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1、综合复习（二）【例1】在RtABC中，ZACB = 90 , BC = 30, AB = 50.点P是AB边上任意一点，直线PE1AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN, sinZEMP = .13（1）如图1,当点E与点C重合时，求CM的长;（2）如图2,当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x, BN= ） ,求y关于工的函数关系式，并写出函数的定义域;（3）若AMEsENB （AAME的顶点a、m、e分别与aenb的顶点e、n、B对应），求AP的长.【解析】（1）VZACB=90 ,备用图AAC= VAB2 - BC2 = V502 -
2、302 = 40 。VCP1AB, AABCACPBo ，二任BCCP，即竺=也。，CP二24。 30 CP, CM二CP = 24 : 26。sinZEMP 12 -13(2) sinZEMP = :设 EP=12a,13则 EM = 13 a, PM=5 a。VEM=EN,，EN=13a, PN=5 a oVAAEPAABC, 匹=吟 即AP AC1. = o，x 40xCl ,16y=50 21a, =50-21 21x ，-50 x o1616由(1),当点 E 与点 C 重合时，AP=VAC2-CP2 = V402 -242 = 32 ,函数的定义域是：0VXV32。21(3)当点
3、E 在 AC 上时，如图 2,由(2)知，AP=16a , BN= y=50 (16a) = 50 21a ,16情况1：当点B在CF上,1616y二一x ， BP=4AP=4 x ，55A A BF EDVAPBFAPED,，二oBP EPED AEEP APBF _ AEBP- AP,即4-8x巨。解得:16x55X O8又ADEs/AEP, 二 ,16 AP x 2 o情况2：如图,当点B在CF延长线上,5.* NCEF=900 NAED=900 NP=NCFE, CE=CF=BCBF=3一2。过点E作EGJ_BC,交BC于点G,nIEG CG CE 2则=一。AB BC AC 5解得,
4、EG二，CG二o 556 4AFG=FC-CG=2- = -o5 518、PB FB彳。又丁 =，PB= = 2, AP=AB+PB=4+2=6。EG FG 4综上所述，当BF=1时，线段AP的长为2或6。【考点】切线的性质；根据实际问题列一次函数关系式；相似三角形的判定与性质。【分析】(1)证ADEs/XAEP,两组对应角相等即可。连接0D,根据切线的性质，得N 0DA=90 ,而N0DE=N0ED,因止匕NADE和NAEP者口是90。力口上一个等角，因止匕NAEP二NADE； 再加上两三角形的公共角NA,即可证得两三角形相似。34(2)由AODs/SACB,可得 0D=0A, AD= -
5、OA；又由ADEs/AEP,551 (2可得y - x。又以点0为圆心的半圆交线段0C于点E,，0AEWAC,825即 0 x5, OVxW o58(3)分点B在CF上和在CF延长线上两种情况讨论即可。2、（1）证明：VZDEF=45 ， ：. ZDFE=90 -ZDEF=45。A ZDFE=ZDEFo ADE=DFo又TAD=DC, AAE=FCo:AB是圆B的半径,ADAB,，AD切圆B于点A。同理：CD切圆B于点C。又EF 切圆 B 于点 G, AAE=EG, FC=FG。AEG=FG,即G为线段EF的中点。（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y, DE=l-x, DF=1y
6、,1 Y根据勾股定理，得（x+y） 2= （1 x） 2+ （1 y） 2, :、= （0xl）o1 + x5 1-x 5（3）当 EF二一时，由（2）得 EF=EG+FG=AE+FC,即 x+=-,6 1 + x 6解得Xl=i或X2= O32当AE二时，ADJ）s2edF,证明如下：2设直线EF交线段DD于点H,由题意，得EDFgZXEDF, EFLDD1且 DH=DF。VAE-, AD=L .AE = ED。A EH AD., NAD 山= NEHD=90。2又/EDF=NEDF=90。，NEDF=/ADD。A AEDlFAADlDo 当AE二,时，ZiEDF与ADD不相似。3【考点】切
