为04 .除法法则：除以一个不为0的数，等了乘以这个数的倒数5 .混合运算(1)先算靠，再乘除，后加减(2)如果有括号，要先算括号里面的(3)混合运算遵循交换律，结合律知识点5实数大小的比较(1)数轴法：根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较(2)性质法：正数大于0, 0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小(4
22、)同化法：化成同种形式(5)做差法：a-b0 0ab(6)做商法：a/bl, b0 ab基础练习一、选择题L4的平方根是()A. 2B. -22 .下列各式中，无意义的是()C. 2D. 土 /2A. _ y/3B. J-3d. Tio373.下列各组数中,互为相反数的一组是()A. 2 与 J(-2) B. -2 与 y/S1C.-2与2D. | -2 | 与 24.下列说法正确的是()A. 1的平方根是1 B. 1的算术平方根是1 C.-2是2的平方根 D.-1的平方根是T5. Vs, 7A. 1个0. 1010010001,n，J5, 一 2这六个实数中，无理数有()3B.2个C.3个D
23、.4个6.计算取一2)3的值是()A. -2B. 2C.2D. -87.下列实数：0,“、百、Ji%其中无理数的个数有()A. 1个B.2个C.3个D. 4个8.与数轴上所有的点一一对应的数是()A.有理数B.无理数C.整数D.实数9.-64的立方根是()A. 4B. -4C.4D.没有意义10 .已知 ）0.432 = 0.7560, Vx = 75.60,那么 x 的值是（）A. 43. 2B. 432C. 4320D. 43200011 .立方根等于它本身的数（）A,只有0B,只有1C.有1利TD.有0、1和-112 .下列判断中，错误的有（）（1）有立方根的数必有平方根（2）有平方根的
24、数必有立方根（3）零的平方根、立方根、算术平方根都是零 （4）不论a是什么实数，必有意义A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13 .已知a与b互为相反数，则下列各组数中不是为相反数的一组为（）A. 2a 和 2b14 .卜.列算式中错误的是A. J25 = 5 B. - J25 = 515 .下列命题中正确的是A.无理数是开不尽方的数B. -2a 和-3b C. a+2 和 b+2D. a+1 和 b-1C.无限小数是.无理数D.无理数是无限小数16.在0, 7, （-5）2, -49, -|-16| , 各数中有平方根的有（)A. 3个B. 4个C.5个D.2个17.绝对值小于J5的整数
25、是)A. 2个B. 3个C.4个D.5个18.下列判断：（1） 0. 25的平方根是0. 5（2） -7是一49的平方根 （3）错误！未找到引用源。的平方根是错误！未找到引用源. （4）只有正数才平方根：中正确的有儿个？（)A. 1个B. 2个C.3个D.4个19.与数轴上的点具有一一对应关系的数是（)A.无理数B.有理数20.不查表，估计 病的大小应在（C.整数）D.实数A. 67之间B. 77. 5之间21. UZ是无理数，则a是个C. 7. 58之间D. 8、9之间( )A.非负实数B.负实数22.下列各数中，不一定是非负数的是（C.正有理数）D.非完全立方数A.时B.二、填空题c. a
26、D. a41.在实数_万、- 工、0.80108中, 37无理数的个数为个。B.带根号的数是无理数2 . 16的平方根记作等于的值为3 .计算 + #(-1)2 =；若 I X，-25 | + Jy 3 =0,贝ij x=, y=4 . 5.两个无理数的和为有理数,这两个无理数可以是 和.25 .已知x的平方根是8,则x的立方根是 s -忑的倒数是.6 . 5的平方根是：廊的算术平方根是：一用的立方根是.(1.4-V2 )的相反数, (1.4-V2 )的绝对值是： J5-1的相反数是 绝对值是一7 .满足-V2 X0,则=25 .正数N的平方根是3m4和7-4m,贝ij m=；3m4和74m是
27、正数N的平方根，则m=。26 . V2x-1与耳45y互为相反数,则2x 5y的值是27 .比较大小 一J5 a/3 J。. 1 -0. 1,- .2 828 .已知：a-b=-2 且 ab0, （a#0, bKO）,29 .先判断下列等式是否成立。经判断，请你写出用含有n （n2d的自然数）的等式表示上述各式规律：.三、做做:1 .求下列各数的平方根:16(1)81 (2) (3)1.44 (4)2;2542 . x取何值时，下列各式有意义.21(1) 9 . 4 (2)y/X-(3) yj2x + 0(4) j6-2x(5) Jx 1 + 5/6 2x。3 .求下列各数的值:府亍&-2+
28、1（巨1）4 .比较大小，并给出理由。(1) VTT, 11(2) 1万,(3) V2, 1.4145 .计算(4) Voj, V02169(1) JV196(3) 3+ 5)2(4) V0.25 y/ 27(5) -J(-8)2 + V29(6) (y/7+ J(-7)+V-12-判断a、b的符号。(7) V27 X-s/3 -4(8) (0-1)2(9) 3J20 J45 (11) (2+ 5/3) (2-3 )(12)x (1+3 )6.求x的值(3) Jx + 2 - 20(6) 1000 (x + 1)3 = -270(9) x3 +8- = 087 .先做个数轴，然后在数轴上标出表
29、示J5和一表示的点.8 .已知：|-2| + 炉。=0,求：x+y的值.9 . xaxb15 .求下列各式中的x:d=L21;27 (x+1)3+64=0.16 .已知实数x, y满足|x-5| +Jy + 4 =0,求代数式(x + y16的值。17 .已知2a-1的平方根是3, 3a+b-l的平方根是4,求a+2b的平方根.18 .在物理学中，用电器中的电阻R与电流I,功率P之间有如下的一个关系式：P=R,现有一用电器，电阻为15欧,该用电 器功率为1500 JL,求通过用电器的电流I.19.利用5X5方格画出长为的线段。20.已知4X4方格如图，请利用附图把卜.列实数表示在数轴上2, 4
30、, a/2,a/8. 2r -4, -3并比较它们的大小；_21.某地开辟了一块长方形的荒地,/ J IWI新建一个以环保为主题的公园.1已知这块荒地的长是宽的3倍，它的面积为480000米（1）公园周长有3000米吗？（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米）历年考题（05,题1） 5的相反数是（）IA, -5B、5C,50 时，直线产kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k0时，向上平移；当b0时，将y?=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到yi=kx+b的图象.(2)当b0时，将y?=kx图象向x轴下方平移一b个单位，就得到了 yi=kx+b的图象.9、直线h： yi=k|x+b与I” y2=k2x+b?的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定: 当kyk?时，h与k相交，交点是(0, b).fk| = k2k=k,当 ,与U平行，与b重合b。b2