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1、第一讲计算综合【内容概述】1 . nX (n+l)=nX (n+1) X (n+2)-(nT) XnX (n+1)4-3；2 .从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：l2+22+32+-+ n2=-xnx(n + l)x(2n + l)3 .平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).【典型问建】的级数：*1.已知 a=：,b =2+;-r3+ p +99试比较a、b的大小.【分析与解】其中 A=99, B=99+.因为 A98+,100A B,96+96+98+-97+i97+i-j-B98+-98+-AB97+!-2+，所以有 a 61.a+b + d 61(2)1一,有4,+得：
2、3(a+b+c+d)2244,所以 a+b+c+d81，因为 a+b+c+da + c + d613b + c + d 61(4)均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82.a + b + c60a+b+d60评注：不能把不等式列为!_.如果这样将+咆得到3(a+b+c+d)240,a+b+c+d80,因为a+c+d60b+c+d)60a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2 .用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式
3、ABCXDE-FGHXIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCXDE-FGHXIJ尽可能的大，ABCXDE尽可能的大，FGHXIJ尽可能的小.则ABCXDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751,93.则FGHXIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468X20.所以 ABCXDE-FGHXIJ 的最大值为751X93-468X20=60483.评注：类似的还可以算出FCHXIJ-ABCXDE的最大值为640X82-379X 15=46795.3 .将6,7,8
4、,9,10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10,为了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9,9显然只能放到图中的位置，最后是8,8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算.8X7+7X10+10X6+6X 9+9 X 8=312;9X7+7X10+10X6+6X8+8X9=313.所以，最小值为312.4 .一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析与解】设这个两位数为ab=10a+b,它们的
5、数字和为a+b,因为10a+b=(a+b)+9a,所以10a+b =9a (mod a+b),设最大的余数为k,有9a三k (mod a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m,因为9a、18nl均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18,即0,9,也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18,即最大为17时，(rn=7+9t二种情况I :余数最大为16,除数a+b只能是17,此时有9a=15+17m,有一(t为可取0ua=15+17t的自然数)，而a是一位数，显然不满足；医二种情况I：余数其次为15,除数a+b只能是17或16,除数a+b=17时，有9a=15+17m,有|
6、血=6+”,为可取。的自然数)，2是一位数，显然也不满a=13+17t足；m=3+9t除数a+b=16时，有9a=15+16m,有一,(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只a=7+16t能取7,对应b为16-7=9,满足;所以最大的余数为15,此时有两位数79+（7+9）=415.5.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9,减9 x x.1 X X数的百位为1,如果差的百位为8,那算式就是如下形式：-8 x
7、x剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数的卜位数字比减数要大，而且至少大2,因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：97-15x97x97x97x96xx-14x-13x-12x-14x8 xx *8 x x8 x x8 x x *8 x x96-13x96x95x95x94xx-12x-13x-12x-12x8 xx *8 x x8 x x *8 x x8 x x得数的卜位只可能是减数和被减数的卜位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下:9715XX97-14XX97-14XX9-173XX9-172X_x82X，82X183X，84X，85
8、X97X96X96 x96 x95X95X12X-13x -12 x -12 x-13X -12X84 x ,82 x 183 x 84 x 82 x 83 x 但这时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8,因此，算式可能的形式为:92 x92 x93 x93 x94 x-13 x-14 x-14 x-15 x-15 x78 x *78 x *7 S x ,78 x 78 x ,94 x 95 x-16 x -16 x78 x _78 x 再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式:-152-162
9、784,783,所以差最大为784.6.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？【分析与解】设这四个分数为上二一、1-、，其中m、n、a、b均为非零自然数）2m 2n 2a+l 2b+l1111 e*1111有+,贝 I）有-一，2m 2n 2a+l 2b+l 2m 2b+l 2a+l 2n我们从m=l,b=l开始试验：+_+_+_+26344312466,1111111111+_+_+420588153061010,11
10、111+_+65101212一我们发现，!和！分解后具有相同的一项而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条5610件：+=+,所以最小的两个偶数和为6+10=16.5156107.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】13个整数的和为100,即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2个不同的奇数和最小为1+3=4.
