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1、1.2充分条件与必要条件第1课时充分条件与必要条件问题问题引航引航1.1.充分条件、必要条件的定义是什么充分条件、必要条件的定义是什么?2.2.如何判断如何判断p p是是q q的充分条件的充分条件,q,q是是p p的必要条的必要条件件?充分条件、必要条件充分条件、必要条件(1)(1)前提前提:“若若p,p,则则q q”形式的命题为形式的命题为_._.(2)(2)条件条件:p:pq.q.(3)(3)结论结论:p:p是是q q的的_条件条件,q,q是是p p的的_条件条件.真命题真命题充分充分必要必要1.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”,错误的打错误的打“”)(1)(1)若若p p是是q q
2、的必要条件的必要条件,则则q q是是p p的充分条件的充分条件.(.()(2)(2)若若p p是是q q的充分条件的充分条件,则则p p是是q q的充分条件的充分条件.(.()(3)(3)“两角不相等两角不相等”是是“两角不是对顶角两角不是对顶角”的必要条件的必要条件.(.()【解析解析】(1)(1)正确正确.若若p p是是q q的必要条件的必要条件,即即p p q,q,所以所以q q是是p p的充分的充分条件条件.(2)(2)错误错误.若若p p是是q q的充分条件的充分条件,即即p p q,q,其逆否命题为其逆否命题为p p q,q,所以所以p p是是q q的必要条件的必要条件.(3)(3
3、)错误错误.“对顶角相等对顶角相等”的逆否命题为的逆否命题为“不相等的两个角不是不相等的两个角不是对顶角对顶角”,所以所以“两角不相等两角不相等”是是“两角不是对顶角两角不是对顶角”的充分的充分条件条件.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)若若p p是是q q的充分条件的充分条件,q,q是是r r的充分条件的充分条件,则则p p是是r r的的条条件件.(2)(2)“a0,b0a0,b0”是是“ab0ab0”的的条件条件.(3)(3)“若若p,p,则则q q”的逆命题为真的逆命题为真,则则p p是是q
4、q的的条件条件.【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知p p q,qq,q r,r,故故p p r,r,所以所以p p是是r r的充分条件的充分条件.答案答案:充分充分(2)(2)当当a0,b0a0,b0时时,显然显然ab0ab0成立成立,故故“a0,b0a0,b0”是是“ab0ab0”的的充分条件充分条件答案答案:充分充分(3)(3)因为因为“若若p,p,则则q q”的逆命题为真的逆命题为真,即即“若若q,q,则则p p”为真为真,所以所以q q p,p,即即p p是是q q的必要条件的必要条件.答案答案:必要必要 【要点探究要点探究】知识点知识点 充分条件与必要条件充分条件与必要条件1.
5、1.对充分条件的理解对充分条件的理解充分条件是某一个结论成立应具备的条件充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件当命题具备此条件时时,就可以得出此结论就可以得出此结论;或要使此结论成立或要使此结论成立,只要具备此条件就只要具备此条件就足够了足够了,当命题不具备此条件时当命题不具备此条件时,结论也有可能成立结论也有可能成立.例如例如,x=6,x=6x x2 2=36,=36,但是但是,当当x6x6时时,x,x2 2=36=36也可以成立也可以成立,所以所以“x=6x=6”是是“x x2 2=36=36成立成立”的充分条件的充分条件.2.2.对必要条件的两点说明对必要条件的两点说明(
6、1)(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结真命题的条件是结论成立的充分条件论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件但不一定是结论成立的必要条件;假命题的假命题的条件不是结论成立的充分条件条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条但有可能是结论成立的必要条件件.(2)(2)“p p是是q q的必要条件的必要条件”的理解的理解:推出关系为推出关系为q qp,p,若有若有q,q,则必则必须有须有p;p;而具备了而具备了p,p,则不一定有则不一定有q.q.【微思考微思考】(1)(1)若若p p是是q q的充分条件的充分条件,p,p
