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1、奥赛典型例题奥赛典型例题分析分析(运动学运动学)2021/8/11 星期三11.试求图试求图1中物体中物体B的速度的速度.ddACBvv图图1力力 学学 运运 动动 学学2021/8/11 星期三22.试求图试求图2中物体中物体A的速度的速度.图图2Av2021/8/11 星期三33.图图3中，中，M线以速度线以速度v1运动，运动，v1与与M线垂直线垂直;N线以速度线以速度v2运动，运动，v2与与N线线垂直，试求垂直，试求M线与线与N线交点的速度线交点的速度.图图3v1v2MN 2021/8/11 星期三44.图图4中圆周的半中圆周的半径为径为R，细杆以，细杆以速率速率v0向右运动，向右运动，
2、t0时，细杆与时，细杆与y轴重合，试求轴重合，试求细杆未离开圆周细杆未离开圆周前，它与圆周在前，它与圆周在第一象限的交点第一象限的交点的向心加速度与的向心加速度与时间的关系时间的关系.图图4v0yxo2021/8/11 星期三55.一小球一小球m位于倾角位于倾角为为的光滑斜坡的光滑斜坡A点点的上方，小球离的上方，小球离A点点的距离为的距离为h，斜坡，斜坡B处有一小孔，处有一小孔，A与与B的距离为的距离为S，如图，如图5所示所示.若小球自由下若小球自由下落后与斜坡的碰撞落后与斜坡的碰撞是完全弹性碰撞是完全弹性碰撞.欲欲使小球恰能掉进小使小球恰能掉进小孔孔B，则，则h应满足什应满足什么条件？么条件
3、？图图5B hAm S2021/8/11 星期三66.离地面高度为离地面高度为h 处，有一小球以处，有一小球以初速度初速度v0做斜上抛运动，做斜上抛运动，v0的方向的方向与水平方向成与水平方向成角，如图角，如图6所示，那所示，那么当么当角为多大时，才能使小球的角为多大时，才能使小球的水平射程最大，这最大的水平距离水平射程最大，这最大的水平距离是多少？是多少？hv0图图62021/8/11 星期三77.两两相距都是两两相距都是d的三个小孩的三个小孩A、B、C，从，从t0开始相互追逐，运动开始相互追逐，运动速率都是速率都是v.追逐过程中，追逐过程中，A始终向着始终向着当时当时B所在位置运动，所在位
4、置运动，B始终向着当始终向着当时时C所在位置运动，所在位置运动，C始始终向着当时终向着当时A所在位置运所在位置运动动.试问试问这三个小孩试问试问这三个小孩何时相遇在一起？开始时何时相遇在一起？开始时他们的加速度大小是多少他们的加速度大小是多少？B dddACvvv图图72021/8/11 星期三88.如图如图8所示，线轴沿水平面做无滑滚动，所示，线轴沿水平面做无滑滚动，并且线端并且线端A点的速度为点的速度为v，方向水平，方向水平.以铰以铰链固定在链固定在B点的木板靠在线轴上，线轴的内、点的木板靠在线轴上，线轴的内、外半径分别为外半径分别为r和和R，试求木板的角速度，试求木板的角速度与角与角的关
5、系的关系.BvA图图82021/8/11 星期三99.如图如图9所示，一只狐狸以恒定的速度所示，一只狐狸以恒定的速度v1沿沿AB直线逃跑，一只猎犬以恒定速率直线逃跑，一只猎犬以恒定速率v2追击这追击这只狐狸，运动方向始终对准狐狸，设某时刻只狐狸，运动方向始终对准狐狸，设某时刻狐狸位于狐狸位于F处，猎犬位于处，猎犬位于D处，已知：处，已知：DF=L,DF AB，试求：，试求：（1）这时猎犬的加速度大小；（）这时猎犬的加速度大小；（2）猎犬追）猎犬追上狐狸所用的时间上狐狸所用的时间.DFABv1v2图图9L2021/8/11 星期三1010.试用物理方法求抛物线试用物理方法求抛物线y=Ax2上任一
