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1、第十二讲 计数综合教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。知识点拨：一、排列一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的
2、一个排列根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列排列的基本问题是计算排列的总个数从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不
3、同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。二、组合一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数记作。一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共
4、有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法根据乘法原理，得到因此，组合数这个公式就是组合数公式例题精讲：一、 排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。【解析】 （1）（种）。（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置（
5、种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置2=1440(种)（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置 (种)（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可432=2880(种)排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。【例 2】 用1、2、3、4、5、
6、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【解析】 个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，根据排列数公式，一共可以组成(个)符合题意的三位数。【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？【解析】 可以分两类来看： 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有(种)放法，对应24个不同的五位数； 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有种选择由乘法原理，可以组成(个)不同的五
7、位数。由加法原理，可以组成(个)不同的五位数。【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【解析】 从高位到低位逐层分类： 千位上排，或时，千位有种选择，而百、十、个位可以从中除千位已确定的数字之外的个数字中选择，因为数字不重复，也就是从个元素中取个的排列问题，所以百、十、个位可有(种)排列方式由乘法原理，有(个) 千位上排，百位上排时，千位有种选择，百位有种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择也就是从个元素中取个的排列问题，即，由乘法原理，有(个) 千位上排，百位上排，十位上排，时，个位也从剩下的七个数字中选择，有(个)
8、千位上排，百位上排，十位上排时，比小的数的个位可以选择，共个综上所述，比小的四位数有(个)，故比小是第个四位数【例 3】 用、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【解析】 按位数来分类考虑： 一位数只有个； 两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的两位数，共可组成(个)不同的两位数； 三位数：由，与；，与；，与；，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的三位数，共可组成(个)不同的三位数； 四位数：可由，这四个数字组成，有(个)不同的四位数； 五位数：可由，组成，共有(个)不同的五位数由加法原理，一共有(个)能被整除的数，即的倍数【巩固】 用1、2、
9、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析】 由于组成偶数，个位上的数应从，中选一张，有种选法；十位和百位上的数可以从剩下的张中选二张，有(种)选法由乘法原理，一共可以组成(个)不同的偶数【例 4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一个，其余位置放，共有
10、种选择；第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有种选择，剩下的位置放，共有(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有种选择最后一种，与第一种的情形相似，的位置有种选择，其余位置放，共有种选择综上所述，由加法原理，一共可以组成(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试次【例 5】 两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？【解析】 第一个位置在个人中任选一个，有(种)选法，第二个位置在另一胞胎的人中任选一个，有(种)选法同理，第，个位置依次有，种选法由乘法原理，不同的坐法有(种)。
11、【例 6】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设A:BC是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有=1260种选法。从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。【例 7】 一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?【解析】 设这个六位数为，则有、的差为0或1
12、1的倍数且a、b、c、d、e、f均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数。 先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有=36种顺序； 再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换，也有=36种顺序。 所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的)。所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数。【例 8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少
13、种不同的情况？【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有种排法，再排甲，也有种排法，剩下的人随意排，有(种)排法由乘法原理，一共有(种)不同的排法。【例 9】 名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起； 男女相间【解析】 先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的个人随意排，也就是个元素全排列的问题，
14、有(种)选择由乘法原理，共有(种)排法 甲、乙先排，有(种)排法；剩下的个人随意排，有(种)排法由乘法原理，共有(种)排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有(种)和(种)排法由乘法原理，共有(种)排法 先排名男生，有(种)排法，再把名女生排到个空档中，有(种)排法由乘法原理，一共有(种)排法。【巩固】 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。【解析】 五位同学的排列方式共有54321=120（种）。如果将相邻的贝贝
15、和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4321=24（种）。因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有242=48(种)；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）。【例 10】 一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目求： 当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】 先将个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题，有 (种)方法第二步再排个舞蹈节目，也就是个舞蹈节 目全排列的问题，有(种)方法根据乘法原理，一共有(种)方法 首先将个演唱节目排成一列(如下
16、图中的“”)，是个元素全排列的问题，一共有(种)方法第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“”的位置)，这相当于从个“”中选个来排，一共有(种)方法根据乘法原理，一共有(种)方法。【巩固】 由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是个元素全排列的问题，有种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有(种)排法；再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法由乘法原理，一共
17、有(种)不同的编排方法【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了总的排列数用乘法原理把若干个排列数相乘，得出最后的答案。【例 11】 从1，2，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种