7、是惟一的吗是惟一的吗?提示提示:不一定惟一不一定惟一,凡是能使凡是能使q q成立的条件都是它的充分条件成立的条件都是它的充分条件,如如x3x3是是x0 x0的充分条件的充分条件,x5,x10,x5,x10等都是等都是x0 x0的充分条件的充分条件.(2)(2)“若若p,p,则则q q”为真命题为真命题,则则p p是是q q的什么条件的什么条件?提示提示:“若若p,p,则则q q”为真命题为真命题,则其逆否命题则其逆否命题“若若q,q,则则p p”也为也为真命题真命题,即即q q p,p,故故p p是是q q的必要条件的必要条件.【即时练即时练】1.1.已知已知A A B,B,则则“xAxA”是
8、是“xBxB”的的条件条件,“xBxB”是是“xAxA”的的条件条件.2.2.已知已知p,qp,q都是都是r r的必要条件的必要条件,s,s是是r r的充分条件的充分条件,q,q是是s s的充分条件的充分条件,那么那么:(1)s(1)s是是q q的什么条件的什么条件?(2)p(2)p是是q q的什么条件的什么条件?【解析解析】1.1.因为因为A A B,B,由子集的定义知由子集的定义知xAxA xB,xB,故故“xxA A”是是“xBxB”的充分条件的充分条件;“xBxB”是是“xAxA”的必要条件的必要条件.答案答案:充分必要充分必要2.(1)2.(1)因为因为q q s,ss,s r r
9、q,q,所以所以s s是是q q的充分也是必要条件的充分也是必要条件.(2)(2)因为因为q q s s r r p,p,所以所以p p是是q q的必要条件的必要条件.【题型示范题型示范】类型一类型一 充分条件与必要条件的判断充分条件与必要条件的判断【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014广州高二检测广州高二检测)已知已知:p:x1;q:x2;:p:x1;q:x2;则则p p是是q q的的()A.A.充分条件充分条件 B.B.必要条件必要条件C.C.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 D.D.以上答案均不正确以上答案均不正确(2)(2)下列各题中下列各题中,p,p是是q q的什
10、么条件的什么条件?p:=;q:cos=;p:(x+1)(x-2)=0;q:x+1=0.p:=;q:cos=;p:(x+1)(x-2)=0;q:x+1=0.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中“若若x1,x1,则则x2x2”,此命题正确吗此命题正确吗?逆命逆命题呢题呢?2.2.题题(2)(2)命题命题“若若=,=,则则cos=cos=”是真命题吗是真命题吗?逆命题呢逆命题呢?若实数若实数x x满足方程满足方程(x+1)(x-2)=0,(x+1)(x-2)=0,是否还一定满足方程是否还一定满足方程x+1=0?x+1=0?【探究提示探究提示】1.1.命题命题“若若x1,x1,则则x2x2
11、”不正确不正确,如如x=1.5x=1.5满足满足x1,x1,但但x2x2不成立不成立;逆命题是正确的逆命题是正确的.2.2.命题命题“若若=,=,则则cos=cos=”是真命题是真命题,但逆命题为假命但逆命题为假命题题.若若x x满足方程满足方程(x+1)(x-2)=0,(x+1)(x-2)=0,则则x x不一定满足方程不一定满足方程x+1=0;x+1=0;如如x=2x=2满足方程满足方程(x+1)(x-2)=0,(x+1)(x-2)=0,但不满足但不满足x+1=0.x+1=0.【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.因为因为x1 x2,x1 x2,但但x2x2 x1,x1,所以所以p q
12、,p q,但但q q p,p,所以所以p p是是q q的必要条件的必要条件,但但p p不是不是q q的充分条件的充分条件.(2)(2)因为因为=cos=,cos=,但但cos=,cos=,所以所以p p是是q q的充分条件的充分条件,但但p p不是不是q q的必要条件的必要条件.因为因为(x+1)(x-2)=0 x+1=0,(x+1)(x-2)=0 x+1=0,但但x+1=0 x+1=0(x+1)(x-2)=0,(x+1)(x-2)=0,所所以以p p是是q q的必要条件的必要条件,但但p p不是不是q q的充分条件的充分条件.【方法技巧方法技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法充分条件、必要
13、条件的两种判断方法(1)(1)定义法定义法:确定谁是条件确定谁是条件,谁是结论谁是结论.尝试从条件推结论尝试从条件推结论,若条件能推出结论若条件能推出结论,则条件为充分条件则条件为充分条件,否则就不是充分条件否则就不是充分条件.尝试从结论推条件尝试从结论推条件,若结论能推出条件若结论能推出条件,则条件为必要条件则条件为必要条件,否则就不是必要条件否则就不是必要条件.(2)(2)命题判断法命题判断法:如果命题如果命题:“若若p,p,则则q q”为真命题为真命题,那么那么p p是是q q的充分条件的充分条件,同时同时q q是是p p的必要条件的必要条件.如果命题如果命题:“若若p,p,则则q q”
