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1、第24讲空间几何体的平行与垂直1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 3.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 题型一空间线面位置关系的判定与异面直线所成的角【例1-1】(1)设,是两个不同的平面,m是直线且m,“m”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(教材改编)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m()A.若l,则B.若,则lmC.若l,则D.若,则lm(3)设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:若m,n,则mn
2、;若,m,则m;若=n,mn,m,则m;若,则.其中是真命题的是.(填上序号)【解析】(1)当m时,过m的平面与可能平行也可能相交,因而m/;当时,内任一直线与平行,因为m,所以m.综上知,“m”是“”的必要而不充分条件.(2)l,l,(面面垂直的判定定理),故A正确.(3)对于,mn或m,n异面,故错误;易知正确;对于,m或m,故错误;对于,或与相交,故错误.【答案】(1)B(2)A(3)【例1-2】(1)(2018全国卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,B
3、B1=1,P是AB的中点,则异面直线BC1与PD所成的角等于()A.30B.45C.60D.90【解析】(1)如图,连接BE,因为ABCD,所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角,即EAB.不妨设正方体的棱长为2,则CE=1,BC=2,由勾股定(2)取CD的中点Q,连接BQ,C1QP是AB的中点,BQPD,C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角.在C1BQ中,C1B=BQ=C1Q=,C1BQ=60,即异面直线BC1与PD所成的角等于60,故选C.【答案】(1)C(2)C【规律方法】用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;(2)二
4、证:证明作出的角是异面直线所成的角;(3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.变式训练一1.已知m,n表示不同的直线,表示不同的平面,下列命题为真的是()A.若m,mn,则nB.若m,则mC.若mn,n,则mD.若,mn,m,则nD【解析】当m,mn时,n与的位置关系有n,或n或n与相交,故A不正确.当m,时,m与的位置关系有m或m或m与相交,故B不正确.当mn,n时,有m或m,故C不正确.当,mn,m时,必有n,故D正确.2.已知直线a和平面,=l,a,a,且a在,内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关
5、系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面D【解析】依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为(把你认为正确的结论的序号都填上).【解析】直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错误.4.(1)已知P是ABC所在平面外的一点,M,N分别是AB、PC的中点,若MN=BC=4,PA=4 ,则异面直线PA与MN所成角
6、的大小是()A.30B.45C.60D.90A(2)如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.【解析】(1)取AC的中点O,连接OM,ON,则 ONM=30即异面直线PA与MN所成角的大小为30,故选A.(2)取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD.题型二空间平行、垂直关系的证明 BC,DC,SC的中点
7、,求证:(1)直线EG平面BDD1B1;(2)平面EFG平面BDD1B1.证明:(1)如图,连接SB,E,G分别是BC,SC的中点,EGSB.又SB平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD,F,G分别是DC,SC的中点,FGSD.又SD平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,由(1)知,EG平面BDD1B1,且EG平面EFG,FG平面EFG,EGFG=G,平面EFG平面BDD1B1.【例2-2】如图所示,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.求证:(1)AF平面BCE;(2)平面
8、BCE平面CDE.证明:(1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG.F为CD的中点,GFDE且GF=DE.AB平面ACD,DE平面ACD,ABDE,GFAB.又AB=DE,GF=AB.四边形GFAB为平行四边形,AFBG.AF平面BCE,BG平面BCE,AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形,F为CD的中点,AFCD.DE平面ACD,AF平面ACD,DEAF.又CDDE=D,故AF平面CDE.BGAF,BG平面CDE.BG平面BCE,平面BCE平面CDE.【规律方法】(1)平行证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平
9、行.应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.利用平面几何知识证明线线平行的主要方法:有中点,找中点,连中线,证平行;构造三角形的中位线;构造平行四边形条件.(2)垂直 变式训练二1.如图,四棱锥P-ABCD中,ADBC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:GH平面PAD.证明:(1)连接EC,因为ADBC,BC=AD,所以BC AE,所以四边形ABCE是平行四边形,所以O为AC的中点.又因为F是PC的中点,所以FOAP,因为FO平面BEF,AP
10、平面BEF,所以AP平面BEF.(2)连接FH,OH,因为F,H分别是PC,CD的中点,所以FHPD,所以FH平面PAD.又因为O是AC的中点,H是CD的中点,所以OHAD,所以OH平面PAD.又FHOH=H,所以平面OHF平面PAD.又因为GH平面OHF,所以GH平面PAD.2.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2 .点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.解:(1)证明:因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=
11、GH,所以GHBC.同理可证EFBC,因此GHEF.(2)如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,且GK底面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中