11、它们的和最小为132+4=136,显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36,满足,如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15满足.所以，满足题意的1
12、3个数中，偶数最多有7个，最少有5个.第四讲几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.典型问题图 30-21.如图30-2,已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关设正方形CEFG的边长为x,有：111()x-x2S正方形488=10 X 10=100, S正方形cefg =X,5= DG x GF=(
13、10-x)x=-,1 11 f)x+x又 S”=5 X10 X10=50, S.=/(10+x)x=-.阴影部分的面积为：S正方形A8CD + S|E方形CEFG + ADGF - NBEF,210x_x_10x + x2_=100+ x2+50=50(平方厘米).2 2方法二：连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.有DFB、ADBC共底DB,等高，所以这两个三角形的面积相等，显然， DBC的面积-xl0xl0=50(平方厘米).2阴影部分DFB的面积为50平方厘米.2.如图30-4, ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI 等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如
14、下图所示，标上数字,有/1=180-(/1+/2),而Nl=180-/3,/2=180-/4,有NI=N3+N4T80同理，NH=N4+/5-1801 ZG=Z5+Z6-180, NF=N6+N7T80, NE=N7+N8-180,ZD=Z8+Z9-180, ZC=Z9+Z10-180, ZB=Z1O+Z11-18O0, ZA=Z11+Z3-18On则NA+/B+/C+/D+/E+/F+NG+/H+/I=2X (Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+Z1D-9X 180而N3+/4+N5+N6+/7+N8+/9+N10+N11正是9边形的内角和为(9-2) X 180=1260.所
15、以 NA+/B+/C+ND+/E+NF+/G+NH+/I=2X 1260-9X 180=9003.长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形.例如，短边长分别是1，2,5,6,12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设ai=laKa3aWa5分别为5条短边的长度，则我们将这种选择方式记为(ab az, a3) a, a.0,这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.图
16、 30-6【分析与解】我们以儿个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出.第一类情况:为特征的有7组:第1种情况第谢情况第7种情况第二类情况：以6为特征的有6组:第8种情况iLL66n第三类情况有如下三组:第14种情况第谢情况J 26612第12种情况第1卅情况共有16组解,它们是:(1, 2,(1, 2,(1, 2,(1, 2,(1, 2,(1, 2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).5,5.5,6),(1,2,5,6,11),2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14)
17、,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).202512,I,(1,2,2.4,4.8,5),13102514，-6TTT4.如图30-8, ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E, F分别为边AB, BC的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？图 30-8【分析与解】如下图所示，连接EC,并在某些点处标上字母,因为AE平行于DC,所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2,所以5-0:5Aoeg =1：4，X S于cg =5MEG X SgcG，且有 S.GC =AECG，所以:=1：2，而这两个二角形高相同，面积
18、比为底的比,即EG： GD=1:2,同理FH： HD=1:2.有&AED SmEG + SmgD ,而 Saxed =5 X 万 X S ABCD =18（平/j 厘米）有 EG: GD二 S“eg Sgb，12所以5MG=xSgQ =6（平方厘米）SMGD=- XSMED =12（平方厘米）同理可得5凶叱=6（平方厘米），Sgc”=12（平方厘米），Smcg =450叩=4x6=24（平方厘米）又 S.ghd= Scg-Sch =24-12=12（平方厘米）所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的阴影部分面积为72-24=48（平方厘米）.5 .图30T
19、o是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米？图30-10【分析与解】如F图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.设4AEG的面积为x,显然AEBG、BFG、AFCG的面积均为x,则AABF的面积为3x, Smm=x20x10=100即=吧，那么正方形内空白部分的面积为=所以原题中阴影部分面积为20x20-理=陋（平方厘米）.336 .如图30-12,若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1.求阴影部分的面积.【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等.我们把左下图中的每一部分阴影称为A,
20、右下图中的每一部分阴影称为B.大半圆的面积为3A +3B +3,小圆的面积=,X3? x=也.222而小圆的面积为不，则4+6=7T 7E 5原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为一+一=一开2367 .如图30T4,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度,若AB=4, BC=3, AC=5,求AD边扫过部分的面积.（4取3.14）图30-14【分析与解】如下图所示,如下图所示，端点A扫过的轨迹为AAA,端点D扫过轨迹为。,而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD,4。所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分.显然有阴影部分面积为S直角加，+ S扇形4GV S直角MCD S