14、为假命题为假命题,那么那么p p不是不是q q的充分条件的充分条件,同同时时q q也不是也不是p p的必要条件的必要条件.【变式训练变式训练】已知已知p:|x|=|y|,q:x=y,p:|x|=|y|,q:x=y,则则p p是是q q的什么条件的什么条件?【解题指南解题指南】解答本题的关键是判断命题解答本题的关键是判断命题“若若|x|=|y|,|x|=|y|,则则x=yx=y”及逆命题是否成立及逆命题是否成立,原命题成立原命题成立p p是是q q的充分条件的充分条件,逆命题逆命题成立成立p p是是q q的必要条件的必要条件.【解析解析】由于由于|x|=|y|x=y,|x|=|y|x=y,比如比
15、如x=-1,y=1x=-1,y=1时时,|x|=|y|,|x|=|y|,但但xy;xy;但但x=yx=y|x|=|y|,|x|=|y|,故故p q,p q,但但q q p.p.所以所以p p是是q q的必要条件的必要条件,但不是充分条件但不是充分条件.【补偿训练补偿训练】“m=m=”是直线是直线(m+2)x+3my+1=0(m+2)x+3my+1=0与与(m-2)x+(m-2)x+(m+2)y-3=0(m+2)y-3=0相互垂直的相互垂直的条件条件.【解析解析】当当m=m=时显然两直线垂直时显然两直线垂直,而当两直线垂直时需而当两直线垂直时需(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,(m+2)
16、(m-2)+3m(m+2)=0,即即m=m=或或m=-2,m=-2,因此因此,m=,m=是两直线垂直的充分条件但不是必要条件是两直线垂直的充分条件但不是必要条件.答案答案:充分条件但不是必要充分条件但不是必要类型二类型二 充分条件与必要条件的应用充分条件与必要条件的应用【典例典例2 2】(1)(1)若若“x x2 2+ax+2=0+ax+2=0”是是“x=1x=1”的必要条件的必要条件,则则a=a=.(2)(2)是否存在实数是否存在实数p,p,使使“4x+p04x+p0-x-20”的充分条件的充分条件?如果存在如果存在,求出求出p p的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由
17、.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中若中若x x2 2+ax+2=0+ax+2=0是是x=1x=1的必要条件的必要条件,那么那么x=1x=1是是x x2 2+ax+2=0+ax+2=0的什么条件的什么条件,x=1,x=1是方程是方程x x2 2+ax+2=0+ax+2=0的根吗的根吗?2.2.题题(2)(2)中若不等式中若不等式4x+p04x+p0-x-20的解集分别为的解集分别为A,B,A,B,那么根那么根据条件判断据条件判断A A与与B B有何关系有何关系?【探究提示探究提示】1.x=11.x=1是是x x2 2+ax+2=0+ax+2=0的充分条件的充分条件,且且x=1x=1
18、是方程是方程x x2 2+ax+2=0+ax+2=0的根的根.2.2.若若4x+p04x+p0-x-20的充分条件的充分条件,则则A A B.B.【自主解答自主解答】(1)(1)由由x x2 2+ax+2=0+ax+2=0是是x=1x=1的必要条件的必要条件,知知x=1x=1是方程是方程x x2 2+ax+2=0+ax+2=0的根的根,代入解得代入解得a=-3.a=-3.答案答案:-3-3(2)(2)由由x x2 2-x-20-x-20 x2x2或或x-1;4x+p0 x-1;4x+p0 x-,x-,当当-1,-1,即即p4p4时时,x-1,x-1 x-1x0,-x-20,故当故当p4p4时时
19、,4x+p0,4x+p0-x-20的充分条件的充分条件.【延伸探究延伸探究】本例本例(2)(2)中若换为中若换为:是否存在实数是否存在实数p p使使4x+p04x+p0 x-20的必要条件的必要条件?如果存在如果存在,求出求出p p的范围的范围,若不存在若不存在,请说明理请说明理由由.【解析解析】由于由于x x2 2-x-20 4x+p0 4x+p0,所以不存在实数所以不存在实数p p使使4x+p04x+p0-x-20的必要条件的必要条件.【方法技巧方法技巧】充分条件与必要条件的应用技巧充分条件与必要条件的应用技巧(1)(1)应用应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解可利用充分性与必要性