18、不同的种法？【解析】 按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有种3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有种3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有种3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有种3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有种土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有种。【巩固】 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多
19、少种选法?(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?【解析】 （1）从3个男同学中选出2人，有=3种选法。从4个女同学中选出2人，有=6种选法。在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4321=24种选法。3624=432，所以共有432种选法。（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2321=12种选法。3612=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人
20、，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法。33321=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种。（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法。323=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种。【例 12】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：
21、将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【解析】 第一阶段中，每个小组内部的个人每人要赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第二阶段中，每个小组内部人中每人赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第三阶段赛场根据加法原理，整个赛程一共有场比赛。【例 13】 由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有_个。(2007年“迎春杯”高年级组决赛)【解析】 这是
22、一道组合计数问题由于题目中仅要求，至少各出现一次，没有确定，出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由组成的五位数中，去掉仅有个或个数字组成的五位数即可(法1)分两类：，中恰有一个数字出现次，这样的数有(个)；，中有两个数字各出现次，这样的数有(个)符合题意的五位数共有(个)(法2)从反面想，由，组成的五位数共有个，由，中的某个数字组成的五位数共有个，由，中的某个数字组成的五位数共有个，所以符合题意的五位数共有(个)。【例 14】 个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【解析】 (法1)乘法原理按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另
23、一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有种选择，总共就有种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是()(种)(法2)排除法可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为，而被选的两个人相邻的情况有种，所以共有(种)。【例 15】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可
24、以任意地分配给小悦和阿奇小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：（种）同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：（种）因此同时满足三个条件的站法总数为：（种）。【例 16】 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分。我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,，如:|表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： | | 表示第
25、一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法。【巩固】 小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？【解析】 分三种情况来考虑： 当小红最多一天吃块时，其余各每天吃块，吃块的这天可以是这七天里的任何一天，有种吃法； 当小红最多一天吃块时，必有一天吃块，其余五天每天吃块，先选吃块的那天，有种选择，再选吃块的那天，有种选择，由乘法原理，有种吃法； 当小红最多一天吃块时，必有三天每天吃块，其四天每天吃块，从天中选天，有(种)吃
26、法。根据加法原理，小红一共有(种)不同的吃法还可以用挡板法来解这道题，块糖有个空，选个空放挡板，有(种)不同的吃法。【巩固】 把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？【解析】 (法1)先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有种分法 (法2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。【巩固】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【解析】 如图：|，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条
27、竖线，一共有种方法【例 17】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，所以儿童不能乘坐船若这人都不乘坐船，则恰好坐满两船，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法；若两个儿童不在同一条船上，即分别在两船上，则船上有个儿童和个成人，个儿童有种选择，个成人有种选择，所以有种方法故人都不乘坐船有种安全方法；若这人中有人乘坐船，这个人必定是个成人，有种选择其余的个成
28、人与个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法，所以此时有种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么船上有个儿童和个成人，此时个儿童和个成人均有种选择，所以此种情况下有种方法；故人中有人乘坐船有种安全方法所以，共有种安全乘法【例 18】 从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】 恰有名女生入选，说明男生有人入选，应为种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合
29、要求运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：人必须入选，则从剩下的人中再选出另外人，有种；从所有的选法种中减去这个人同时入选的种：分三类情况：人无人入选；人仅有人入选；人中有人入选，共：【巩固】 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ 有3名内科医生和2名外科医生； 既有内科医生，又有外科医生； 至少有一名主任参加； 既有主任，又有外科医生。【解析】 先从名内科医生中选名，有种选法；再从名外科医生中选名， 共有种选法根据乘法原理，一共有选派方法种 用“去杂法”较方便，先考虑从名医生中任意选派
30、人，有 种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况由于外科医生只有人，所以不可能只派外科医生如果只派内科医生，有种选派方法所以，一共有种既有内科医生又有外科医生的选派方法。 如果选名主任，则不是主任的名医生要选人，有种选派方法；如果选名主任，则不是主任的名医生要选人，有种选派方法根据加法原理，一共有种选派方法 分两类讨论：若选外科主任，则其余人可任意选取，有种选取方法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余人不能全选内科医生，用“去杂法”有种选取法根据加法原理，一共有种选派方法。【例 19】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，
31、今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？【解析】 按具有双项技术的学生分类： 两人都不选派，有(种)选派方法； 两人中选派人，有种选法而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，则还需人安装电脑，有(种)选法，而另外会安装音响设备的人全选派上，只有种选法由乘法原理，有(种)选法；若此人安装音响设备，则还需从人中选人安装音响设备，有(种)选法，需从人中选人安装电脑，有(种)选法由乘法原理，有(种)选法根据加法原理，有(种)选法；综上所述，一共有(种)选派方法 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：两人全安装电脑，则还需要从人中选人安装电脑，另外会
32、安装音响设备的人全选上安装音响设备，有(种)选派方案；两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有(种)选派方案；两人全安装音响设备，有(种)选派方案根据加法原理，共有(种)选派方案综合以上所述，符合条件的方案一共有(种)【例 20】 有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少张？【解析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类： 多面手不参加，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法
