数学宇宙的语言 (10).pdf

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1、第第 6 讲讲 站在巨人的肩膀上站在巨人的肩膀上开普勒行星运动三定律开普勒行星运动三定律与万有引力与万有引力定律定律 第第 1 节节 微积分概览微积分概览数学刻画自然的威力数学刻画自然的威力 如果将微积分比喻成一座巍峨的大厦，那么其构成可以简单描述为：以函数、极限为基础，以微分学和积分学为两大支柱，以微积分基本定理为联系桥梁的大厦.1.1 函数函数、极限、极限微积分的研究对象微积分的研究对象及工具及工具 1.1.1 函数函数 数学中出现的最重要的一类关系就是函数关系 函数概念的产生和发展至今已有 300 多年历史，其演变过程，是人们在对客观世界深入了解的基础上，为适应新的需要而不断地挖掘、丰富

2、和精确刻画其内涵的历史过程 通常在某一个具体的讨论中，我们需要确定一个固定的集合，并且一切讨论仅仅关于它来进行，这时，这个固定的集称为论域，微积分的论域为实数集R 在微积分的理论研究与实际应用中，人们总结出六类常用的最基本的函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，称为基本初基本初等函数等函数.六类基本初等函数以及由这些函数经过有限次四则运算与（或）有限次复合而得到的并可以用一个解析式表示的函数，称为初等函数初等函数一切不是初等函数的函数称为非初等函数非初等函数 初等函数是微积分研究的一类主要函数，初等函数有一些良好的性质，例如：初等函数在各自有定义的区间内连续，初等函

3、数的导数（在其可导的范围）仍然是初等函数，初等函数在其有定义的区间上存在原函数等另外，初等函数除了解析表达式外，还可以在一定条件下用无穷级数表示，而且非初等函数也可以用初等函数做逼近 一般地，两个非空集合A与B间存在着某种对应法则f，且对于A中的每一个元素x，按照对应法则f，B中总有唯一的一个元素y与之对应，则称f为从A到B的映射映射，记作BAf:其中y称为元素在映射f下的象，记作)(xfy=，x称为y关于映射f的原象，集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作)(Af 微积分中讨论的函数是在实数集内讨论的映射映射（也称算子）是函数概念在一般意义下的推广，例如，实变函数是在实数集内讨论的

4、映射，复变函数是在复数集内讨论的映射，泛函是指函数的函数等 1.1.2 极限极限微积分的研究工具微积分的研究工具 极限有定性描述的定义，也有定量描述的定义，但是定性描述的语言含糊、不确切，因此需要严谨的定量描述，没有定量描述的定义，就不能发展极限理论，微积分的基础也无从谈起 数学史上著名的“第二次数学危机”，起因是对“无穷小量到底是不是零？”的回答而产生的悖论，原因在于当时的极限理论基础尚未严格建立起来.牛顿在 1704 年发表了曲线的求积一文，其中他确定了3x的导数牛顿称变量为“流量”，称流量的微小改变量为“瞬”，即“无穷小量”，变量的变化率称为“流数”下面以求函数3xy=的导数为例，说明牛

5、顿的流数法设流量x有一改变量“瞬”，牛顿以拉丁字母“”记之，相应的，y便从3x变为3)(+x，则y的改变量为 3223333)(+=+xxxx，求比值 223333)(+=+xxxx，再舍弃有因数的项，于是得到3xy=的流数为23x 牛顿认为他引入的无穷小量“”是一个非零的增量，但又承认被“”所乘的那些项可以看作没有 先认为“”不是数 0，求出y的改变量后又认为“”是数 0，这违背了逻辑学中的排中律这个推导中关于“无穷小量”，到底是不是数“0”或者究竟是什么，说不清楚！整个推导充满了逻辑上的混乱 及至 19 世纪，在微积分严格化的进程中，经过大量数学家的努力，特别是法国数学家柯西（A.L.Ca

6、uchy，17891857）和德国数学家魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，18151897），才有了今天我们在任何一本微积分的教科书上都能看到和大学都学习的数列极限、函数极限定量描述的“N”、“”等语言，确切严谨的极限的理论彻底解决了第二次数学危机，微积分得以建立在坚实的基础上 微积分中最重要的概念，如导数、定积分都是一种特殊形式的极限，极限因此成为微积分最基本的研究工具 1.2 微分学和积分学微分学和积分学微积分的两大支柱微积分的两大支柱 1.2.1 微分学微分学变化率及微小改变量的估值变化率及微小改变量的估值 在微分学中，我们都知道，导数的来源背景包括几何上求曲线在一点切线的斜率；