6、点处的曲率半径上任一点处的曲率半径.2021/8/11 星期三11例例1 解解如图如图2 2所示，设经很短时间所示，设经很短时间t，物，物体体B向上移向上移动动了了y，滑，滑轮轮到物体到物体B部分的部分的绳绳子子缩缩短了短了L.dLyyLvB图图2 2则有则有所以所以方法方法1（微元法）（微元法）ddACBvv图图12021/8/11 星期三12方法方法2（利用绳子不可伸长的特点）（利用绳子不可伸长的特点）由于绳子不可伸长，所以物由于绳子不可伸长，所以物体体B的速度沿绳子方向的投的速度沿绳子方向的投影应该等于绳子的速度大小影应该等于绳子的速度大小.于是有于是有所以所以ddACBvv图图1202
7、1/8/11 星期三13方法方法3（利用合力的功等于分力的功的和）（利用合力的功等于分力的功的和）ddACBvv图图1BffF图3如图如图3所示，作用在物体所示，作用在物体B上的上的绳子的拉力的合力绳子的拉力的合力F为为因为合力因为合力F的功应该等于两个的功应该等于两个分力分力f的功的和，所以有的功的和，所以有由以上两式可得由以上两式可得2021/8/11 星期三14例例2 解解v图图1A方法方法1（微元法）（微元法）vl1l2图图2u如图如图2所示，设经很短的时间所示，设经很短的时间t，物体，物体A向前移向前移动动了了l1，于是，在这段时间内绳子缩于是，在这段时间内绳子缩短的总长为短的总长为
8、由图由图2易得易得物体物体A的速度为的速度为由以上三式可解得由以上三式可解得2021/8/11 星期三15方法方法2（利用功能关系）（利用功能关系）图图1AAffF图图2如图如图2所示，设人拉绳子的力所示，设人拉绳子的力为为f，那么作用在物体，那么作用在物体A上的上的合力为合力为F.由图由图2 易得易得 由于人的拉力由于人的拉力f所做的功应等于作所做的功应等于作用在物体用在物体A上的合力上的合力F所做的功，所做的功，于是有于是有由以上两式可解得由以上两式可解得2021/8/11 星期三16图图1v1v2MN 例例3 解解 方法方法1（利用速度的定义）（利用速度的定义）MNv1v2ABC1C2A
9、1A2图图2如图如图2所示，设经过时间所示，设经过时间t，两线的，两线的交点由交点由A移到移到B，那么交点的位移，那么交点的位移为为AB，由余弦定理可得，由余弦定理可得因为因为据速度的定义可知，交点的速度为据速度的定义可知，交点的速度为2021/8/11 星期三17MNv1v2ABC1C2A1A2图图2由以上由以上4个方程可解得个方程可解得2021/8/11 星期三18方法方法2（利用交点的运动方程求解）（利用交点的运动方程求解）图图3v1MNv2AB xyo如图如图3所示，以所示，以t=0时两线交点时两线交点为原点，建立为原点，建立xoy坐标系坐标系.经过经过时间时间t，M、N线的方程分别是
10、线的方程分别是由以上两个方程可解得交点的坐标（即交点的运动参由以上两个方程可解得交点的坐标（即交点的运动参数方程）为数方程）为2021/8/11 星期三19图图3v1MNv2AB xyo由以上两个方程可得交点速由以上两个方程可得交点速度的两个分量度的两个分量所以交点速度的大小为所以交点速度的大小为2021/8/11 星期三20例例4 解解 如图如图1所示，设经时间所示，设经时间t，细杆运动到图示位置，交点细杆运动到图示位置，交点P的的坐标为坐标为(x，y)，速度大小为，速度大小为v，其方向必然沿圆周切线方向其方向必然沿圆周切线方向.由图可见由图可见图图1xv0yovvx=v0RP2021/8/
11、11 星期三21图图1xv0yovvx=v0RP交点交点P的向心加速度为的向心加速度为由以上由以上4个方程可解得个方程可解得2021/8/11 星期三22例例5 解解 （递推法）（递推法）图图1BhAm v0yxAA1A2A3S1S2S3图图2如图如图2所示，建立所示，建立xoy坐标系，由于坐标系，由于小球与斜坡的碰小球与斜坡的碰撞是完全弹性碰撞是完全弹性碰撞，所以碰前、撞，所以碰前、碰后的速度大小碰后的速度大小相等，与斜坡法相等，与斜坡法线的夹角相等线的夹角相等.设小球与斜坡第一次设小球与斜坡第一次碰撞后的速度为碰撞后的速度为v0,与与y轴的夹角为轴的夹角为，那么，那么2021/8/11 星
