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1、小升初奥数常考内容十讲第一讲计算综合【内容概述】1.2.nX (n+l)=nX (n+1) X (n+2)-(n-l) XnX (n+l)4-3；从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：3.l2+22+32+-+ n2=-xnx(n + l)x(2n + l)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).【典型问题】豌级数：*一力=r99，试比较a、b的大小.3+ J99+100【分析与解】12+;r3+i,b =+198+-A其中 A=99, B=99+.因为 A98+,A Br,96 +r98 + -97+B 98 + 1A97+-96+J97+T98+- B2 H3+4+，所以有a
2、61有6l3b + c + d6均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82.fa + b + c)60a+b+d60评注：不能把不等式列为240,a+b+c+d80,因为a+c+d60b+c+d60a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至丁为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2 .用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABCXDE-FGHXIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCXDE-FGHXIJ尽可能的大，ABCXDE尽可能的大，FGHXIJ尽
3、可能的小.则ABCXDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751,93.则FGHXIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468X20.所以 ABCXDE-FGHXIJ 的最大值为751X93-468X20=60483.评注：类似的还可以算出FGHXIJ-ABCXDE的最大值为640X82-379X15=46795.3 .将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手
4、，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9,9显然只能放到图中的位置，最后是8,8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算.8 X 7+7 X 10+10X6+6X9+9X8=312;9X7+7X 10+10 X 6+6 X 8+8 X 9=313.所以，最小值为312.4 .一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析与解】设这个两位数为ab=10a+b,它们的数字和为a+b,因为10a+b=(a+b)+9a,所以10a+b =9a (mod a+b),设最大的余数为k,有9a三k(m
5、od a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m,因为9a、18nl均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18,即0,9,也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18,即最大为17时，p._I m=7+9t第一种情况：余数最大为16,除数a+b只能是17,此时有9a=15+17m,有(t为可取01ga=15+17t的自然数)，而a是一位数，显然不满足；区三种情况卜余数其次为15,除数a+b只能是17或16,除数 a+b=17 时，有 9a=15+17m,有除数 a+b=16 时，有 9a=15+16m,有，m=6+9t,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满 a=13
6、+17t足;m=3+9t一(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只 a=7+16t能取7,对应b为16-7=9,满足;所以最大的余数为15,此时有两位数79+(7+9)=415.5.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各诙，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9,减9 x x. X X数的百位为1,如果差的百位为8,那算式就是如下形式：8 x x剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少
7、大2,因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：97X97X97X97X96X-I5X-14X-13X-12X-14X8Xx8Xx8Xx8Xx8XX96X96X95X95X94X-13X-12X-13X-12X-12X8Xx8XX，8XX8Xx8XX得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：97x97x97x97x97x-15x.-14x-14x -13x-12x82x，82x83x，84x，85x，97 x 96 x96x96x95x95x-12x -13 x -12 x -12 x -13x - I 2 x84 x *82 x 83 x 84 x 1
8、-82 x ,_83 x 但这时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8,因此，算式可能的形式为:9 3 x 9 4 x-1 5 x - 1 5 x7 8 x 7 8 x ,92x92x93x-13x-4x-14x78x *-78x，-78x，94 x 95 x-16 x -16 x78 x 78x 再考虑剩下的三个数字，可以找到如下儿个算式:-152-162784,-783,所以差最大为784.6.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分
9、母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？【分析与解】设这四个分数为上-、,L、一(其中mn、a、b均为非零自然数)2m 2n 2a+l 2b+l/1I _1111_11有+,贝!有-2m2n 2a+l2b+l2m2b+l 2a+l2n我们从m=l,b=l开始试验：+ +2 6 3 4 4+n - 6 +1 - 6-1 - 411111111114205885306101011111+,65101212我们发现，和,分解后具有相同的一项L,而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条5610+=+,所以最小的两个偶数和为6+
10、10=16.5156107.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】13个整数的和为100,即偶数，那么奇数个数定为偶数个，则奇数最少为2个,最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136,显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,