7、物理上求变速直线运动物体在某一时刻的瞬时速度粗略说，导数描述一个事物的变化速率，在我们的生活中，导数无处不在，例如，地理学中的坡度、经济学中的边际收益、金融学中的增长率等等 回顾抽象出来的函数导数的精确定义 定义定义 1 1 设函数()yf x=在点0 x的某一邻域内有定义，当自变量x在0 x处有增量x时，相应的函数有增量00()()yf xxf x=+，若极限0limxyx 存在，则称这个极限为函数()yf x=在点0 x处的导数导数（或微商），记作0()fx，即 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx +=，导数也可记作0 x xy=，0ddx xyx=，或0ddx

8、 xfx=，此时也称函数()f x在点0 x处可导可导；若上述极限不存在，则称函数()f x在点0 x处不可导 定义定义 2 若函数()yf x=在某区间I的每一点都可导，则称()f x在在区间I内可内可导导此时，对于任意的xI，都有一个确定的导数()fx与之对应，则()fx是定义在I上的函数，称为函数()f x的导函数的导函数（简称导数导数），记作()fx，y，ddyx或ddfx 由定义 1 知，计算导函数的公式如下 00()()()limlimxxyf xxf xfxxx +=按照导数的定义，就可以发展出各种求导数的运算法则和基本公式：导数的四则运算法则、复合函数求导的链式法则、基本初等函

9、数的求导公式等 定义定义 3 设函数()yf x=在点x处有增量x，若相应的函数增量y可表示为 ()yA xx=+，其中A为与x有关，与x无关的常数，A x称为y的线性主部线性主部，()x是较x高阶的无穷小，则称函数()yf x=在点x处可微可微，并称A x为函数()yf x=在点x处的微分微分，记作dy或d(f x），即 dd()yf xA x=，从而有 d()yyx=+微分实际上就是函数微小改变量的估值，函数()yf x=在点x可导和可微等价，且有dd()()dyf xfxx=，因此微分可应用于函数值的近似计算和误差估计 牛顿以导数的思想表达位置函数x、速度函数v和加速度函数a之间的关系，

10、得到ddxvt=，ddvat=（其中t表示时间）这里虽然位置x、速度v都是向量函数，但由于向量均可以用其数量分量表示，向量函数的求导就是对其数量分量分别求导形成的向量 例例 1 设平面上的向量函数 为()cossinr trirj=+，其中(),rr t=()t=为 时间t的标量函数,求ddrt和22ddrt 解()cossin(cos,sin)r trirjrr=+=，d(cossin,sincos)d(cossin)(sincos),rrrrrtrrirrj=+=+222222d(cos2sincossinsin2cossincos)d(cos2sincossin)(sin2cossinc

11、os).rrrrrrrrrtrrrrirrrrj =+=+，1.2.2 积分积分学学无限小无限小量量的累加的累加效果效果 积分学包括不定积分和定积分两部分内容，不定积分是作为求导运算的逆运算出现的定积分则来源于几何上求曲边梯形的面积，物理上求变速直线运动物体所走过的路程定积分可以应用于已知变化率求总量的诸多领域的实际问题中 定积分的抽象定义如下 定义定义 设函数()f x在闭区间,a b上有界，任取1n个分点（称为,a b的一个分法）：0121nnaxxxxxb=，将 闭 区 间,a b分 割 成n个 小 区 间1,iixx，第i个 小 区 间 的 长 度 为1,iiixxx=(1,2,)in

12、=，记1maxii nx=在每个小区间1,iixx上任取一点i，作和式 1()niiifx=，若当0时，此和式的极限存在，且极限与,a b的分法及点i的取法无关，则称函数()f x在,a b上可积，并称此极限为()f x在,a b上的定积分，记为()dbaf xx，即 01()dlim()nbiiaif xxfx=定积分的内容最早出现在公元前 250 年的古希腊，阿基米德求球体积时采用的“平衡法”，500 多年以后，公元 3 世纪时中国魏晋时期的数学家刘徽求圆面积时采用了“割圆术”，这两种方法事实上都属于基于定积分思想的“穷竭法”1.3 微微分学与积分学的统一分学与积分学的统一微积分微积分基本

