《(6.1.1)--5.1向量的内积_长度及正交性.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(6.1.1)--5.1向量的内积_长度及正交性.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第5章-相似矩阵及二次型FifthChapter定义:设有n维向量1122nnxyxyxyxy,由定义可知,x,y=xTy.令1 122,nnx yx yx yx y，则称为向量x与y的内积.,x yI向量的内积、长度及正交性1.向量的内积内积具有下列性质：其中x,y,z为向量，()x,y =y,x；()x+y,z =x,z+y,z；()x,x 0,当且仅当x=0 时,x,x=0.由性质可得如下施瓦兹(Schwarz)不等式()；,x yx y为实数.x,y2 x,xy,y.定义：令22212,0nxx xxxx.xx()非负性：当x 0时，0;当x=0时，=0.()齐次性：注：当|x|=1时
2、，称x为单位向量向量的长度具有下列性质：称为n维向量x的长度（或范数）.2.向量的长度xxx定义:当x 0 且y 0 时，把称为n维向量x和y的夹角注：当x,y=0，称向量x和y正交若x=0，则x与任何向量都正交定义：一组两两正交的非零向量称为正交向量组,arccos|x yxy3.向量的正交性证设有k1,k2,kr使k1a1+k2a2+krar=0,以a1与上式 两端作内积,因为a1,ai=0,则a1,k1a1+k2a2+krar=a1,0=0即k1 a1,a1+k2 a1,a2+kra1,ar=k1 a1,a1+0+0=k1|a1|2=0从而k1=0同理可证,k2=k3=kr=0于是,a1,a2,ar线性无关定理：若n维向量a1,a2,ar是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,ar线性无关例 已知3 维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3,使a1,a2,a3两两正交解 显然a1a2.设a3=(x1,x2,x3)T，由a1a3,a2a3,有,x1+x2+x3=0 x1-2 x2+x3=012111 211aa ,132300TTa aa a即12311101210 xAxxx 111111101121030010rr得1320 xxx 1013101a取从而有基础解系,即为所求谢谢，再见！