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1、25.2.用树状图求概率（用树状图求概率（1）复习引入复习引入必然事件；必然事件；在一定条件下必然发生的事件，在一定条件下必然发生的事件，不可能事件不可能事件；在一定条件下不可能发生的事件在一定条件下不可能发生的事件随机事件随机事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，2.概率的定义概率的定义事件事件A发生的频率发生的频率m/n接近于某接近于某个常数，这时就把这个常数叫做个常数，这时就把这个常数叫做事件事件A的的概率，概率，记作记作P（A）.0P(A)1.必然事件的概率是必然事件的概率是1，不可能事件的概率是，不可能事件的概率是0.当一次试验要涉及当
2、一次试验要涉及两个因素两个因素,并且可能出现并且可能出现的结果数目较多时的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可为了不重不漏的列出所有可能的结果能的结果,通常采用通常采用列表法列表法.一个因素所包含的可能情况一个因素所包含的可能情况 另一另一个因素个因素所包含所包含的可能的可能情况情况两个因素所组合的两个因素所组合的所有可能情况所有可能情况,即即n n 在所有可能情况在所有可能情况n n中中,再找到满足条件的事件的个再找到满足条件的事件的个数数m,m,最后代入公式计算最后代入公式计算.列表法中表格构造特点列表法中表格构造特点:当一次试当一次试验中涉及验中涉及3 3个个因素因素或或更多更多的因
3、素的因素时时,怎怎么办么办?当一次试验中涉及当一次试验中涉及3 3个因素或更多的因素时个因素或更多的因素时,用列用列表法就不方便了表法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用通常采用“树形图树形图”.树形图的画法树形图的画法:一个试验一个试验第一个因数第一个因数第二个第二个第三个第三个 如一个试验如一个试验中涉及中涉及3 3个因数个因数,第第一个因数中有一个因数中有2 2种种可能情况可能情况;第二个第二个因数中有因数中有3 3种可能种可能的情况的情况;第三个因第三个因数中有数中有2 2种可能的种可能的情况情况,AB123123a b a b a b
4、 a b a b a b则其树形图如图则其树形图如图.n=2n=23 32=122=12例例1 1 同时抛掷三枚硬币同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率求下列事件的概率:(1)(1)三枚硬币全部正面朝上三枚硬币全部正面朝上;(2)(2)两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上;(3)(3)至少有两枚硬币正面朝上至少有两枚硬币正面朝上.正正 反反 正正 反反 正正 反反 正正 反反正正反反正正反反正正反反抛掷硬币试验抛掷硬币试验解解:由树形图可以看出由树形图可以看出,抛掷抛掷3 3枚枚硬币的结果有硬币的结果有8 8种种,它们出现的它们出现的可能性相等可能性相等.P(A)
5、P(A)(1)(1)满足三枚硬币全部正面朝满足三枚硬币全部正面朝上上(记为事件记为事件A)A)的结果只有的结果只有1 1种种18=P(B)P(B)38=(2)(2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上币反面朝上(记为事件记为事件B)B)的结果有的结果有3 3种种(3)(3)满足至少有两枚硬币正面朝满足至少有两枚硬币正面朝上上(记为事件记为事件C)C)的结果有的结果有4 4种种 P(C)P(C)48=12=第第枚枚 例例2.2.甲、乙、丙三人打乒乓球甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢由哪两人先打呢?他们决定用他们决定用 “石头、剪刀、布石头、剪刀、布”的游戏来决
6、定的游戏来决定,游戏时游戏时三人每次做三人每次做“石头石头”“剪刀剪刀”“布布”三种手势中的一三种手势中的一种种,规定规定“石头石头”胜胜“剪刀剪刀”,“剪刀剪刀”胜胜“布布”,“布布”胜胜“石头石头”.问一次比赛能淘汰一人的概率是多少问一次比赛能淘汰一人的概率是多少?石石剪剪布布石石游戏开始游戏开始甲甲乙乙丙丙石石石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布解解:由树形图可以看出由树形图可以看出,游戏的结果有游戏的结果有2727种种,它它们出现的可能性相等们出现的可能性相等.由规则可知由规则可知,一次
7、能淘汰一人的结果应是一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪石石剪”“剪剪布剪剪布”“布布石布布石”三类三类.而满足条件而满足条件(记为事件记为事件A)A)的结果有的结果有9 9种种 P(A)=P(A)=13=927例3：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E;丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从3个口袋中各随机地抽取1个小球。（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个、和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？分析：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方
8、形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用树形图。解：根据题意，画出如下的“树形图”甲乙丙ABCDEHICDEHI HIHI HI HI从树形图看出，所有可能出现的结果共有12个ACHACIADHADIAEHAEIBCHBCIBDHBDIBEHBEI（1）只有一个元音的字母的结果（红色）有5个有两个元音的字母的结果（绿色）有4个有三个元音的字母的结果（蓝色）有1个（2）全是辅音字母的结果（黑色）有2个用树状图和列表的方法求概率的前提:各种结果出现的可能性务必相同.例如注意：1.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字
9、路口，求下列事件的概率：（1）三 辆 车 全 部 继 续 直 行；（2）两 辆 车 向 右 转，一 辆 车 向 左 转；（3）至 少 有 两 辆 车 向 左 传。第一辆左右左右左直右左直右第二辆第三辆直直左右直左右直左直右左直右左直左直右右左直右左直右左左直直右右左直右左直右 左直左直右右左直右左直右左左直右直右共有27种行驶方向解：画树形图如下：（3）至少有两辆车向左传，有7种情况，即：左左左，左左直，左左右，左直左，左右左，直左左，右左左。2.在一个不透明的口袋中装有在一个不透明的口袋中装有4 4张相同的纸牌，它们分别标有张相同的纸牌，它们分别标有数字数字1 1，2 2，3 3，4.4.随
10、机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌取出一张纸牌.（1 1）计算两次摸取纸牌上数字之和为）计算两次摸取纸牌上数字之和为5 5的概率；的概率；（2 2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。这胜。这 是个公平的游戏吗？请说明理由是个公平的游戏吗？请说明理由.解：用树状图法。12341112223334441234由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有
11、16种，它们出现的可能性相等.(1)两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P(A)=(2)这个游戏公平，理由如下：两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P(B)=两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P(C)=两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平.(1)(1)列表法和树形图法的优点是什么列表法和树形图法的优点是什么?(2)(2)什么时候使用什么时候使用“列表法列表法”方便方便?什么时候使什么时候使用用“树形图法树形图法”方便方便?利用利用树形图树形图或或表格表格可以清晰地表示出某可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果个事件
12、发生的所有可能出现的结果;从而较方从而较方便地求出某些事件发生的概率便地求出某些事件发生的概率.当试验包含当试验包含两步两步时时,列表法列表法比较方便比较方便,当然当然,此时也可以用树形图法此时也可以用树形图法;当试验在当试验在三步或三步以上三步或三步以上时时,用用树形图法树形图法方便方便.课堂小节（一）等可能性事件的两的特征：（一）等可能性事件的两的特征：1.出现的结果有限多个出现的结果有限多个;2.各结果发生的可能性相等；各结果发生的可能性相等；（二）列举法（二）列举法求概率求概率1.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目问题可能解的数目.2利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图（下课时将学习）等类列举、列表、画树形图（下课时将学习）等.