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1、如何解答高考数学题中的综合题一、解答综合题的步骤高考数学题中，最后三个大题往往是综合的知识多、技巧性强、能力要求高的综合性题目，它解答成功与否将直接影响着升学档次。大量未成功的考生并不完全是水平和能力问题，而是心理不佳、方法不当，导致宝贵的时间白白流失，发挥不出自己应有的水平，使自己无缘问鼎名校或重点大学，饮恨终身。那么面对综合试题，考生应答呢？1. 下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数（1）写出的值； （2）写出的计算公式；（）证明：正整数N在该
2、等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积讲解学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值（1） 按第一行依次可读出：，；按第一行依次可读出：，；最后，按第列就可读出： （）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是： 而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为： 通过递推易知，第i行是首项为，公差为的等差数列，故有 （）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得从而，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两
3、个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得，从而，由此可见N在该等差数阵中综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.一 要有良好的心态。不急不燥、冷静思考、沉着应答是解出问题的关键。相信它不会比平时综合训练试题难多少，也许是情景新一点、条件隐晦一点、设问巧一点，没有什么大不了的，我不求超水平发挥，只求正常发挥自己的水平，做出该做得起的题即可。“战略上要藐视它，战术上要重视它”。二 过好审题关。 审清题意是解出问题的前提。审题方法：（一）反复读题，作出重点词句，尤其是新名词、新定义要理解透彻；（二）用更通俗易懂的语言复述题意（拉近）；（三）明确已知和
4、未知，找出他们间形式上的差距，这样便于明确奋斗方向；（四）想想有无曾经见过的类似的题目（相似的已知或相似的结论），想想有无可能用到的一个公式、定理、定义或结论，想想有无可以借鉴的方法；（五）对多个问的题目，注意前后问间的提示作用，往往后问要用到前一问的结论；（六）“退足”、“分层递推”、“特殊化”也是分析综合题的有效方法。例1给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是： 首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差； 然后，在去掉已选入第
5、一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止. （I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数; （II）当构成第n（nO, /a0,对上式两端取对数，得nlg(l-ro)lg(/a).由于lg(1-ro)0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（A）1/2a（B）1/4a（C）4a（D）2a三 拟定好解题计划，过好书写关。须知考生与阅卷教师的交流是通过试卷。例8.2008全国卷II18（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人
6、每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为（）求一投保人在一年度内出险的概率；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则（）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，2分，又，故5分（）该险种总收入为元，支出是
