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1、1.2.3.【典型问题】豌0级数：*1.已知a=2 + 3 +，b =试比较a、b的大小.1+ 99第一讲计算综合【内容概述】nX (n+l)=nX (n+1) X (n+2)-(n-l) XnX (n+1)4-3；从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：+22+3?+2=3xx(+1)x(2+1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).100【分析与解】a =2+3 +1Tr力=198 + -A其中 A=99, B=99+一.因为 A98+,B97 + - 96+97+-r98 + - B1rT 198 + - A1 T，所以有a !_，41.52917【分析与解】甲组的前三个数0
2、.625,二都是小于1的数，2与这三个数运314325151717算后，得5.05,4,4；小论减1还是加1后，这二个数都比2大，而这是2与64163232小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号.现在验算一下：017 .八 812 0. 625=328 81”X = =4. 05 ；32 5 20372 813152 + - = X -=3；32 3 322642口 + 2=坦 xW =*=3 竺32 14 329 16 1617273232从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的,按照算式乙组的数5 而4?是错的.16甲组的数22+3+1=1,显然不为1.5,上面已认定
3、3是正确的，因此,3只有把2改为1.5,17才有 1.5+3+1=1，而 1.5+0.625+1=3.4, 1.54-+1=3. 25.23由此可见，确定的算式*是正确的.表中有两个错误，4 应改为4 , 2应改为1. 5,1615115 + 874 + 1 =5+=6 .16 216167 改正后的两个数的和是6.16165.图143中有大、中、小3个正方形，组成了 8个三角形.现在先把1, 2, 3, 4 分别填在大正方形的4个顶点上，再把1, 2, 3, 4分别填在中正方形的4个顶点上，最后 把1, 2, 3, 4分别填在小正方形的4个项点上.(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?
4、如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由.图14-3(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能,请说明理由.【分析与解】(1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等.事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k.在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次：中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次.因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：8k=(1+2+3+4)+3X (l+2+3+4)+2X (1+2+3+4),即8k=
5、60, k 不为整数，矛盾，所以假设是错误的.(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1+1+2=4,最大为3+4+4=11.而411共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造,且填法不惟一.图(a)和图(b)是两种填法.ffi(a)图(6)6.图145中有11条直线.请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等.求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数.图14-5【分析与解】表述1：设每行的和为S,在左下图中，除了 a出现2次，其他数字均只出现了 1次，并且每个数字都出现了，于是有4s=（1+2
6、+3+ll）+a=66+a；在右上图中除了 a出现5次，其他数字均只出现了 1次，并且每个数字都出现了，于是 有 5S= （1+2+3+- 11） +4a=66+4a.综合以上两式4S=66+a 5s =66+4a(2)义5X4得66-lla=0,所以 a=6,则 S=18.考虑到含有*的五条线，有4*+（l+2+3+4+-+ll）-t=5S=90.即4*-t=24,由 t 是111间的数FLtW*,可知*=7,而每行相等的和S为18.表述2：如卜图所不，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x.首先考虑以下四条直线：（h、f、a）,（i、g、a）,（x、d、b）,（j、e、c）,除了标有a
7、的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S,则有：（1+11） Xll+2+a=4S,即66+a=4S.再考虑以下五条直线：（h、f、a）,（i、g、a）,（j, x、a）,（e、d、a）,（c、b、a）,同理我们可得到66+4a=5S.综合两个等式66 + a = 4S66 + 4。=5S,可得a为6,每条宜线上和S为18.最后考虑含 x 的五条直线：（x、h）,（x、g、f）,（j、x, a）,（x、d、b）,（i, x、c）.其中除了 x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：66+4xe=5S=90,即4x-e=24,由
8、 e 是111间的数且 erx 可知 x=7.即每行相等的和S为18,*所填的数为7.7.一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数.已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数.2-3,4【分析与解】方法一：-=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,77775, n-=0.714285,-=0.857142.77对应有142857,285714,428571,5714
9、28,714285,857142,它们依次是142857的1、2,3、4、5、6倍.且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意.所以这个六位数为142857.方法二：首先可以确定最小的六位数的苜位为1,不然2*的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为abcde ,那么6个六位数中必定存在一个数为abcdel.而个位数字1,只能由1X1,3X7或9X9得到.但是帅cdel只能对应为abcde X (26),所以只能是 labcde X3得到.即 abcdel =labcde X3.于是，我们不难递推出d为5, c为8, b为2, a为4,所以这个六位数为142857.方法三：部分同方法
