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1、第25讲立体几何与空间向量(理)12021/8/11 星期三1.点、线、面空间位置关系设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面,的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)线面平行:lauau=0a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直:laua=kua1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行:uvu=kva2=ka3,b2=kb3,c2=kc3.(4)面面垂直:uvuv=0a2a3+b2b3+c2c3=0.22021/8/11 星期三2.空间角(1)异面直线所成的角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则(2)直线与平面所成
2、的角设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,则32021/8/11 星期三(3)二面角如图,AB,CD是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小如图,n1,n2分别是二面角,的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足|cos|=|cos|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).42021/8/11 星期三题型一利用空间向量证明空间位置关系【例1】如图所示,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.(1)求证:EF平面PAB;(2)求证:平面PAD平面PDC.52021/8
3、/11 星期三【证明】以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),即EFAB.又AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB.62021/8/11 星期三又APAD=A,AP平面PAD,AD平面PAD,所以DC平面PAD.因为DC平面PDC,所以平面PAD平面PDC.【规律方法】向量法证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系;(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平
4、面的要素;(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量,再研究平行、垂直关系;(4)根据运算结果解释相关问题.72021/8/11 星期三变式训练一在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D平面ABD;(2)平面EGF平面ABD.证明:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),即B1DBA,B1DBD.又BA
5、BD=B,BA平面ABD,BD平面ABD,因此B1D平面ABD.82021/8/11 星期三即B1DEG,B1DEF.又EGEF=E,EG平面EGF,EF平面EGF,因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.92021/8/11 星期三题型二利用空间向量求空间角【例21】(2017全国卷)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.102021/8/11 星期三【解析】(1)证明:由题设可
6、得,ABDCBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又因为ABC是正三角形,所以BOAC.所以DOB为二面角DACB的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.112021/8/11 星期三122021/8/11 星期三设n=(x1,y1,z1)是平面DAE的法向量,132021/8/11 星期三142021/8/11 星期三【例2-2】(2019南昌重点中学联考)如图,四边形ABCD是矩形,沿对角线AC
7、将ACD折起,使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上.(1)求证:平面ACD平面BCD;152021/8/11 星期三【解析】(1)证明:如图,设点D在平面ABC内的射影为点E,连接DE,则DE平面ABC,所以DEBC.因为四边形ABCD是矩形,所以ABBC,所以BC平面ABD,所以BCAD.又ADCD,所以AD平面BCD,而AD平面ACD,所以平面ACD平面BCD.162021/8/11 星期三(2)以点B为原点,线段BC所在的直线为x轴,线段AB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=a,则AB=2a,所以A(0,-2a,0),C(-a,0,0).172021/8/1
8、1 星期三182021/8/11 星期三【规律方法】(1)利用空间向量求空间角的一般步骤:建立恰当的空间直角坐标系;求出相关点的坐标,写出相关向量的坐标;结合公式进行论证、计算;转化为几何结论.(2)求空间角应注意的三个问题:两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角,即cos=|cos|.直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值,注意函数名称的变化.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角.192021/8/11 星期三变式训练二1.(2019太原模拟)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE平面ABCD
9、,DFBE,且DF=2BE=2,EF=3.(1)证明:平面ACF平面BEFD;(2)若二面角AEFC是直二面角,求直线AE与平面ABCD所成角的正切值.202021/8/11 星期三解:(1)证明:四边形ABCD是菱形,ACBD.BE平面ABCD,BEAC.BDBE=B,AC平面BEFD.AC平面ACF,平面ACF平面BEFD.212021/8/11 星期三(2)设AC与BD的交点为O,由(1)得ACBD,分别以OA,OB为x轴和y轴,过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz,BE平面ABCD,BEBD,DFBE,DFBD,BD2=EF2-(DF-BE)2
10、=8,222021/8/11 星期三设m=(x1,y1,z1)是平面AEF的法向量,二面角AEFC是直二面角,232021/8/11 星期三242021/8/11 星期三2.(2019陕西模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AB,ABC=90,侧面A1ABB1底面ABC.(1)求证:AB1平面A1BC;(2)若AC=5,BC=3,A1AB=60,求二面角B-A1C-C1的余弦值.252021/8/11 星期三解:(1)证明:PA底面ABCD,AB底面ABCD,PAAB.又ADAB,PAAD=A,AB平面PAD.PD平面PAD,PDAB.E是PD的中点,AD=AP,AEPD.又A
11、EAB=A,PD平面ABE.262021/8/11 星期三建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,令AB=2,则B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),F(1,0,0),令z1=1,则m=(2,-1,1)为平面PFM的一个法向量.设平面BFM的法向量为n=(x2,y2,z2),272021/8/11 星期三282021/8/11 星期三题型三立体几何中的探索性问题【例3】(2016北京卷考)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PA(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;292021/8/11 星期三【解析】(1)证明:因为平面PAD
