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1、4.4反证法反证法路边苦李路边苦李 王戎王戎7 7岁时岁时,与小与小伙伴们外出游玩伙伴们外出游玩,看看到路边的李树上结满到路边的李树上结满了果子了果子.小伙伴们纷小伙伴们纷纷去摘取果子纷去摘取果子,只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动.有人问王戎为什么有人问王戎为什么?王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?你你认认为他的判为他的判断方法正确吗断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法他运用了怎样的推理方法?如果当时你在场，你会怎么办？如果当时
2、你在场，你会怎么办？反证法反证法反证法反证法反证法反证法小小伙伴伙伴问王戎问王戎:“这就怪了这就怪了!你又你又没有吃没有吃,怎么知道李子是苦的啊怎么知道李子是苦的啊?”王戎说王戎说:“如果李子是甜的如果李子是甜的,树长在路边树长在路边,李子早就没了！李子早就没了！李子现在还那么多李子现在还那么多,所以啊所以啊,肯定李子是苦的，不好吃肯定李子是苦的，不好吃!”反证法反证法在证明一个命题时在证明一个命题时,人们有时人们有时先假设命题不成立先假设命题不成立,从这样的假设出发从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛经过推理得出和已知条件矛盾盾,或者与定义或者与定义,公理公理,定理等定理等矛盾矛盾,从
3、而得出从而得出假设命题不成立是错误的假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确即所求证的命题正确.这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法反证法.经过直线外一点经过直线外一点,有且只有一条直线有且只有一条直线与已知与已知直直线平行线平行这与这与“_ _ _”矛盾矛盾.证明证明:假设假设_,_,那么那么_._.因为已知因为已知_,_,所以所以_ _ ,即求证的命题正确即求证的命题正确.所以过直线所以过直线l l2 2外一点外一点P,P,有有两条直线两条直线和和l l2 2平行平行,在同一平面内在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一如果一条直线和两条平行直线中的一条相交条相交,那么和另一条也
4、相交那么和另一条也相交.已知已知:直线直线l l1 1,l,l2 2,l,l3 3在同一平面内在同一平面内,且且l l1 1ll2 2,l,l3 3与与l l1 1相交相交于点于点P.P.求证求证:l l3 3与与l l2 2相交相交.l1l2l3Pl3与与l2 不不相交相交.l3 l2l1 l2假设假设推理推理矛盾矛盾假设不成立假设不成立命题成立命题成立一、提出假设一、提出假设二、推理论证二、推理论证三、得出矛盾三、得出矛盾四、结论成立四、结论成立以假设以假设为为条件条件，结合已知条件推理，结合已知条件推理，得出与得出与已知条件或是正确命题已知条件或是正确命题相矛盾相矛盾的结论的结论这与这与
5、“.”相矛盾相矛盾所以所以假设不成立，假设不成立，所求证的命题成立所求证的命题成立假设假设待证命题不成立，或是命题的待证命题不成立，或是命题的反面成立。反面成立。写出下列各结论的反面：写出下列各结论的反面：（1 1）a/ba/b；（2 2）a0a0；（3 3）b b是是正数；正数；（4 4）ababa0b b是是0 0或负数或负数a a不垂直于不垂直于b bab用用反证法反证法证明（填空）：证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于已知已知：如图，如图，是是的内角的内角求证：求证：，中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于60600
6、0证明证明：假设假设所求证的结论不成立，即所求证的结论不成立，即，则则度度这于这于矛盾矛盾所以假设，所以假设，所以，所求证的结论所以，所求证的结论成立成立三角形三角形三个三个内角内角的的和等于和等于不成立不成立相信自己行，你就行！相信自己行，你就行！求证求证:在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三如果两条直线都和第三条直线平行条直线平行,那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行.已知：如图，直线已知：如图，直线l l1 1,l,l2 2,l,l3 3在同一平面内在同一平面内,且且l l1 1ll2 2,l,l3 3 ll1 1l l3 3ll2 2求证：求证：l1l2l3平行线
7、的传递性平行线的传递性你会首先选择哪一种证明方法（直接证明还是反证法）？你会首先选择哪一种证明方法（直接证明还是反证法）？如果选择反证法，先怎样假设？如果选择反证法，先怎样假设？假设假设l l3 3ll2 2，即即l l3 3与与l l2 2相交相交求证求证:在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三如果两条直线都和第三条直线平行条直线平行,那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行.问题解决的四个基本步骤：问题解决的四个基本步骤：理解题意理解题意制定计划制定计划执行计划执行计划回顾回顾画出图形，写出已知求证画出图形，写出已知求证选择证明方法，找出证明思路选择证明方法，找出证明思路写
8、出证明过程写出证明过程比较两种证明方法的特点比较两种证明方法的特点假设l3l2，即l3与l2相交，记交点为P已知：已知：如图如图，直线直线l l1 1,l,l2 2,l,l3 3在同一平面内在同一平面内,且且l l1 1ll2 2,l,l3 3 l l1 1，l l3 3ll2 2求证：求证：而l1l2,l3 l1这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行平行”相矛盾，所以假设不成立，即l3l2证明：l1l3l2P已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3 l1，l3l2求证：l1l3l2 22l lP证明：作直线l l交直线
9、 l l 1 1 于点P。（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交中的一条相交，那么和另一条直线也相交）l l 1 1 l l 2 2，l l3 3 l l1 1（已知已知）l l 3 3 l l2 2（同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行）直线直线l l必定与直线必定与直线l l2 2,l l3 3相交相交 1=2=3(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)P87T2.已知：如图，直线l与l1,l2,l3都相交，且l1l3,l2l3。求证：12。12l1l2l3l用反证法证明：圆的两条不是直径用反证
10、法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 1 1由于由于P点点一定不是圆心一定不是圆心O，连结连结OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有 OPAB，OPCD，所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，这与垂都垂直，这与垂线性质矛盾。线性质矛盾。DPOBAC假设弦假设弦AB、CD被被P点
11、平分点平分,证明证明:连结连结 AD、BD、BC、AC,因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线形必是矩形，则其对角线AB、CD必是必是O的直径，这与已知条件矛盾。的直径，这与已知条件矛盾。证法二证法二所以结论所以结论“弦弦AB、CD不被不被P点平分点平分”成立。成立。探究与实践（2 2）若三点）若三点A A、B B、C C在一条直线上在一条直线上ABCP假设过同一条直线假设过同一条直线l l上的上的A A、B B、C C三三点可以作一个圆，设这个圆的圆心点可以作一个圆，设这个圆的
12、圆心为为P P。那么点那么点P P既在线段既在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线l l1 1上，上，又在线段又在线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线l l2 2上上l l1 1而而l l1 1l,ll,l2 2llll l2 2所以，假设错误所以，假设错误所以，过同一直线上的三点不能作圆所以，过同一直线上的三点不能作圆这种方法叫做这种方法叫做反证法反证法用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说）推理过程必须完整，否则不能说 明命
13、题的真伪性；明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。定推出的结果是错误的。(1)课本第课本第87页作业题页作业题(2)见作业本见作业本.发生在身边的例子发生在身边的例子:妈妈妈妈:小华小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华小华:不可能不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢呢!上述对话中上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么小华要告诉妈妈的命题是什么?他是如何推断该命题的正确性的他是如何推断该命题的正确性的?在你的日常生活中也有类似的例子吗在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一请举一至两个例子至两个例子.小芳全家没外出旅游小芳全家没外出旅游.