11、而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍然不满足：当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36,满足，如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15满足.所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个.第四讲几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比
12、例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.典型问题图 30-21.如图30-2,已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关.设正方形CEFG的边长为x,有：I11()x-x2S正方形486=1x 10=100, S正方形cefg =x., SGF = DG xGF=(10-x)x=-,1 110x+x又Sl =一x 10X10=50, Sabef =_00+x)x=.阴影部分的面积为：u正方形4BG的T QCEFG
13、T aDGF AABD MEF._2 IO%- X_1 Ox + X_/F_JL_LW、=100+ x2+50=50(平方厘米).2 2方法二：连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.有DFB、ADBC共底DB,等高，所以这两个三角形的面积相等，显然， DBC的面积-xl0x10=50(平方厘米).2阴影部分ADEB的面积为50平方厘米.2.如图30-4, ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI 等于多少度?图30-4【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有/1=180-(/1+/2),而Nl=180-N3, Z2=180-Z4,有/I=N3+N4T80同理
14、，NH=N4+/5T80, ZG=Z5+Z6-180,/F=N6+/7T80, NE=N7+N8T80,ZD=Z8+Z9-180, ZC=Z9+Z10-180, ZB=Z10+Zll-180, ZA=Z11+Z3-18O0H则NA+/B+NC+ND+/E+NF+/G+NH+NI=2X (Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+Z1D-9X 180而N3+/4+N5+N6+Z7+/8+N9+/10+N11正是9边形的内角和为(9-2) X 180=1260. ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI-2X 1260-9X 180=9003 .长边和短边的比例是2：1的长方形
15、称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基木长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形.例如，短边长分别是1,2,5,6,12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设aLlCaKasSKas分别为5条短边的长度，则我们将这种选择方式记为(a., a% a:1, a, a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.图30-6【分析与解】我们以儿个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出.第一类情况:为特征的有7组:第2种情况第
16、1种情况第第情况第4钟情况第二类情况：以为特征的有6组:第7种情况种情况iLL5611第9种情况第三类情况有如下三组:第14种情况1I 252514第话情况共有16组解，它们是：(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).(1,2,5,5.5,6),(1,2,5,6,11),(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14),(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).4 .如图30-8, ABC
17、D是平行四边形，面积为72平方厘米，E, F分别为边AB, BC的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？图3O-8【分析与解】如下图所示，连接EC,并在某些点处标上字母,因为AE平行于DC,所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2,所以Seg ：=1：4，SgG。X 5ACG = Seg X SgcG，且有AAGD =5ACG ,所以: MDG =1：2，而这两个二角形高相同，面积比为底的比，即EG： GD=1:2,同理FH： HD=1:2.有 SgE。= SMeg +Smg。，而 Saaed =5X5X3 ABCD =18（平方厘米）有 EG: GD= SMEG : Smgb ,
18、12所以 SgEG =；二xSmeq =6（平方厘米）SMGD =X5MD =12（平方厘米） Z-XrlI 1.1 z1/1JU /ri，同理可得S.fc =6（平方厘米），Sgc”=12（平方厘米），5Aoeg =450而=4x6=24（平方厘米）又 Saghd= Swcg-S 瓯H =24-12=12（平方厘米）所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的阴影部分面积为72-24=48（平方厘米）.5 .图30To是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米?图30-10【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，
19、并连接BG.设4AEG的面积为x,显然AEBG、BFG、AFCG的面积均为x,则AABF的面积为3x,Saabf =x20xl=100即x = W2,那么正方形内空白部分的面积为4*=理-所以原题中阴233影部分面积为20、20-理=型（平方厘米）.336 .如图30-12,若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1.求阴影部分的面积.图30-12【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等.我们把左下图中的每一部分阴影称为A,右下图中的每一部分阴影称为B.1 O大半圆的面积为34+36+3上小圆的面积=2x32乃=.2 22而小圆的面积为万,则A +八仁一 3；万卜3g原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为一+一=一开2367.如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4, BC=3, AC=5,求AD边扫过部分的面积.（乃取3.14）图 30- 14【分析与解】如下图所示,如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA2,端点D扫过轨迹为DDD,而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD, AD所形成的封闭图形内，且这个封闭