12、平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,ABAD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,PAAB=A,所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.302021/8/11 星期三由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz.312021/8/11 星期三设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
13、令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).322021/8/11 星期三【规律方法】利用空间向量巧解探索性问题(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.【提醒】探索线段上是否存在点时,注意三点共线条件的应用.332021/8/11 星期三变式训练三如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且
14、MD=NB=1,E为BC的中点.(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.342021/8/11 星期三解:(1)以D为坐标原点,以DA,DC,DM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.352021/8/11 星期三(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES平面AMN.连接AE,ES.362021/8/11 星期三1.(2018惠州三调)如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P在圆柱OQ的底面圆周上,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,侧面积为8 ,AOP=120.(1)求证
15、:AGBD;(2)求二面角P-AG-B的余弦值.372021/8/11 星期三解:建立如图所示的空间直角坐标系,作PEAB,垂足为E,OP=OA=2,AOP=120,EOP=60,PE=,OE=1,AE=AO+OE=3.AGBD.382021/8/11 星期三392021/8/11 星期三2.(2018陕西模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AB,ABC=90,侧面A1ABB1底面ABC.(1)求证:AB1平面A1BC;(2)若AC=5,BC=3,A1AB=60,求二面角B-A1C-C1的余弦值.402021/8/11 星期三解:(1)证明:在侧面A1ABB1中,A1A=AB,
16、四边形A1ABB1为菱形,AB1A1B.侧面A1ABB1底面ABC,ABC=90,平面A1ABB1平面ABC=AB,CB侧面A1ABB1.AB1平面A1ABB1,CBAB1.又A1BBC=B,AB1平面A1BC.412021/8/11 星期三(2)在RtABC中,AC=5,BC=3,AB=4,在菱形A1ABB1中,A1AB=60,A1AB为正三角形.如图,以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点,OA1所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,过点O且与BC平行的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系,422021/8/11 星期三432021/8/11 星期三3.(2018成都一诊)如图,在正方形
17、ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF分别沿DE,DF,EF折起,使点A,C重合于点B(该点记为P),如图所示.(1)若=2,求证:GR平面PEF;的值;若不存在,请说明理由.442021/8/11 星期三解:(1)证明:由题意,可知PE,PF,PD三条直线两两垂直.PD平面PEF.在图中,E,F分别是AB,BC的中点,G为BD的中点,EFAC,GD=GB=2GH.在PDH中,GRPD.GR平面PEF.(2)由题意,分别以PF,PE,PD所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.设PD=4,则P(0,0,0),F(2,0,0),E(0,2,0),D(0,0
18、,4),452021/8/11 星期三462021/8/11 星期三(1)求证:A1D平面BCED;(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60?若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由.1.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使二面角A1-DE-B为直二面角,连接A1B,A1C,如图2.472021/8/11 星期三所以AD=1,AE=2.在ADE中,DAE=60,由余弦定理得从而AD2+DE2=AE2,所以ADDE.折起后有A1DDE,因为二面角A1-DE-B是直二面角,所以平面A1DE平面BCED,又平面A1DE平面BCED=DE,A1DDE,所以A1D平面
19、BCED.482021/8/11 星期三(2)存在.理由:由(1)可知EDDB,A1D平面BCED.以D为坐标原点,分别以DB,DE,DA1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设PB=2a(02a3),作PHBD于点H,连接A1H,A1P,492021/8/11 星期三502021/8/11 星期三2.(2018湖北五校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,(1)求证:ABPC;(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45,如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.51202
20、1/8/11 星期三解:(1)证明:如图,由已知得四边形ABCD是直角梯形,可得AB=AC=4,所以BC2=AB2+AC2,所以BAC=90,即ABAC,因为PA平面ABCD,所以PAAB,又PAAC=A,所以AB平面PAC,所以ABPC.522021/8/11 星期三(2)存在,理由如下:取BC的中点E,则AEBC,以A为坐标原点,AE,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,532021/8/11 星期三又m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量,542021/8/11 星期三一、选择题1.(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角
21、形的个数为()A.1B.2 C.3D.4C 552021/8/11 星期三【解析】由三视图可得四棱锥PABCD,在四棱锥PABCD中,PD=2,AD=2,CD=2,AB=1,则在四棱锥中,直角三角形有:PAD,PCD,PAB共三个,故选C.562021/8/11 星期三2.(2019全国卷文理)设,为两个平面,则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面B【解析】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是/的充分条件,由面面平行性质定理知,若/,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是/的必要条件,故选B.5
22、72021/8/11 星期三3.(201全国卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()C【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中,连接BC1,根据线面角的定义可知AC1B=30,582021/8/11 星期三4.(2018全国卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()C【解析】在正方体ABCDA1B1C1D1中,CDAB,所以异面直线AE与CD所成角为EAB,设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,故选C.592021/8/11 星期三5