33、原理，有种选择 多面手中有一人入选，有种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译，则需从名英语翻译员中再选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择；如果参加日文翻译，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中再选出名，有种选择由乘法原理，有种选择根据加法原理，多面手中有一人入选，有种选择 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：两人都译英文；两人都译日文；两人各译一个语种情况中，还需从名英语翻译员中选出人，有种选择需从名日语翻译员中选人，种选择由乘法原理，有种选择情况中，需从名英语翻译员中选出人，有种选择还需
34、从名日语翻译员中选出人，有种选择根据乘法原理，共有种选择情况中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择剩下的需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有种选择综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出张二、 几何计数【例 21】 下图中共有_个正方形。【解析】 每个正方形中有：边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个； 边长为3的正方形有个；边长为4的正方形有个；总共有(个)正方形现有5个的正方形，它们重叠部分是4个的正方形因此，图中正方形的个数是。【例 22】 在图中(单位：厘米)： 一共有几个长方形
35、? 所有这些长方形面积的和是多少?【解析】 一共有(个)长方形；所求的和是 (平方厘米)。【例 23】 由20个边长为1的小正方形拼成一个长方形中有一格有“”图中含有“”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。 (第六届走美决赛试题)【解析】 含的一行内所有可能的长方形有：(八种)含的一列内所有可能的长方形有：(六种)所以总共长方形有个，面积总和为。【巩固】 图中共有多少个三角形？【解析】 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类L（1）最大的三角形1个(即ABC)，（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三
36、角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形259=118（个）。【例 24】 一个圆上有12个点A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?【解析】 我们采用递推的方法 I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法 如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。 如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形此时，其余的6个点可能分布
37、在： A1所在三角形的一个边所对的弧上； 也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上 在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧 如果是情形，则由，这六个点有三种连法； 如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法 共有12种连法 最后考虑圆周上有12个点同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能： 9个点都在同一段弧上： 有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上； 每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上得到表3共有123+36+155种所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。课后练习：练习1. 用排成四位数：（1）共有多少个四位数？（2）无重复数字
38、的四位数有多少个？（3）无重复数字的四位偶数有多少个？（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？【解析】 条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如等依分步计数乘法原理共有（个）（个）个位上只能是或，有（个）所有四位数中，在的左边或在的右边的数各占一半，共有（个）在千位上，只有种方法，此后只能在另外的个位置上排列，有（个）法一：不在十位、个位上，所以只能在千位上或百位上，有（个）法二：从中减去不合要求的（在十位上、个位上），有（个）。练习2. 如图，其中的每条线段都是水平的或竖
39、直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和。【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个，所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=10664。练习3. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？【解析】 初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：1天吃完的
40、有1种方法，这天吃10块；2天吃完的有9种方法，10=1+9=2+8=9+1；当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从所以我们必须换一种角度来思考不妨从具体的例子入手来分析，比如这10块糖分4天吃完： 第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块我们可以将10个“”代表10粒糖，把10个“”排成一排，“”之间共有9个空位，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线(如下图) 比如上图就表示“第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块” 这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个|的方法”，要求有多少个不同的吃法，就是要求在这9个空位
41、中插入若干个“|”的方法数。由于每个空位都有画|与“不画|两种可能：每个空位都有画“|”与不画“|”两种可能根据乘法原理，在这9个空位中画若干个“|”的方法数有：，这也就说明吃完10颗糖共有512种不同的吃法。练习4. 用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【解析】 把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：最上一层只用了3根火柴；从上向下数第二层用了32=6根；从上向下数第二层用了33=9根；从上向下数第二层用了320=60根；所以总共要用火柴3（1+2+3+20）=
42、630。月测备选【备选1】书架上有本故事书，本作文选和本漫画书，全部竖起来排成一排。 如果同类的书不分开，一共有多少种排法？ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？【解析】 可以分三步来排：先排故事书，有(种)排法；再排作文选，有(种)排法；最后排漫画书有种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先后顺序有(种)故由乘法原理，一共有种排法 可以看成(本)书随意排，一共有(种)排法若同类书不分开，共有种排法；若同类书可以分开，共有种排法【备选2】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？【解析】 人的环状排列与线状排列的不同之处在于：、在线状排
43、列里是个不同的排列，而在环状排列中是相同的排列所以，个不同的元素的环状排列数为甲、乙两人必须相邻，可把他们看作是1人（当然，他们之间还有顺序），总排列数为从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的如甲在乙、丙之间合于后者，但不合于前者）的情况种所以，符合题意的排法有（种）【备选3】一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？ 把盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位 串起其中盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位【解析】 可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有种选择；然后把剩下的盏灯随意排，
44、是一个全排列问题，有(种)排法由乘法原理，一共有(种) 先安排第一盏和第四盏灯第一盏灯不是紫灯，有种选择；第四盏灯有种选择；剩下的盏灯中随意选出盏排列，有(种)选择由乘法原理，有(种)。【备选4】在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【解析】 两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题从个偶数中取出个，有(种)取法；从个奇数中取出个，也有(种)取法根据加法原理，一共有(种)不同的取法【备选5】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成31996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】 横放需19964根，竖放需19973根共需19964+19973=13975根。