12、期三23v0yxAA1A2A3S1S2S3图图2小球空中运动的加速度为小球空中运动的加速度为 由于小球在由于小球在y方向做类竖直上抛运动，所以与斜坡方向做类竖直上抛运动，所以与斜坡相邻两次碰撞之间的运动时间是一恒量，为相邻两次碰撞之间的运动时间是一恒量，为小球与斜坡头两次碰撞之间的距离为小球与斜坡头两次碰撞之间的距离为2021/8/11 星期三24v0yxAA1A2A3S1S2S3图图2因为因为所以，每次碰撞后的速度的所以，每次碰撞后的速度的x分量都比前一次碰撞后的分量都比前一次碰撞后的速度的速度的x分量大分量大.故每碰撞一次都使小球的水平位移增加故每碰撞一次都使小球的水平位移增加2021/8
13、/11 星期三25v0yxAA1A2A3S1S2S3图图2于是于是那么应有那么应有AB2021/8/11 星期三26v0yxAA1A2A3S1S2S3图图2把把 代入代入可解得可解得2021/8/11 星期三27例例6 解解v0h图图1方法方法1 (矢量图解法矢量图解法)v0gtv图图2不论不论是多少，小球落地是多少，小球落地时时的的速度大小都相同速度大小都相同,为为又任一时刻，小球的速度为又任一时刻，小球的速度为作出如图作出如图3所示的矢量图所示的矢量图.而小球的水平射程为而小球的水平射程为三个矢量三个矢量所围成的三角形面积为所围成的三角形面积为2021/8/11 星期三28v0gtv图图2
14、所以有所以有这表明只要这表明只要S最大，则水平射程最大，则水平射程L就最大就最大.由于三角形两边由于三角形两边v0、v的大小都是恒量，所以当它的大小都是恒量，所以当它们的夹角为们的夹角为90时，三角形的面积最大时，三角形的面积最大.即当即当 时，时，又由图又由图2易得易得故故2021/8/11 星期三29v0gtv图图2所以当所以当 时，小球有时，小球有最大水平射程最大水平射程.这最大水平射程为这最大水平射程为2021/8/11 星期三30方法方法2 (极值法极值法)图图3v0tLhv0h图图1由图由图3，据勾股定理可得，据勾股定理可得整理后可得整理后可得当当 时，时，L有最大有最大值，为值，
15、为2021/8/11 星期三31图图3v0tLh把把 t 值代入值代入可解得可解得2021/8/11 星期三32例例7 解解 B dddACvvv图图1(1)方法方法1 (微元法结合递微元法结合递推法和极限法推法和极限法)d1A1B1C1D 设经过很短时间设经过很短时间t，三个小孩分，三个小孩分别别到到达达A1、B1、C1点，那么根据点，那么根据对对称性可称性可知，知，A1、B1、C1仍组成等边三角形，仍组成等边三角形，如图所示，设边长变为如图所示，设边长变为d1，且必有，且必有AA1=BB1=vt，由图易得，由图易得同理有同理有2021/8/11 星期三33d1A1B1C1D B dddAC
16、vvv图图1因为因为n，t0，n t=t,dn=0,所所以有以有2021/8/11 星期三34(1)方法方法2 (相对运动法相对运动法)B dddACvvv图图1ABvvv图图2vAB由图由图2 可得可得A相对相对B的相对速度为的相对速度为而这一速度在而这一速度在AB方向的投影为方向的投影为因为因为A与与B之间是距离最初为之间是距离最初为d，最后相遇时为零，所以有最后相遇时为零，所以有于是于是2021/8/11 星期三35(1)方法方法3 (对称性法对称性法)B dddACvvv图图1O 根据对称性可知，虽然在不同时刻根据对称性可知，虽然在不同时刻三三个小孩到达不同位置，但个小孩到达不同位置，