7、赔偿金总额与成本的和支出 ，盈利 ，盈利的期望为 ，9分由知，（元）故每位投保人应交纳的最低保费为15元12分四、作完题后的“反刍”。作完题后，你应想想该题的结果是否合理，是否漏解，是否有未考虑到的特殊情况等。下面给出综合试题解析与反思的几个例子。【题9】已知数列满足，且对一切，有，其中（1）求证：对一切，有；（2）求数列的通项公式；（3）求证：【解析】（1），又（2）由及，两式相减得，化简得，由可得，由此可得，（3）【反思】1本题的第一问和第二问属于常规基础题，第三问采用的裂项法证明不等式，其关键之处有两个地方：一是，它既进行了合情合理地放缩，又得到了数字1；二是，所有的这些努力都是为后续的
8、裂项创造了条件，使得后续工作的开展能够水到渠成；2我们说学数学不做题目是不行的，但是做太多了，营养价值不高也没有用选题要精，要选一些营养高的题目，通过对题目的深入思考，找到解决问题的思路，掌握学习的规律，这样才能够提高学习效率。所以，特别是在复习的最后阶段，以及平时的学习阶段，不同类型的题目要多做一些，同一个类型的题目，做上三四道，体会一下规律就行了如果同一个类型的题目，做上三四十到五十道，那样的单调反复，对提高学习效率没有什么大的效果题不求多，但求精彩这有点儿像吃饭，吃不饱不好，但过饱，甚至饱了还要往肚里塞，不但后塞进去的食物不会吸收，甚至引起肠胃功能紊乱，连开始吃进去的食物都不能消化吸收同
9、时，营养价值很低的食物吃很多，不如吃适量的高营养的食物因此，本题的营养价值就在于合情合理地放缩对我们的论证带来了巨大的财富和智慧【题10】已知函数（为自然对数的底数）， （1）判断的奇偶性；（2）在上求函数的极值；（3）用数学归纳法证明：当时，对任意正整数都有【解析】（1），为R上的偶函数（2）当时，令，有当变化时，的变化情况如下表：0-极大值由表可知，当=时，的极大值为（3）当时，考虑到时有： ，所以只要用数学归纳法证明不等式对一切正整数都成立即可（）当时，设，时，是增函数，故有，当时，不等式都成立.（）假设时，不等式都成立，即当时，设，有，故为增函数，即这就是说，时不等式都成立.根据（）、
10、（）不等式对一切正整数都成立.【反思】1如何运用数学归纳法证题，应该说对大多数学生都不陌生，然而，本题的数学归纳法却是别有洞天，因为，它在“传统”证法的基础上，有多了一个条件且在其定义域内不断地变化，因而使得本题的证明过程丰富多彩，因为在抓住的证明时，我们看到，无论是证还是时，都需要证及在上恒成立，于是联想函数的单调性，进而利用导数这个有用的工具去解决所待证的问题；2要注意进行编织知识网络，帮助同学掌握知识之间的联系，同时要注意用数学思维方法带动知识和技能的复习，使同学们经过系统复习，能够居高临下，能够把握知识之间的先后联系，能够做一道题目会一片，这样能力上才有可能提高，才能发现解题规律要避免
11、题海战术，老师要深入题海，精选例题，精选深入思想方法，深入基础知识、数学营养比较高的题目，给同学们认真的解剖挖掘，通过对一个题目的审题，发现条件和结论之间的联系，打开解题思路，然后制定解题计划，把题目有条有理的解答出来解题之后，还要注意总结、拓宽、延伸，努力做到以例积类，这样的话，学生、老师做的题目不算太多，但是营养价值高，思维价值高，学生收益大，就可以提高复习的效力，靠以精取胜，以学生能够把握知识系统来取胜，把握解题规律来取胜，这样学生通过复习，例题的知识网络构建起来了，解题的规律总结出来了，就会变得比较聪明，就会变得比较智慧【题11】已知函数（1）求函数的单调区间；（2）如果关于的方程有实
12、数根，求实数的取值集合；（3）是否存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由【解析】（1）函数的定义域为，又，由或；由或因此的单调增区间为；单调减区间为（2），实数的取值范围就是函数的值域于是，令，得，并且当时，；当时，时，取得最大值，且，又当无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于，的值域为即的取值集合（3）这样的正数不存在（反证法）假设存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实数根和，则则根据对数函数定义域知，又由（1）知，当时，再由可得，由于，不妨设，由（*）、（*）可得：，由比例的性质得：即 ，由于是区间上的恒正增函数，且，
13、又由于是区间上的恒正减函数，且，这与式矛盾，因此，满足条件的不存在【反思】1本题的第（1）问是导数的应用之一 求函数的单调区间；本题的第（2）问是求实数的取值范围问题，但实质上是就是函数的值域；这两问属于常规问题；2本题的第（3）问也是常见的存在性问题，但处理起来却显得有些与平常不同，在这里，要注意以下几点：细节问题：如由对数函数的定义域知，在联系到，进而得到，又，于是不妨设；还有函数及函数分别是区间上的恒正增函数和恒正减函数等细节问题，这些细节处理得好，对我们正确地解决问题将起到积极的作用；转化问题：由比例性质将转化为的目的是为了方便使用复合函数的单调性来解决问题；矛盾问题：在用反证法的过程