12、点.证明:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.因为ACCD,PAAC=A,所以CD平面PAC.而AE平面PAC,所以CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知AECD,且PCCD=C,所以AE平面PCD.而PD平面PCD,所以AEPD.因为PA底面ABCD,所以PAAB.又因为ABAD且PAAD=A,所以AB平面PAD,而PD平面PAD,所以ABPD.又因为ABAE=A,所以PD平面ABE.4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已
13、知ACBC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1CBC1=E.求证:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.证明:(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACCC1.又因为ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1,又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因为AC平面
14、B1AC,B1C平面B1AC,ACB1C=C,所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC,所以BC1AB1.题型三平面图形的折叠问题【例3】如图(1),在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图(2).(1)(2)(1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?请说明理由.证明:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DEBC.又因为DE平面A1CB,BC平面A1CB,所以DE平面A1CB.证明:(2)由题图(1)得ACBC且DEBC,
15、所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DEA1F.又因为A1FCD,所以A1F平面BCDE,又BE平面BCDE,所以A1FBE.【解析】(3)线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQBC.又因为DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知,DE平面A1DC,所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ.【规律方法】解决由平面图形翻折为空间图形问题的
16、关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况,根据翻折的过程,把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来,这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.变式训练三 AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图1图2(1)证明:CD平面A1OC;解:(1)证明:在题图1中,连接EC(图略),即在题图2中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC.又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)可得A1OBE,所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1-BCDE的
17、高.题型四空间中的平行、垂直综合问题【例4】(2015山东卷)如图,三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.证明:(1)方法一如图,连接DG,设CDGF=M,连接MH.AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.
18、又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.又因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)连接HE,因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CFHE.又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.【规律方法】线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系,它们之间可以相互转化,其转化关系如下:变式训练四1.(2017山东卷)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去
19、三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C,又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,所
20、以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.2.(2017北京卷)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.解:(1)证明:因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,所以BD平面P
21、AC.所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.题型五空间中的平行、垂直探索性问题【例5】如图,四棱锥PABCD中,ABCD,AB=2CD,E为PB的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD平面CEF?若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.证明:(1)如图所示,取PA的中点H,连接EH,DH,因为E为PB的中点,所以EHCD,EH=CD,因此四边形DCEH是平行四边形,所以CEDH,又DH平面PAD,CE平面PAD,所以CE平面
22、PAD.又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形,所以CFAD,又CF平面PAD,所以CF平面PAD,由(1)可知CE平面PAD,又CECF=C,故平面CEF平面PAD,故存在AB的中点F满足要求.【规律方法】解决探索性问题的策略方法(1)根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设.(2)按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发“要使成立”“只需使成立”.变式训练五(1)若F为BB1的中点,判断AC1与平面DEF是否平行?若平行,请给予证明,若不平行,说明理由;解:(1)法一:连接B1C,BC1交于点G,连