20、进行相关问题的求解,特别是特别是求参数的值或取值范围问题求参数的值或取值范围问题.(2)(2)求解步骤求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式然后构建满足条件的不等式(组组),),再进行求解再进行求解.【变式训练变式训练】(2014(2014赤峰高二检测赤峰高二检测)已知已知“x xk”k”是是“1”1”的充分条件的充分条件,则则k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由由 1 1得得,0,0,即即 0 0，解得，解得x x2 2或或x x-1.-1.又又“x xk k”是是“
21、1 1”的充分条件，故的充分条件，故k2.k2.答案：答案：2,+)2,+)【补偿训练补偿训练】已知已知p:xp:x2 2+x-6=0+x-6=0和和q:mx+1=0,q:mx+1=0,且且p p是是q q的必要条件但的必要条件但不是充分条件不是充分条件,求实数求实数m m的值的值.【解析解析】p:xx|xp:xx|x2 2+x-6=0,+x-6=0,即即p:x2,-3,p:x2,-3,q:xx|mx+1=0,q:xx|mx+1=0,因为因为p p是是q q的必要条件的必要条件,但不是充分条件但不是充分条件,所以所以x|mx+1=0 2,-3.x|mx+1=0 2,-3.所以当所以当x|mx+
22、1=0=x|mx+1=0=时成立时成立,即即m=0;m=0;当当x|mx+1=0 x|mx+1=0时，时，x=x=当当 时，时，当当 时时,所以所以 或或 或或m=0.m=0.【拓展类型拓展类型】用集合法判断充分条件与必要条件用集合法判断充分条件与必要条件【备选例题备选例题】(1)p:A=x|x(1)p:A=x|x是正方形是正方形，q:B=x|xq:B=x|x是菱形是菱形，则，则p p是是q q的的_条件条件.(2)(2)下列各题中，下列各题中，p p是是q q的什么条件？的什么条件？p:A=x|x(x-1)p:A=x|x(x-1)00，q:B=x|0q:B=x|0 x x3.3.p:A=x|
23、1p:A=x|12 2x x2,q:2,q:【解析解析】(1)(1)因为正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，因为正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，所以所以p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.答案：答案：充分不必要充分不必要(2)(2)由集合由集合A A得，得，0 0 x x1 1，所以，所以A A B B，所以所以p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.由集合由集合A A得，得，0 0 x x1 1，由集合由集合B B得得所以所以B B A A，所以，所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.【方法技巧方法技巧】从集合的包含关系看充分条件、必要条件从集
24、合的包含关系看充分条件、必要条件 若不等式若不等式p,qp,q对应的集合分别为对应的集合分别为P,Q,P,Q,利用集合间的包含关利用集合间的包含关系来判断充分条件、必要条件为系来判断充分条件、必要条件为:若若P P Q,Q,则则p p是是q q的充分条件的充分条件,q,q是是p p的必要条件的必要条件.若若p p是是q q的充分条件的充分条件,即即p p q,q,相当于相当于P P Q,Q,即即:要使要使xQxQ成立成立,只只要要xPxP就足够了就足够了有它就行有它就行;为使为使xPxP成立成立,必须要使必须要使xQxQ缺它不可缺它不可.【易错误区易错误区】弄错两个集合间的关系而致误弄错两个集
25、合间的关系而致误【典例典例】(2014(2014成都高二检测成都高二检测)已知已知P=x|a-4xa+4,Q=x|1P=x|a-4xa+4,Q=x|1x3,x0),0(m0),若若q q是是p p的充分条件但不是必要条件的充分条件但不是必要条件,则实数则实数m m的取值范围为的取值范围为_._.【解析解析】p:-2x10.p:-2x10.由由q:xq:x2 2-2x+1-m-2x+1-m2 200得得x-(1-m)x-(1+m)0(m0),x-(1-m)x-(1+m)0(m0),即即1-m1-mx1+m(m0).x1+m(m0).因为因为q q是是p p的充分条件但不是必要条件的充分条件但不是必要条件,即即x|1-mx1+m x|-2x10,x|1-mx1+m x|-2x10,故有故有解得解得m3.m3.又又m0,m0,所以实数所以实数m m的取值范围为的取值范围为0m3.0m3.答案答案:0m30m3