23、.(2019全国卷理)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,PB的中点,CEF=90,则球O的体积为()D【解析】解法一:PA=PB=PC,ABC为边长为2的等边三角形,P-ABC为正三棱锥,PBAC,又E,F分别为PA,AB的中点,EF/PB,EFAC,又EFCE,CEAC=C,602021/8/11 星期三解法二:设PA=PB=PC=2x,E,F分别为PA,AB中点,612021/8/11 星期三二、填空题6.(2018江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.【解析】由图可知,该多面
24、体为两个全等正四棱锥的组合体,正四棱锥的高为1,底面正 622021/8/11 星期三7.(2018天津卷)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.632021/8/11 星期三【解析】如图所示,连结A1C1,交B1D1于点O,很明显A1C1平面BDD1B1,642021/8/11 星期三8.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30,若SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.8【解析】如下图所示,SAO=30,ASB=90,652021/8/11 星期三9.(2019全国卷文)已知ACB=90,P为平
25、面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为 ,那么P到平面ABC的距离为.【解析】作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO平面ABC,连CO,知CDPD,CDPO,PDOD=D,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.662021/8/11 星期三10.(2019全国卷文理)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此
26、正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.26 672021/8/11 星期三【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面,计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE交于点G,延长BC交正方体棱于H,由半正多面体对称性可知,BGE为等腰直角三角形,682021/8/11 星期三三、解答题11.(2018江苏卷)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1。求证:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.692021/8/11 星期三证明:(1)在平行六
27、面体ABCDA1B1C1D1中,ABA1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B.又因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.702021/8/11 星期三12.(2018北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,
28、PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.712021/8/11 星期三证明:(1)PA=PD,且E为AD的中点,PEAD.底面ABCD为矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD为矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PD平面PAB,平面PAB平面PCD.722021/8/11 星期三(3)如图,取PC中点G,连接FG,GD.F,G分别为PB和PC的中点,PGBC,且FG=BC.四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,EDBC,DE=BC,EDFG,且ED=FG,四边
29、形EFGD为平行四边形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.732021/8/11 星期三13.(2018全国卷)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90,以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.742021/8/11 星期三解:(1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,且ACAD=A,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE
30、平面ABC,QE=1.因此,三棱锥QABP的体积为752021/8/11 星期三14.(2018全国卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.762021/8/11 星期三由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.772021/8/11 星期三15.(2019全国卷文)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的
31、底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.782021/8/11 星期三解:(1)连接ME,B1C,M,E分别为BB1,BC中点,ME为B1BC的中位线,ME ND,四边形MNDE为平行四边形,MN/DE,又MN平面C1DE,DE平面C1DE,MN/平面C1DE.792021/8/11 星期三(2)在菱形ABCD中,E为BC中点,所以DEBC,802021/8/11 星期三15.(2019全国卷理)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=
32、60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.812021/8/11 星期三解:(1)证明:连接ME,B1C,M,E分别为BB1,BC中点,ME为B1BC的中位线ME ND,四边形MNDE为平行四边形,MN/DE,又MN平面C1DE,DE平面C1DE,MN/平面C1DE.822021/8/11 星期三(2)设ACBD=O,A1C1B1D1=O1.由直四棱柱性质可知:OO1平面ABCD.四边形ABCD为菱形,ACBD.则以O为原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系:四边形ABCD为菱形且BAD=60,BAD为等边三角形,DF
33、AB,又AA1平面ABCD,DF平面ABCD,DFAA1,DF平面ABB1A1,即DF平面AMA1,832021/8/11 星期三842021/8/11 星期三16.(2019全国卷文)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.852021/8/11 星期三解:(1)证明:因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C1平面ABB1A1;BE平面ABB1A1,所以B1C1BE,又BEEC1,B1C1EC1=C1,且EC1平面EB1C1,B1C1平面
34、EB1C1,所以BE平面EB1C1;(2)设长方体侧棱长为2a,则AE=A1E=a,862021/8/11 星期三16.(2019全国卷理)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.872021/8/11 星期三解:(1)证明:因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以B1C1侧面A1B1BA,而BE平面A1B1BA,所以BEB1C1,又BEEC1,B1C1EC1=C1,B1C1,EC1平面EB1C1,因此BE平面EB1C1;882021/8/11 星期三设n=(x2,y2,z2)是平面ECC1的法向量,892021/8/11 星期三902021/8/11 星期三