14、中，“矛盾”的出现是由于“自相矛盾”的结果，而推出这个结果产生是由于利用了函数的单调性来导出的由是观之，本题的营养价值的确是充分的二、压轴题的分类纵观这几年的高考题，我们不难发现高考的的压轴题一般分两大类 : 即几何型压轴题和代数型压轴题。主要考查学生等价转化能力、数形结合能力、分析问题和解决问题能力、推理和运算能力、信息迁移能力、创新意识和创新能力、较强的思辨能力等，同时具有较强的区分度，有利于高校选拔优秀人才。一、几何型压轴题几何型压轴题是以直线和圆锥曲线的关系来命题的，题目特点是： （一）基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用。 （二）综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式
15、、三角、向量及直线等内容，体现对各种能力的综合要求。 （三）计算量大，要求学生有较高的运算能力和较强的逻辑推理能力。二、代数型压轴题，这类问题重点表现为函数形式的综合题与数列形式的综合题，二者之间有存在密切的联系，这几年高考中，考查函数的思想方法更加突出，函数思想的实质就是用联系、变化的观点提出数学对象，建立函数关系，求得问题解决。数、式、方程、不等式、数列及极限、三角函数、导数等，都是以函数为中心。 （一）、函数形式的综合题在高考解答题中，主要有一下几种形式 （1）函数内容本身的综合，如函数概念、图像、最值等方面的综合； （2）函数与其他数学知识的综合，如方程、不等式、数列、解析几何、极限和
16、导数等内容与函数的综合，这里主要体现函数思想的运用； （3）与实际问题的综合，主要体现在数学模型的构造和函数关系的建立。此类问题，一般要经过变形转化，归结为二次函数、均值不等式、数列或导数的问题解决。 （二）数列形式的综合题，数列是高中代数的重点内容之一，也是与大学数学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可代替的作用，在历年高考中占有重要的地位。这些试题不仅考查数列、等差数列和等比数列、数列极限以及数学归纳法等基本知识、基本技能，而且常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而
17、考查学生的学习潜能和数学素养，为学生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔空间。三、如何解答高考数学题中的综合题 1、 综合题是怎么编制的几个知识模块的拼合形式工具板块与研究对象板块结合形式构建模型式，各部分互为载体不同研究方法的板块交汇式2、 综合题的一般形式与内容可以采取函数，方程，不等式的拼合，也可以采用向量，几何拼合可以采取导数，导函数与函数结合的形式，函数（或不等式）与数列结合应用性问题与函数，应用性问题与概率统计，应用性问题与数列结合可以采取连续量与离散量结合，几何与数列结合等方式。3、 综合题设置的目的检查考生对各知识网络交汇处的联系能力,对主干数学思想方法的理解水平,对多信息量，
18、以及对较复杂局面的控制能力。4、 解答数学综合题的基本对策与方法基本对策：分解基本方法：各个击破，步步为营法互相渗透，互相支援，一举合围法剥离，设计程序化方案，递推解决法。5、 解数学综合题的基础：知识基础概念清楚，理解透彻，有条理，合逻辑。基本数学思想方 法应当熟练掌握，有基本数学技能，有清晰的解题计划。认识基础能用数学眼光看各板块间联系，能用对立统一观点认识各板块间的联系，能确立主要矛盾与矛盾的主要方面，心态平和，用研究的方式思考。6、 例题选析例1椭圆中心在原点，焦点在x轴上。斜率为1，且过椭圆右焦点F的一条直线交椭圆于A，B两点，与共线,求椭圆的离心率,设M为该椭圆的任意一点，证明为定
19、值。解题计划：第（1）问：相交现象“调查” 表达,并列出与共线的条件 设A(x1,y1),B(x2,y2),与 共线(x1+x2)+3(y1+y2)=0 (*)考查的表达式根据y1= x1c, y2= x2c, (*)成为 即副产品，椭圆方程第（2）问用坐标形式表达，设利用M(x,y)在椭圆上的条件寻找的表达式，“为定值”的证明目标评：向量条件与解析几何的几何内容间是拼合关系，渗透关系。解题中采用的是分解，互相支援方式。例2设函数求使的x的取值范围。解题计划：把“翻译”成较“平易”的形式，采用熟悉方法解不等式-1101A01B01M01x选择（A）讨论，合并方式 （B）数形结合法设|AB|=2
