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1、计算流体力学基础讲义 1 第二章 流动控制方程的推导及其物理含义的讨论、适用于CFD 计算的控制方程形式 同学们好！欢迎回到慕课课堂。本次课我们学习 2.3 节实质导数和 2.4 节速度的散度及其物理意义。2.3 实质导数 实质导数的概念对于学习过微积分、空气动力学或流体力学的同学，是一个复习。由于在针对随流体运动的流动模型推导流动控制方程时，我们会频繁地用到实质导数这个具有非常重要物理意义的表达式，因此，我们需要复习并加深对实质导数DDt这个空气动力学中常用的计算符号的理解。如图 2.3 所示，基于运动的无限小流体微元模型，一个无限小的流体微元，在笛卡尔空间中的位置点 1 运动到位置点 2。
2、在位置点 1 处，为 t1时刻，速度为矢量 V1；当流体微元运动到 2 点，时间为 t2时刻，速度为矢量 V2。图 2.3 运动流体微元实质导数的示意图 可以将速度矢量 V 在笛卡尔空间中用V i j kuvw表示，i，j，k 分别代表 x、y、z 轴的单位矢量，u，v，w 分别是 x、y、z 方向的速度分量。这里我们考虑一般的非定常流动，因此这三个速度分量都是坐标 x，y，z 和时间 t 的函数。(,)(,)(,)uu x y z tvv x y z tww x y z t 运动流体微元的密度为一标量，也是坐标 x，y，z 和时间 t 的函数，流体微元在时刻 t1，位置点 1，密度为1，该流
3、体微元在时刻 t2，运动到位置点 2，密度为2。对于函数，我们可以在位置点 1，时刻 t1进行 Talor 级数展开，得到2的近似表达式：计算流体力学基础讲义 2 21212121111211()()()+()()xxyyzzxyzttt高阶项 两边同时除以 t2-t1，忽略高阶小量，就得到公式（2.1）。等式左边的物理意义是流体微元从位置点 1 运动到位置点 2，其密度随时间的平均变化率。21212112121211211121()()()()()()xxyyttxttyttzzzttt (2.1)现在对等式两侧同时取极限，即 t2无限趋近于 t1时，（2.1）式左端变成了流体微元在 t1时
4、刻，经过位置点 1 时的密度随时间的瞬时变化率，采用符号DDt表示:212121limttDttDt 注意，DDt是给定流体微元的密度在空间运动时随时间的变化率，我们的眼睛锁定在随流体运动的给定无限小流体微元上，关注的是流体微元在经过位置点 1 时，流体微元密度随时间的变化率，DDt与t不同，对于t，我们的眼睛固定在静止位置点 1 上，关注的是流场中由于瞬时变化而引起的密度变化，因此，DDt与t在物理上是完全不同概念，在数值上也是不同的量。t是固定点上密度随时间的变化率。回到公式（2.1)式，对等号左、右端分别取极限，等号左端为DDt，右端项中21-xx除以21-tt为流体微元通过位置点 1
5、时的 x 方向瞬时速度 u，21-yy除以21-tt为流体微元通过位置点 1 时的 y 方向瞬时速度 v，同理，21-zz除以21-tt等于 z 方向的瞬时速度 w。212121limttxxutt 212121limttyyvtt 212121limttzzwtt 计算流体力学基础讲义 3 这样，我们就得到了密度的实质导数公式-(2.2)式。DuvwDtxyzt （2.2）仔细观察（2.2）式，我们可以看出，实质导数在笛卡尔坐标系中的表达式为（2.3）式：DuvwDttxyz （2.3）另外，也可以在笛卡尔坐标系中用矢量算子（哈密尔顿算子）来表示实质导数。（2.4）式为哈密尔顿算子：ijkx
6、yz （2.4）实质导数用哈密尔顿算子可以表示为（2.5）式的形式：()DVDtt （2.5）其中对 t 求偏导这一项t表示当地导数，它的物理意义是固定点上的物理量随时间的变化率，英文对应为 local derivative。速度矢量与哈密尔顿算子的点乘V 是迁移导数或对流导数，它的物理意义是流体微元从空间的一个位置运动到另一个位置而产生的某变量随时间的变化率，英文对应为convective derivative。实质导数计算公式（2.5）适用于流场中任何变量，如：()DppppppVpuvwDtttxyz 代表运动流体微元的压强的时间变化率。又如：()DuuuuuuVuuvwDtttxyz
7、代表运动流体微元的 x 方向速度的时间变化率，即 x 方向的加速度。又如公式（2.6）：()DTTTTTTVTuvwDtttxyz （2.6）代表运动流体微元的温度 T 的时间变化率。我们进行前面的推导的目的就是希望给出一个关于实质导数的物理感觉，了解实质导数是由当地变化率和迁移变化率两部分组成的。如果从微积分的角度出发，根据微分计算的链式法则，实质计算流体力学基础讲义 4 导数就是全导数。如果(,)x y z t，由公式（2.7）到（2.8）,再到（2.9）的推导，可以明显看出，实质导数就是全导数。ddxdydzdtxyzt （2.7）ddxdydzdtx dty dtz dtt （2.8）
8、因为，,dxdydzuvwdtdtdt，所以（2.8）式变为：duvwdttxyz （2.9）即dDdtDt。对比前面讨论的两种实质导数的表达公式（2.3）和（2.5），我们会发现，用哈密尔顿算子形式V 来表达迁移导数项，公式更加简明，哈密尔顿算子ijkxyz 在流体力学中经常用到，希望同学们了解并掌握。同学们只要牢记，哈密顿算子的运算规则是既要对作用于其后的变量求偏导，也要参与相应矢量运算。如通过相应矢量运算：V(ijk)(ijk)uvwuvwxyzxyz 就可得到迁移导数的表达式。变量的求散度亦可用哈密尔顿算子点乘速度矢量 V 表示，例如速度的散度：V(ijk)(ijk)uvyuvwxyz
9、xyz 用哈密尔顿算子形式表示十分简明（V）。标量的梯度也可以用哈密尔顿算子表示，如压强的梯度用哈密尔顿算子表示也很简明（p）。(ijk)ijkpppppxyzxyz 计算流体力学基础讲义 5 2.4 速度的散度及其物理意义（The Divergence of the Velocity：Its Physical Meaning）在分析了实质导数的定义和物理意义之后，我们开始 2.4 节速度的散度及其物理意义的学习。当我们推导流体力学控制方程时，经常会出现散度项，因此在进行控制方程的推导之前，我们有必要学习一下速度的散度及其物理意义。考虑控制体随流体一起运动，即采用我们前面讨论过的随流体运动的有
10、限控制体模型。控制体总是由相同流体质点组成，控制体的边界以当地流体质点的流动速度运动，因此它的质量是固定不随时间变化的。然而它的体积 VV 和控制面 S 会随着时间不断变化，因为它运动到不同的空间区域时存在不同的密度值。因此这种运动的控制体质量是常数，它的体积或增大或减小，形状也会因流动特性不同发生变化。图 2.2（b）随流体运动的有限控制体，控制体始终包含相同的流体质点运动 现在考虑如图 2.4 所示的、某一瞬间随流体运动的有限控制体，控制体表面上一无限小的微元面积 dS 以当地速度 V 运动。图 2.4 用于速度散度物理解释的随流体运动的有限控制体 计算流体力学基础讲义 6 经过时长t 后
11、，控制体的体积变化了VV，VV 就是以 dS 为底，以（Vt）n 为高的一个细长柱体的体积，其表达式为（2.10）式：()()dSV tn dSV t V (2.10)这里矢量 n 是微元面 dS 的外法向单位矢量。将(2.10)式在整个控制面 S 上积分，则得到运动控制体在时间间隔t 内总的体积变化：dSSV t。对这个积分除以t，其结果的物理意义是控制体体积随时间的变化率：1dSdSSSDV tVDtt V （2.11）因此（2.11）的左端为实质导数。应用高斯定理：dS()SVV d VV 我们就得到了（2.12）式：()DV dDtVVV （2.12）假设运动控制体体积为足够小，即VV0，以至于速度的散度在整个小体积V中基本为常数，则（2.12）式的体积分可以写成()VV，即()DVDt V)V (2.13)也即是：1(DVDtV)V (2.14)由（2.14)式我们可以得到速度散度的物理意义为：速度散度表示了运动流体微元的体积随时间的相对变化率。因为（2.14）式右端的微元体积的实质导数除以了微元体积V，所以速度散度是体积随时间的相对变化率。本次课就到这里，谢谢大家。