17、但这这些位置些位置仍仍组成等边三角形，而且这些等边三角组成等边三角形，而且这些等边三角形的中心都在同一点形的中心都在同一点O，最后三个小，最后三个小孩相遇于孩相遇于O点点.由图易得任一时刻小孩由图易得任一时刻小孩A的速度沿的速度沿AO方向的投影始终都是方向的投影始终都是因为最初因为最初所以三个小孩相遇需要的时间为所以三个小孩相遇需要的时间为2021/8/11 星期三36(2)vvv图图3由图由图3易见，经过很短的易见，经过很短的t时间，时间，小孩小孩A的速度的方向改变了，但大的速度的方向改变了，但大小不变小不变.由图由图1和图和图3，利用三角，利用三角形相似的关系可得形相似的关系可得d1A1B
18、1C1D B dddACvvv图图1又又小孩开始运动时的加速度大小为小孩开始运动时的加速度大小为由以上各式可解得由以上各式可解得2021/8/11 星期三37例例8 解解BvA图图1C由于木板由于木板B始终与线轴接触，始终与线轴接触，所以，必定有两物接触点所以，必定有两物接触点C的法向的法向速度相等速度相等.由图由图2可见，木板可见，木板上的接触点上的接触点C的法向速度为的法向速度为线轴上的接触点线轴上的接触点C的速度为的速度为C点相点相对于对于O点的速度点的速度vCO与与O点相对于点相对于地的速度地的速度vO的叠加的叠加.由于由于vCO沿线轴沿线轴的切向的切向(即沿木板方向即沿木板方向)，所
19、以，所以，C点的法向速度为点的法向速度为vnCOvOvOvCOvCCvn图图2B2021/8/11 星期三38vnCOvOvOvCOvCCvn图图2B因为线轴作无滑滚动，所以因为线轴作无滑滚动，所以有（与地的接触点有（与地的接触点D为瞬心）为瞬心）BvA图图1CD由以上三式可解得由以上三式可解得2021/8/11 星期三39例例9 解解图图1DFABv1v2 Lv2v2v2FEDxL图图2 (1)（微元法）（微元法）设经很短时间设经很短时间t，狐狸从，狐狸从F运运动动到到E，则猎则猎犬的速度方向就从沿犬的速度方向就从沿DF方向方向变变为为沿沿DE方向，但速度大小不方向，但速度大小不变变,如如图
20、图2所示所示.由相似三角形可得由相似三角形可得因为因为猎犬的加速度大小为猎犬的加速度大小为由以上三式可解得由以上三式可解得2021/8/11 星期三40 (2)（微元法）（微元法）设猎犬经过时间设猎犬经过时间 t 便追上狐狸，便追上狐狸，此时两者的距离为零此时两者的距离为零.又设任一时又设任一时刻猎犬到达刻猎犬到达P点处，这时狐狸到达点处，这时狐狸到达E点点,如图如图3所示所示.由开始到猎犬追上狐狸，两者由开始到猎犬追上狐狸，两者的径向距离由的径向距离由L减少到零减少到零.在任一时刻，它们之间的接近速度为在任一时刻，它们之间的接近速度为 ,在在 t 时间内两者的径向距离减少了时间内两者的径向距
21、离减少了 ，于是有，于是有v1DFPBv2E图图32021/8/11 星期三41在在FB方向上，开始时它们两者之方向上，开始时它们两者之间的距离为零，猎犬追上狐狸时间的距离为零，猎犬追上狐狸时,它们两者之间的距离仍为零它们两者之间的距离仍为零.在在FB方向上，任一时刻它们的相方向上，任一时刻它们的相对速度为对速度为 ,在在 t 时间内两者在时间内两者在FB方向距离减少了方向距离减少了 所以有所以有v1DFPBv2E图图32021/8/11 星期三42由以上两式可解得由以上两式可解得v1DFPBv2E图图32021/8/11 星期三43例例10 解解(假设法或称虚拟法假设法或称虚拟法)设一质点的运动轨迹就是抛物线设一质点的运动轨迹就是抛物线y=Ax2，为此假设这质点的运动方程为：为此假设这质点的运动方程为：于是在抛物线上任一点于是在抛物线上任一点P处有处有那么那么又由图可见又由图可见vatanaxyP2021/8/11 星期三44vatanaxyP所以抛物线任一点所以抛物线任一点P处的曲率半径为处的曲率半径为2021/8/11 星期三452021/8/11 星期三46