10、二，abcdel =abcde X3.那么有a/?cde X 10+1=(100000+abcde) X3,解得abcde =42857.所以这个六位数为142857.第三讲最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的.典型问题1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块？【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D,为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖.则当A、
11、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20,20,21,21时满足条件，且总和最少.这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块.方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，ia + b + c 61(D有+得：3(a+b+c+d)244,所以a+b+c+d811,因为a + c + J613b + c + d61(4)a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82.a + b + c60b .a+b+d60评注：不能把不等式列为240, a+b+c+d80因为a、b、c、d均是整数,所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会
12、出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2.用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABCXDE-FGHXIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCXDE-FGHXIJ尽可能的大，ABCX DE尽可能的大，FGHX IJ尽可能的小.则ABCXDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751,93.则FGHXIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468X20.所以 A
13、BCXDE-FGHXIJ 的最大值为751X93-468X20=60483.评注：类似的还可以算出FGHXIJ-ABCXDE的最大值为640X82-379X 15=46795.3,将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少？【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10,为了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9,9显然只能放到图中的位置，最后是8,8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算.8X7+7X10+10X6+6X9+9X8=31
14、2;9 X 7+7 X 10+10X6+6X8+8X9=313.所以，最小值为312.4.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析与解】设这个两位数为ab=10a+b,它们的数字和为a+b,因为10a+b=(a+b)+9a,所以10a+b=9a(mod a+b),设最大的余数为k,有9a三k (mod a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m,因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18,即0,9,也就是说余数最大为9：所以当除数a+b不为18,即最大为17时，m=7+9t，一种情况:余数最大为16,微a+b只能是17,此时有9a=15+17m
15、,有一(t1a=15+17t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；国二种情况|：余数其次为15,除数a+b只能是17或16,除数 a+b=17 时,有 9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t,（t为可取0的自然数），a是一位数,显然也不满足;m=39 t除数a+b=16时，有9a=15+16m,有1一一（t为可取0的自然数），因为a是一位数, a=7+16t所以a只能取7,对应b为16-7=9,满足；所以最大的余数为15,此时有两位数79+（7+9）=415.5.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这
16、个算式的差最大是多少？【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百9 x x1 X X位为9,减数的百位为1,如果差的百位为8,那算式就是如下形式：8 x x剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2,因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：97X97X97X97X96X-15X-14X-13X-12X-14X8XX，8XX8XX，8XX，8XX96X96X95X95X94X-13X-12X-13X-12X-12X8XX8XX，8X，X8XX，8XX得数的十位只可能是减数和被减数的十
17、位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：97x97x97x97x97x-15x-14x-14x-13x-12x82 x 82 x ,83 x ,847-85 x ,97x96x96x96x95x95x-I 2x-13x-12x-12x-13x -12x84x *82x *83x84x_82x 83x,但这时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8,因此，算式可能的形式为：92x92x93x93x94x-13x-44x-14x-15x-15x78x78x78x_78x -78x94 x 95 x-I
18、6 x -16 x78 x -78 x ,再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：-152-16278478?,所以差;最大为784.6.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？（其中m、n、a、b均为非2b+1【分析与解】设这四个分数为上一、,2m 2n 2a+1零自然数）-11_11 m11_11有+=+,则有=,2m 2n 2a+l 2b+l 2m 2b+l 2a+l 2n我们从m=l,b=l开始试验：L_L 1
19、-11 L_L j_263441312466,4-2058853061010,J_ J_ J_ J_65+101212，我们发现，,和工分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母是满足一奇一偶,5610满足题中条件：+=+,所以最小的两个偶数和为6+10=16.5156107.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】13个整数的和为100,即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6