7、线的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定。【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一进行证明，能够熟练运用等腰直角三角形的性质和切线长定理发现G为线段EF的中点。（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x, y表示，再根据勾股定 理建立函数关系式。（3）结合（2）中的函数关系式，求得x的值.分两种情况分别分析，根据切线长 定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证 明三角形相似。EN=EM=13a, AM=APMP=16 q 5 a =11。V AAMEAENB, 公凶=丝,即卫=EN NB 13 50 21。a = ,AP=1
8、6xU=22。88当点E在BC上时，如图，设EP=12q,则EM=13a, MP=NP=5 a ,VAEBPAABC, =,即 理=必。BC AC 3040，BP=9a o/. BN=9 a 5 a =4 a ,AM=50 9 a 5 a =5014 a。VAAMEAENB,出=I,即 50-14a=我EN NB 13a 4a=JAP=50 9x3=42。99综上所述，AP的长为：22或42。【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用。【分析】(1)根据已知条件得出AC的值，再根据CPJ_AB求出CP,从而得出CM的值。(2)根据EM = EN, sinNEMP = ，设出E
9、P的值，从而得出EM和PM的值，再得出 13AEP-AABC,即可求出 匹=匹，求出。的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且 AP AC能求出函数的定义域.(3)设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分点E在AC上和点E在BC上两种情况，根据EBPsABCC,求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据AMEsENB,求 出。的值，得出AP的长。【例2】已知NA5C = 90。，AB = 2, BC = 3, AD/BC, P为线段上的动点，点。在射线ab上，且满足(如图1所示).PC AB(1)当AO = 2,且点。与点8重合时(如图2所示)，求线段PC的长;3(2)在图1中，联结AP.当
10、=且点。在线段AB上时，设点3、。之间的距离S为X,= 其中SPQ表示APQ的面积，S*8c表示心。的面积，求y关 S/XPBC于X的函数解析式，并写出函数定义域;(3)当且点。在线段A3的延长线上时(如图3所示)，求/QPC的大小.【解析】（1） V ZABC = 90, AB = AD = 2, AD/BC, J A/LBO为等腰直角三角形。 ZABD = 45。，ZPBC = 45。（2）:丝=42 = 1,APQC为等腰直角三角形。PC AB又： BC = 3, ：. PC=-V2o2如图：添加辅助线AP,根据题意，两个三角形的面积可以分别表成 ，Saprc，后J 分力(J 7力，I1
11、3 11 3则 Sapo=_,（2 x）二一-2x- H（2 /?），APQ 2 ）22 22 2 v 73化简，得二一/2。4 %APQ 二三（2-X）， O3q s _ 1 0.3, .由 S-PQ_&（2 x）J 11又 S/pb,一, 3 h h,.由二y 倚 y z xH o22S咏lh 4221 1 (y关于x的函数解析式为y=11+万0x0 o(3)如图1,当BP与圆/相切时,如图2,当与圆/相切时,如图3,当8。与圆/相切时,AO = 0 o图1图2【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，相似三角形的判定和性质，直线和圆相切的性质。【分析】（1）
12、分05不垂直于AM和。5 JL AM两种情况分别证明。AB _ A0（2）由已知，证出ABOs/xacP,根据相似三角形的性质即可得出，从而得到y关于光的函数解析式。由于点尸在射线AN上运动（点P与点A不重合），所以函数的定义域为x0。（3）分点P在射线AN上运动（点P与点A不重合），点P与点A不重合，点P在射线AN的反向上运动（点P与点A不重合）三种情况分别讨论：当点尸在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，如图1,在RtZABO中,NA4O = 30, AB = 4,点 A 与点。的距离 AO = A3sin/BAO = 4x 3=。2当点P与点A重合时，如图2, ZBAO = 30,AB