20、，评：函数与不等式结合是拼合方式，解题中采用是各个击破法。例3为平面上过点的直线，其斜率等可能地取用表示坐标原点到的距离，求随机变量的数学期望的值。解题计划：写出的随机方程。共7条。改成“一般式”并求出随机变量值。对应的概率值为求评：题目是解析几何中直线与离散型随机变量的数学期望两个板块的结合。解题中采用了“步步为营，各个击破”战术。例4设函数的图象是从坐标原点出发的一条折线，当时，图象是斜率为的线段。数列由定义，求函数的解析式及定义域。解题计划：分段考虑函数的图象 时，斜率，时，斜率，时，斜率，. .时，斜率；. .把用表示出来，记使用斜率公式寻找xn找出数列的通项公式：用点斜式分段写出“各
21、线段的方程”；当时这是分段函数式。求分段连通函数的定义域。极限理念：求时，此值为时，正向发散。结论：函数，定义在上，其中若时，定义域是若定义域是评：本题属于函数、数列和极限的模型式，互为载体，互相制约。采用的解题方法是互相渗透，互相支援，一举合围法。例5 R上的函数f(x)具有性质：对于任意xR，都有axf(x)=b+f(x) (a,b为常数,ab0),且f(1)=2 ,方程f(x)=2x恰有1个解。(1) 求f(x)，(2)数列an定义如下：a1=f (1)，n2,nN+时，数列an的前项和Sn,满足探求an的通项公式。解题计划 求f(x)的解析式(实质是求a,b) af(1)=b+2, 2
22、a=b+2，至此已得到a,b一个制约关系式。从f(x) =2x入手分析（恰有一个解）2ax2=b+2x,2ax2-2x-b=0，=0，2ab+1=0。解出a,b探求an的各项的值:a1=f(1)=2,归纳出 (补证略)。评：本题是函数、数列、方程的综合题，属于互为载体拼合式，解题方法是各个击破；层层剥离。例6点到An(xn,0), Pn(xn,2n-1),抛物线系列Cn y=x2+anx+bn其中an= -2-4n-(1/2n-1)数列Xn定义如下：x1=1，点P2在抛物线C1上，即在y=x2+a1x+b1上，且|A1P2|是点A1与抛物线C1上各点距离的最小值。点P3在是C2 上 ，|A2P
23、3|是点A2与抛物线C2上各点距离的最小值。一般地，点Pn+1在是Cn 上 ，|AnPn+1|是点An与抛物线上各点距离的最小值。(nN+)1、求x2及C1的方程；2、证明xn是等差数列。解题计划 两个数列xn,an,其中已给定,与点列An ,Pn相关求C1的方程实质是求的值,但是b1不易孤立突破，须与x2联系进行合围，先找出“距离最短的目标函数”A1(X1,0)= (1,0) (已知)P2(X2,2),C1: 根据目标函数u（即可得u1/2最小值）选导数“工具”u/x=2(x-1) +2(x2-7x+b1)(2x-7)，u/(x)=0,利用P2在C1上的条件x22-7x2+b1=2，其中（P
24、2(x2，2)）（x2-2）+ 2(2x2-7)=0，x2=3.由x22-7x2+b1=2得b1=14.所以C1: y=x2-7x+14.程序自动化处理-同法运算；求x3，C2P3(x3，22),所以C2: P3在C2上: 令由根据已得出的猜测进行数学归纳法论证。（前已铺了道路，后面可走下去）评：这是把点列、数列、抛物线系、数学归纳法这些不同范畴的数学对象与方法拼合成的题目，有互为载体、互相渗透、互相限制的特点。解题方法是层层剥离，递推，程序化地求解。例7的三内角对边边长为，且成等比数列，又知，求的值。解题计划：由 找出的值，从而先求。寻找的条件。引用余弦定理或评：这是解三角形与数列、向量结合
25、的题目，属于拼合各单元板块的方式，解题方法是各个击破。象例7这样，看来综合题也不一定都是大题和难题。例8向量，函数是区间（-1，1）上的增函数，求的范围。解题计划：把的解析式显示出来用导数为工具研究的“增性”令对一切成立.转化为一定条件下求参数取值范围的“熟题”研究函数的值域，注意值域的右端点对一切的成立。评：本题是板块拼合方式，解题的基本思路是各个击破，逐段化解矛盾。7、结束语从哲理上看，交汇式混合综合题一般采用分解、剖析方式，。有的题目各板块联系松散或生硬，这时宜各个击破，有的题目各板块联系密切，形成互相渗透、互相制约的胶着状态，则要层层剥离，一举合歼，或者采取程序化递推方式，以便由简入手
