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1、第八章立体几何12021/8/11 星期三第23讲空间几何体的三视图及表面积与体积22021/8/11 星期三1.柱体、锥体、台体、球的结构特征(1)多面体的结构特征 32021/8/11 星期三(2)旋转体的形成 42021/8/11 星期三2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式52021/8/11 星期三(2)空间几何体的表面积与体积公式 62021/8/11 星期三3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法基本要求:长对正,高平齐,宽相等.画法规则
2、:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线.4.直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴,y轴的夹角为45(或135),z轴与x轴和y轴所在平面垂直.原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.72021/8/11 星期三5.求空间几何体体积的常用方法公式法:直接根据相关的体积公式计算.等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的
3、分割或补形,转化为可计算体积的几何体.82021/8/11 星期三题型一空间几何体的三视图(高频考点)空间几何体的三视图是每年高考的热点,可以单独考查,也常与表面积、体积综合考查.主要命题角度有:已知几何体,识别三视图;已知三视图,判断几何体;已知几何体的某些视图,判断其他视图.92021/8/11 星期三【例1】(1)(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()102021/8/11 星期三(2)如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是(用代表图形)()A.B.C.D.112021/8/11
4、 星期三【解析】(1)由三视图还原为如图所示的四棱锥A-BCC1B1,从图中易得最长的棱长为(2)正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是;侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是;俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是,故选B.【答案】(1)B(2)B122021/8/11 星期三【规律方法】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线,不能看到的部分用虚
5、线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已知的一部分视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.132021/8/11 星期三变式训练一1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为()AB C D C 142021/8/11 星期三【解析】过点A,E,C1的截面为AEC1F
6、,如图,则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形,故选C.152021/8/11 星期三2.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台A【解析】因为正视图和侧视图都为三角形,可知几何体为锥形,又因为俯视图为三角形,故该几何体为三棱锥.162021/8/11 星期三3.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图,则该几何体的侧视图为()A B CD B【解析】由三视图的画法规则:长对正、高平齐、宽相等可知,选项B正确.172021/8/11 星期三题型二空间几何体的直观图【例2】(1)已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积为()(2)
7、如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6 cm,OC=2 cm,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形182021/8/11 星期三【解析】(1)如图所示的实 际图形和直观图,192021/8/11 星期三【答案】(1)D(2)C 202021/8/11 星期三【规律方法】(1)用斜二测画法画直观图的技巧:在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系:对
8、于几何体的直观图,除掌握斜二测画法外,记住原图形面积S与直观图面积S之间的关系S=S,能更快捷地进行相关问题的计算.212021/8/11 星期三变式训练二如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45,腰和上底长均为1的等腰梯形,则该平面图形的面积为.222021/8/11 星期三题型三空间几何体的表面积和体积【例3】(1)从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图,则该几何体的体积为()232021/8/11 星期三(2)(2018太原模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()242021/8/11 星期三【解析】(1)由
9、三视图知,该几何体为四棱锥B1-A1BCD1,如图所示,(2)由几何体的三视图知,该几何体为一个组合体,其中下部是底面直径为2,高为2的圆柱,上部是底面直径为2,高为1的圆锥的四分之一,所以该几何体的表面积为252021/8/11 星期三【答案】(1)C(2)D 【规律方法】求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法:对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解.(2)割补法:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.(3)等体积法:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面
10、积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积.262021/8/11 星期三变式训练三1.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A 272021/8/11 星期三【解析】由三视图可得如图所示的几何体,是棱长为2的正方体去掉对角上两个小三棱锥,故该多面体的表面积为S=622-282021/8/11 星期三2.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为()C【解析】由三视图可知,四棱锥的底面是边长为1的正方形,高为1,其体积 292
11、021/8/11 星期三3.(2017全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.36 B 302021/8/11 星期三【解析】由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的体积V=3214=63.故选B.312021/8/11 星期三4.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A322021/8/11 星期三题型四球与空间几何体的接、切问题(高频考点)与球相关的