13、 = 2,点A与点。的距 2离 AOA3 + sin/BAOx 4 + 22点P在射线AN的反向上运动（点P与点A不重合）时，如图3,点。与点A重合，.点A与点。的距离49 = 0。OP为半径作【例4】已知点P在线段AB上，点。在线段A3延长线上.以点。为圆心,圆，点。是圆。上的一点.丝二2。（1）如图，如果AP = 2依，PB = BO.求证：ACAOsABCO；（2）如果= m （优是常数，且21）, BP = 1, OP是。A, 03的比例中项.当点。在圆。上运动时，求AC:5c的值（结果用含加的式子表示）;（3）在（2）的条件下，讨论以为半径的圆8和以C4为半径的圆。的位置关系，并写出
14、相应力的取值范围。AnPO BO【解析】(1)证明： AP = 2依= P6 + BO = PO, ：.AO = 2POo ：.9：PO = CO, A = 0CO B0 ZCOA = /BOC, ：. ACAO ABCO。(2)设OP = x,则 O3 = x 1, OA = x+m.TOP是。4, 0B的比例中项,= (x-l)(x+m),得x =一,即 0P = -。03 = _Lm -1m -1m -1nA cp；OP是。4, OB的比例中项，即=，OP 0B设圆。与线段AB的延长线相交于点。，当点。与点P,/ ZAOC = /COB, ：. ACAO sBCO。.AC OC niI
15、AC OC OP = 即 = = =m, BC OB BC OB OBAr当点。与点尸或点。重合时，可得方不二机。 当点。在圆。上运动时，AC:BC = m.（3）由（2）得，ACBC,且AC= 1）BC（根1）AC+BC = （m+）BC,圆3和圆。的圆心距d = BC。显然BC（7%+1）BC,圆B和圆。的位置关系只可能相交、内切或内含。当圆8与圆C相交时，(m-l)BCBC(m+l)BC,得0根 1,1 m 2 o当圆3与圆。内切时，(m-l)BC = BC,得m = 2。当圆B与圆。内含时，BC2。【考点】圆的性质，相似三角形的判定和性质，比例中项的性质，两圆的位置关系。【分析】(1)
16、由已知，可得NC04 = N50。且42 =卬，根据三角形的判定定理得证。CO BO(2)由OP是04, 08的比例中项，可求出 =堡且/AOC = /COB,OC OB从而C4Os/bco,从而 AC:BC = m。(3)根据两圆的位置关系的判定，分别求出圆B与圆C相交、内切或内含的情况。【课后练习】1、在AABC 中，ZABC = 90 , AB = 4,BC = 3, 0是边AC上的一个动点，以点。为圆心作半圆，与边AB相切于点D,交线段0C于 点E,作EPLED,交射线AB于点P,交射线CB于点F。(1)如图，求证：ZXADEsAEP；(2) 设OA=x, AP = y,求y关于x的函
17、数解析式，并写出它的定义域；(3) 当BF=1时，求线段AP的长.2、如图，在正方形ABCD中，AB=1 ,弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合)，过E作弧AC所在圆的切线，交边DC 于点F, G为切点:(1)当NDEF=45时，求证：点G为线段EF的中点;(2)设AE=x, FC=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;(3)将4DEF沿直线EF翻折后得DEF,如图，当EF=?时，讨论AAD】D与AED F是6否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。参考答案1、(1)证明：连接0D,AP 切半圆
18、于 D, AZ0DA=ZPED=90。又TOD=0E,ZODE=ZOEDo NADE=NODE+NODA, NAEP=N0ED+NPED。AZADE=ZAEPoXVZA=ZA, AAADEAAEPo (2) VZABC = 90 ， ABM, BC=3, AAC=504AD=-OA,5A A OA OD AD 3VAAODAACB,，=。：.OD=-OACA CB AB 5VAADEAAEP,VAADEAAEP,AE AD DE e AP - AE EP8VAP=y, 0A=x, AE=OE+OA=OD+OA=- OA,548 AE _ AD _ 5UA 1 AE _ 5X _ 1APAE 8- 2J AP -25，y关于x的函数解析式为y=x (0x )o58(3)分点B在CF上和在CF延长线上两种情况讨论: