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1、万有引力定律万有引力定律 众所周知，万有引力定律的发现是牛顿在力学上的重要贡献之一，正是为了建立这一定律，他发明了微积分方法.为了了解建模的一般步骤，让我们来观察一下牛顿是怎样得出万有引力定律的.十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界的日心学说，这是科学上的一大革命.当然，由于历史和科学水平的限制，他的学说免不了也包括了一些缺陷.此后，丹麦天文学家第谷化了二十年时间观察当时已发现的五大行星的运动，记录下了十分丰富而又精确的资料.第谷的学生开卜勒在对这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行周期上有081的误差，这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为依据
2、，提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设(Kepler 三定律)，这就是：（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上.（2）行星在单位时间内扫过的面积不变.（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星而改变.牛顿认为，行星运动所以具有上述特征，必定是某条力学规律的反映，他决心找出这条规律来.此外，依据（1）（2）可以看出，行星速度是变化的，这在当时是无法计算的.为了表示这个变化的速度，牛顿研究了微积分.下面我们来看看，根据开卜勒三定律和牛顿第二定律，怎样用微积分方法推导出万有引力定律.取极坐标系及变动的直角坐标系如图 1-1 所示.由（2），行星在单位时间内扫过
3、的面积为：221rA 进而引入单位向量jiainujiurcossincos 则r又可表示为 jrirrurrsincos （1）O x y ur U d 利用 rruuuu*可得出：ururrr*rurrr)(2 （2）（2）中的u方向的分量为零，这说明*/rr.现将椭圆方程改写成 )1(),1(cos12222eabeapepr (3)其中ba、为椭圆的两个半轴，e为离心率.对（3）中的r关于t求导两次：sin2sincos1)cos1(sin22pAepeepeper )(22cos12cos2*rpprApeApeeApAer 注意到 22rA，故 22)()2(prrpAr (4)根
4、据（4）可计算得：2242322)2()2()()2(prArArprrpArr (5)将（5）代入（2），并根据牛顿第二定律立即可知，作用力与2r成反比.进而可以证明，比例系数pA/)2(2是一个绝对常数。即与哪一颗行星无关.事实上，记行星运行周期为T，则abTA.由（3），KKaT,22为绝对常数，故：KapKaabpTabpA232222)()(此即需证.根据以上分析可知，作用于任一行星上的力，方向在太阳与行星的连线上，指向太阳；其大小与两者之间距离的平方成反比，比例系数pA/)2(2是一个绝对常数，这就是万有引力定律.机械与人工的调配问题 某工程公司采用机械和人力联合作业的形式在各个工
5、地进行施工。经长期统计分析知，每周完成的工程量W与投入施工的机械台数x和工人人数y之间有如下的关系：2328yxW 一个时期以来，A工地一直是 9 台机械和 16 名工人在施工。如果这个时候需要从A工地抽调一台机械支援B工地，则应补充多少名工人，才能使A工地的工程进度不受影响呢？由于A工地现在每周的工程量为 4 1 4 7 21698232169yxW 因此，上述问题即转化为在工程量 41472 保持不变的情况下，如何根据关系式 4 1 4 7 28232yx 即 5184232yx 求出工人人数 y 相对于机械台数 x 的变化率。利用隐函数求导法，上式两边同时对 x 求导，得 0232212
6、23yyxxy 从而当0 x、0y时，有 xyyxxyy3423221223 于是 337.22764169yxy 这里的负号表示人数与机械台数变化的方向正好相反，即这时减少一台机械，大约需要增加 3 名工人才能使工程进度不受影响。海底能处理放射性废物吗？海底能处理放射性废物吗？有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理委员会）是这样处理浓缩性放射性废物的，他们将这些废物装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深 91.4m的海里。他们一再保证，圆桶非常坚固，决不会破漏，保证安全，然而许多工程师表示怀疑，认为圆桶在和海底碰撞时有可能发生破裂。实验证明，圆桶速度达到 12.2m/s 时，碰撞下会发生破
7、裂，圆桶装满放射性废物时重量约为 W=239kg，在海水中受的浮力为 B=213.2kg，圆桶所受海水阻力D 与圆桶速度v成正比，比例系数 C=0.119。设y为圆桶在某一时刻t的深度，那么有 gWmdtdyCBWdtydm，22 （1）或 mBgvmCdtdv 这个方程满足初始条件0)0(v的解为 TmCCBWtvexp1)(当t时，可求出圆桶的极限速度为smCBW/217，这个速度是相当大的。为了求出圆桶与海底碰撞的速度，我们将速度v表示为下沉速度y的函数，由 dydvvdtdydydvdtdv（1）式成为 ，CvBWdydvmv当00vy，解此方程得 bWCvBWgCBWWvgCWyln)(2 由此可求出当y=91.4m 时，v约为 13.7m/s。另一方面，容易知道v是y的增加函数，当v=12.2m/s，y=72.5m。因此，当y=91.4m 时，v12.2m/s(g=9.8m/s2)。现在美国原子能委员会已经禁止将放射性废物抛入海中。