20、+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136,显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36,满足，如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的
21、奇数，有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15满足.所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个.第四讲几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.典型问题1.如图30-2,已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少图 30-2平方厘米?【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关.设正方形CEFG的边长为x,有：110x-x2
22、S正方形Me。=lxl0=100, S正方形cefg=x- Sgf =- DG xGF=（10-x）x=-,1110x+x2又 Saabd=万 x 10 x 10=50,5凶“二万（10+x）x=-.阴影部分的面积为：S 正方形岫d膨+ SCEFG + SgGF 一一BEF=100+ x2+ iQxx_50-m +.=50（平方厘米）.22方法二：连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.有DFB、ADBC共底DB,等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,ZkDBC的面积-xl0xl0=50(平方厘米).2阴影部分DFB的面积为50平方厘米.2.如图30-4, NA+/B+NC+ND
23、+NE+NF+NG+NH+NI 等于多少度？图30-4【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有NI=18O-(N1+N2),而Nl=180-N3, Z2=180-Z4,有NI=N3+N4-1800同理，ZH=Z4+Z5-180, ZG=Z5+Z6-180, N F= N 6+N7-180* NE=N7+N 8-180,ZD=Z8+Z9-180, ZC=Z9+Z10-180, ZB=Z10+Zll-180, ZA=Z11+Z 3-180n贝|JNA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+NI=2X (Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+ Z1D-9X18O0而N 3+
24、 N 4+ N 5+ N 6+ N 7+ N 8+ N 9+ N 10+ N 11正是9边形的内角和为(9-2) X 180=1260.lWZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI=2X 12600-9X 180=900n3.长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形.例如，短边长分别是1,2,5,6,12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设ana2a,aa
25、5分别为5条短边的长度，则我们将这种选择方式记为(a, a2, a：, a, aj,这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.图30-6【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列此为特征的有7组:第一类情况：以第1种情况第洲t况第7计情况第二类情况：以第附情况为特征的有6组:第话情况第12种情况第三类情况有如下三组:第14种情况第1的情况第15种情况共有16组解，它们是：(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).(1,2,5,5.5,6),(1,2,
26、5,6,11),(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14),(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).1,2,(1,2,2.4,4.8,5),999；13102514L 不，可，？，4.如图30-8, ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E, F分别为边AB, BC的中点.则图形中阴影部分的面枳为多少平方厘米？图 30-8C【分析与解】如下图所示，连接EC,并在某些点处标上字母,因为AE平行于DC,所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2,所以SFC ：5ADrr =1:4,AA
27、GD X S.cG = Smeg * SgcG，且石MGD = AECG，所以 AAEG * AADG =2，而这两个三角形高相同，面积比为底的比,即EG： GD=1:2,同理FH： HD=1:2.有 SmED =5AAEG + SgGD 而 Sm= X X S ABCD =8（平方厘米）有 EG:GD=5AAG S.gb ,12所以Smeg =xSmfd =6（平方厘米）Smgd =xSmed =12（平方厘米）同理可得Smfc=6（平方厘米），Sch=12（平方厘米），SgcG =45必卬=4 x 6=24（平方厘米）又 Sghd = Swcg S1KH =24T2=12（平方厘米）所以原
28、题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的阴影部分面积为72-24=48（平方厘米）.5.图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.DC设AAEG的面积为x,显然AEBG、ZXBFG、ZFCG的面积均为x,则AABF的面积为3x,Sg=x2xl0=100即x = W2,那么正方形内空白部分的面积为4=理所mbf 233以原题中阴影部分面积为20x20-竺=则（平方厘米）.336 .如图30-12,若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是
29、1.求阴影部分的面积.图 30- 12【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等.我们把左下图中的每一部分阴影称为A,右下图中的每一部分阴影称为B.大半圆的面积为3A +38+3，小圆的面积= Lx32x7=也.222而小圆的面积为不，则4+8=0 11) 乃 5 71 4-3 =一717T 7T 5原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为一+=-万2367 .如图30T4,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4, BC=3, AC=5,求AD边扫过部分的面积.（万取3.14）图30-14【分析与解】如下图所示,如下图所示，端点A扫过的轨迹为端点D扫过轨迹为,而AD之间的点，扫过的轨