23、接DG,FG,则DGAC1,因为DG平面GDF,AC1平面GDF,则AC1平面GDF.由于平面GDF平面DEF=DF,故AC1与平面DEF不可能平行.法二:连接B1C,BC1交于点G,连接DG,FG,则DGAC1,而DG平面DEF,且DG与平面DEF交于点D,故AC1与平面DEF不可能平行.(2)假设点F存在,由1.若直线a平面,直线b直线a,点Ab且A,则b与的位置关系是()A.b=AB.bC.b或bD.bD【解析】由a,bab或b,又b过内一点,故b.2.(2019长春模拟)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n
24、,则mD.若mn,n,则mC【解析】A中,由mn,n可得m或m与相交或m,错误;B中,由m,可得m或m与相交或m,错误;C中,由m,n可得mn,又n,所以m,正确;D中,由mn,n,可得m或m与相交或m,错误.3.设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内,直线b在平面内,且bm,则“ab”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B【解析】因为,bm,所以b,又直线a在平面内,所以ab;但直线a,m不一定相交,所以“ab”是“”的必要不充分条件,故选B.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的
25、位置关系是()A.相交 B.异面C.平行 D.垂直A【解析】如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.5.已知l,m,n为不同的直线,为不同的平面,则下列结论正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若=l,m,m,则mlD.若=m,=n,lm,ln,则lC【解析】A.m,n可能的位置关系为平行,相交或异面,故A错误;B.根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误;C.根据线面平行的性质可知C正确;D.若mn,根据线面垂直的判定可知D错误,故选C.6.已知ABCD为空间四边形,AB=CD,AD=BC,ABAD,M,
26、N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与()A.AC,BD之一垂直B.AC,BD都垂直C.AC,BD都不垂直D.AC,BD不一定垂直B【解析】AD=BC,AB=CD,BD=BD,ABDCDB,连接AN,CN,则AN=CN.在等腰ANC中,由M为AC的中点知MNAC.同理可得MNBD.7.(2019黄山模拟)E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合),BD1平面B1CE,则()A.BD1CEB.AC1BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC1D【解析】如图,设B1CBC1=O,可得平面D1BC1平面B1CE=EO,BD1平面B1CE,根据线面平行的性质可得D1BE
27、O,O为B1C的中点,E为C1D1中点,D1E=EC1,故选D.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是上底面A1B1C1D1上一点,且PQ平面AA1B1B,则线段PQ的长的最小值为()A【解析】由PQ平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上,易知点Q在A1D1,B1C1中点的连线MN上,故PQ的最小值为PM=AA1=1.9.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.平行四边形【解析】平面ABFE平面DCGH,又平面EFGH平面ABFE=EF,平面EFGH平面DCGH=HG,EFHG.
28、同理EHFG,四边形EFGH的形状是平行四边形.10.如图,在三棱锥S-ABC中,已知点D,E,F分别为棱AC,SA,SC的中点.(1)求证:EF平面ABC;(2)若SA=SC,BA=BC,求证:平面SBD平面ABC.【证明】(1)EF是SAC的中位线,EFAC.又EF平面ABC,AC平面ABC,EF平面ABC.(2)SA=SC,D是AC的中点,SDAC.BA=BC,D是AC的中点,BDAC.又SD平面SBD,BD平面SBD,SDDB=D,AC平面SBD.又AC平面ABC,平面SBD平面ABC.1.在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列结论中,错误的是()A.ACBDB.AC截面P
29、QMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45C【解析】因为截面PQMN是正方形,所以MNPQ,则MN平面ABC,由线面平行的性质知MNAC,则AC截面PQMN,同理可得MQBD,又MNQM,则ACBD,故A,B正确.又因为BDMQ,所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,即为45,故D正确.2.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABCF.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.【解析】如图,过D作DGAF,垂足为G,连接GK.平面ABD平
30、面ABCF,又DKAB,DK平面ABCF,DKAF.DKDG=D,AF平面DKG,AFGK.法一:易知当F接近点E时,K接近AB的中点,当F接近点C时,K接近AB的四等分点,法二:即在平面图形中,D,G,K三点共线,设FAK=,则ADK=,AK=ADtan=tan,(1)求证:AP平面ABCE;(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:ABl.【证明】(1)在CDE中,在四棱锥P-ABCE中,连接AC,AE=2,AEC=60,在PAE中,PA2+AE2=PE2,即APAE.同理,APAC.而AC平面ABCE,AE平面ABCE,ACAE=A,故AP平面ABCE.(2)ABCE,且CE平面
31、PCE,AB平面PCE,AB平面PCE.又平面PAB平面PCE=l,ABl.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=2BC=2AA1=4,ACB=60,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)证明:平面AEB平面BB1C1C;(2)证明:C1F平面ABE;(3)设P是BE的中点,求三棱锥P-B1C1F的体积.解:(1)证明:在ABC中,AC=2BC=4,ACB=60,AB=2 ,AB2+BC2=AC2,ABBC.由已知ABBB1,且BCBB1=B,可得AB平面BB1C1C.又AB平面ABE,平面ABE平面BB1C1C.(2)证明:取AC的中点M,连接C1M,FM,在ABC中,FMAB,而FM平面ABE,AB平面ABE,FM平面ABE,在矩形ACC1A1中,E,M分别是A1C1,AC的中点,C1MAE,而C1M平面ABE,AE平面ABE,C1M平面ABE,C1MFM=M,平面ABE平面FMC1,又C1F平面FMC1,故C1F平面ABE.(3)取B1C1的中点H,连接EH,又AB平面BB1C1C,EH平面BB1C1C,P是BE的中点,