26、，探究深层规律。编制综合题与解答综合题都包含数学工作者创造性的劳动，并不是一件简单的事情，编制综合题要恰当、要自然、要体现能力考查的方向，要体现现新课标的理念，要严谨。推荐一个综合题：（函数、不等式、坐标平面区域、二次曲线综合）设集合,已知，在 平面上画出点（）所占区域的示意图。供讨论的解答见画斜线的区域(不包括边界)。四、更多的例子例1函数 的最大值不超过，对任意，数列，证明：对一切综合类型 函数，数列，不等式交汇解题计划求an 利用函数，研究数列an已知可见时，成立.假设利用在上递增的性质对任何 例2. f(x)是R上不恒为o的函数，对任意a，bR，有f（ab）=af（b）+bf（a）。
27、（1）判断f（x）的奇偶性；（2）f（2）=2， 求数列前n项的和综合类型：函数，数列交汇解题计划：特值，探索f(x)性质a=b=0： f（0）=2f（0）f（0）=0a=b=1： f（1）=2f（1）f（1）=0a=b=1： f（1）=0=2f（1） f（1）=0b=1： f（a）=-f（a）+af（1）=f（a）为的奇函数，且 0求u1，u2，u3，猜想3)数学归纳证明 (略)4）求例3. 对任何都有 数列各项是正数，时， （1）证明：对任何 （2）an是否有极限？若有，写出极限值； （3）求一个正整数N，nN时，对任何b0，都有综合类型：数列，不等式，极限交汇解题计划：把已知不等式写成递
28、推不等式利用时的已知条件，对上述递推不等式求和用两个有同一极限的数列“夹”出的极限时，由的充分条件求 可取时，例4 .函数方程 =0的全部正根由小到大排列成数列xn（1） 证明：数列f(xn)是等比数列；（2） 设数列 的前n项和为，求 综合类型 函数，导数，数列，极限交汇解题计划：把方程“明显化”中，研究数列是公比为的等比数列，求的前n项和其中例5. 函数f（x）=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0xe时，可见xe时，是减函数注意到， e2.7234aecbd 例8函数g(x)=x lnx 证明:当0aa时, ,lnxF(x)为增函数F(b)F(a)=0考虑函数 ,G(a)=0
29、 xa时,G(x)为减函数 G(b)0时解集非空集关于x的不等式 有解, 求a的取值范围a0ax2+2x-10有解;a0 -1a0或-1a0(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2) 设0x1x2M,N的横坐标假设存在ox，x，使 假设 ()考虑可知h(t)是的增函数（也是上增函数）h(t)h(1)=0因此，此结论与题设（）矛盾 | 例10.某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式（其中为鱼苗成本，）。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产
30、值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤）。解：设第年鱼的产值为最高。p为鱼苗总重量，则，当即第4年鱼的产值最高；另一方面，当或4时，下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用的大小。若G0则取；若则取取，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。例11.过椭圆的左焦点F1的弦AB，过A，B分别向左准线引垂线，垂足分别为M，N，当线段MN最大时，求直线AB的方程。解：由已知方程得F1（4，0），设直线AB方程：y = tg(x4),代入椭圆方程=,当sin时，|MN|最大，此时 直线方程为：. 例12.已知椭圆C：(ab0)的长轴两端点为A、B，（1）过焦点F作垂直于长
31、轴的弦PP，当tgAPB=时，求C的离心率；（2）如果C上存在一点Q，且AQB=1200，求C的离心率的范围。解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c，则纵坐标为.kPA=，kPB=.tgAPB=，e=.(2)设(x，y)，由对称性，不妨设在x轴上方，即y0.kAQ=，kBQ=，=tgAQB=.=(x2y2a2)2ay=0.此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或.由y=0，得Q与A或B重合，舍去.当时，由Q在椭圆上半部.b，e. 例13.按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？ 解：已知本金为元 1期后的本利和为；2期后的本利和为；3期后的本利和为；期后的本利和为将（元），=2.25%, 代入上式得由计算器算得（元） 答：复利函数式为，