12、切、接问题是高考命题的热点,也是难点、易失分点,命题角度多变.主要命题角度有:外接球;内切球.考法一外接球【例4-1】(1)(2017全国卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()(2)(2018全国卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9 ,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()【答案】(1)B(2)B 332021/8/11 星期三【解析】(1)设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.342021/8/11 星期三
13、考法二内切球【例4-2】已知棱长为a的正四面体,则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为.【规律方法】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.352021/8/11 星期三变式训练四 1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若
14、AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()C【解析】由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.362021/8/11 星期三2.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SA平面ABC,SA=2 ,AB=1,AC=2,BAC=60,则球O的表面积为()A.4B.12C.16 D.64C【解析】在ABC中,BC2=AB2+AC2-2ABACcos 60=3,AC2=AB2+BC2,即ABBC,又SA平面ABC,故球O的表面积为422=16.372021/8/11 星期三3.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,ABC,ACD,ABD的面积分别为【解析】
15、如图,以AB,AC,AD为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球,三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长.382021/8/11 星期三4.如图,直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()C【解析】由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为截面圆的直径,BAC=90,ABC的外接圆圆心N位于BC的中点,同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点.392021/8/11 星期三1.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()D【解析】根据
16、几何体的结构特征进行分析即可.402021/8/11 星期三2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为 ,则该几何体的俯视图可以是()A B C D C 412021/8/11 星期三【解析】由正视图和侧视图及体积易得几何体是四棱锥P-ABCD,其中ABCD是边长为 422021/8/11 星期三3.已知正四棱锥的底面边长为2a,其侧视图如图所示.当正视图的面积最大时,该正四棱锥的表面积为()B 432021/8/11 星期三【解析】由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示,其正视图与侧视图相同,设棱锥的 442021/8/1
17、1 星期三4.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是()【解析】由三视图可知,该几何体是两个同底的半圆锥,其中底的半径为1,高为 D 452021/8/11 星期三5.三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,SA=AB=BC=1,则球O的表面积为()C【解析】如图,ABBC,AC是ABC所在截面圆的直径,又SA平面ABC,SAC所在的截面圆是球的大圆,SC是球的一条直径.462021/8/11 星期三6.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),ABC=45,AB=A
18、D=1,DCBC,则这块菜地的面积为.472021/8/11 星期三【解析】如图,在直观图中,过点A作AEBC,垂足为E,则在RtABE中,AB=1,ABE=45,482021/8/11 星期三7.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为cm.13【解析】如图,过点A作ACOB,交OB于点C.在RtABC中,AC=12 cm,BC=8-3=5(cm).492021/8/11 星期三502021/8/11 星期三9.已知某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为.母线长为2的圆锥的一半,其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的
19、面积之和.512021/8/11 星期三10.某几何体的三视图如图所示.(1)判断该几何体是什么几何体?(2)画出该几何体的直观图.522021/8/11 星期三【解析】(1)该几何体是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何体.(2)直观图如图所示.532021/8/11 星期三AEF,则截面AEF的周长的最小值为.6【解析】沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内,如图,则AA即为截面AEF周长的最小值,且AVA=340=120.在VAA中,由余弦定理可得AA=6,故答案为6.542021/8/11 星期三2.已知矩形ABCD的面积为8,当矩形周长最小时,沿对角线AC把ACD折起,则三棱
20、16 2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为2的球面上,这个球的表面积是422=16.552021/8/11 星期三3.(2018福州综合质量检测)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上,PC为该球的直径,ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥P-ABC的体积为 ,则此三棱锥的外接球的表面积为()D【解析】依题意,记三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,半径为R,点P到平面ABC的562021/8/11 星期三4.如图,在RtABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EFBC交AC于点F,将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合),使得PEB=30.(1)求证:EFPB;572021/8/11 星期三(1)【证明】EFBC且BCAB,EFAB,即EFBE,EFPE.又BEPE=E,EF平面PBE,又PB平面PBE,EFPB.(2)解:设BE=x,PE=y,则x+y=4.当且仅当x=y=2时,SPEB的面积最大.此时,BE=PE=2.由(1)知EF平面PBE,平面PBE平面EFCB,在平面PBE中,作POBE于O,则PO平面EFCB.582021/8/11 星期三即PO为四棱锥PEFCB的高.592021/8/11 星期三602021/8/11 星期三