13、定理基本定理 尽管导数和积分起源于完全不同的时代、完全不同的国家，有着表面看起来完全不同的数学形式，但二者之间却存在一种重要的联系经过漫长的近 2000年的时间，牛顿和莱布尼兹发现了这个神奇的纽带微积分基本定理微积分基本定理一般有微分和积分两种形式（1）微分形式：若()f x在,a b上连续，则变上限定积分 ()()dxaF xf tt=，,xa b 是()f x在,a b上的一个原函数，即 ()()F xf x=，,xa b（2）积分形式：设()f x在,a b上连续，且()F x是()f x在,a b上的一个原函数，则 ()d()()baf xx F bF a=微积分基本定理的积分形式更为

14、常用，其中的公式即为著名的牛顿-莱布尼兹公式 牛顿最初也曾采用“穷竭法”研究过一般的求定积分的问题，但都没有成功，于是他从物理学角度出发考虑，以非凡的洞察力，终于有了惊人的发现设作变速直线运动的质点的路程函数为=()s s t，则瞬时速度为()()v ts t=若考虑质点在时间间隔,a b所经过的路程s，那么，一方面，这段路程等于质点在b时刻之 前 经 过 的 路 程()s b减 去 质 点 在a时 刻 之 前 经 过 的 路 程()s a，即()()ss bs a=另一方面，由定积分的物理来源背景知，()dbasv tt=于是，()d()()bav tts bs a=而这里()s t为()v

15、 t的原函数，于是求()v t在,a b上的定积分就转化为求()v t的原函数()s t的问题了，这就是定积分与不定积分的联系 微积分基本定理到底阐述了什么，为什么它如此有用？这是一个值得探讨的问题我们知道，变化率非恒定的情形在现实世界比比皆是，星体在椭圆轨道上的运行速度是变化的，人体内的生物钟也是时快时慢的，涨潮落潮、洋流运动都不是匀速的，对于这些速率非恒定的变化，只有微积分才能简洁而有效地度量出它们累积下来的总体效果在古希腊阿基米德之后近 2000 年的时间里，度量变速变化的总体累积的效果只有一个办法：把整体分割成无数的小块，每块假定速率恒定，然后一块块加总，无限加总是一件非常困难的事情微

16、积分基本定理产生以后，这类问题变得容易求解了，人类向前迈进了一大步因此，可以说微积分基本定理的好处是它极大地提高了计算的效率 下面看一个例子：阿基米德曾借助圆柱和圆锥的体积（他那个时代已知的结果），利用杠杆原理及微元法求球的体积 x D x D 图图 1.推导球体积公式（推导球体积公式（1）设球的直径为D，杠杆左右是不计厚度的薄片（不可分量）2(D)D(D)xx=；用两个圆形薄片（面积分别是2,(D)xxx）代替左边的正方形薄片，而重量之和保持不变，最后令x从 0 增加到D，左边的两个圆薄片分别扩张成为直径为D的球和一个底圆半径和高均为D的正圆锥体右边令x从 0 增加到D，就得到一个底圆半径和

17、高均为D的正圆柱 记球的体积为V，又已知正圆锥的体积为31D3，正圆柱的体积为3D，根据杠杆原理 331D(V+D)D=D,D=2R32，得到球的体积34V=R3 D x 图图 2.推导球体积公式（推导球体积公式（2）事实上，利用现代的微积分，以上步骤就是D304V=(D)dR3xxx=17 世纪微积分创立以后，它就成为了研究“变化”的数学，许多曾在常量数字中无法回答的问题通过微积分得到了有效的解决 而我们生活的世界是运动变化的，利用微积分，不但可以研究行星的运动规律、还可以进行气象预测、将电学与磁学联系起来、描述传染病的传播、预测股票行市德国数学家黎曼曾说：“只有在微积分发明之后，物理学才成

18、为一门科学”所以微积分被称为“宇宙的数学”也就不足为怪了同时，微积分中蕴含了丰富的思想方法，对培养人的理性主义探索精神，建立正确的世界观、科学的方法论大有裨益 第第 2 节节 开普勒行星运动三定律推导万有引力定律开普勒行星运动三定律推导万有引力定律 对于微积分的发明，尽管牛顿和莱布尼兹分别从物理学和几何学出发各自独立地作出了最主要的成就，但对近代自然科学的形成，牛顿的贡献无疑是更重要的，为说明这一点，本节将介绍牛顿是如何发现万有引力定律，从而引发了近代科学的革命 为叙述方便，首先列出开普勒行星运动三定律和万有引力定律 椭圆律椭圆律（开普勒第一定律）行星绕太阳的运动轨迹为椭圆，太阳位于椭圆的一个

19、焦点上 面积律面积律（开普勒第二定律）从太阳到行星的连线在相等的时间内所扫过的面积相等 周期律周期律（开普勒第三定律）行星绕太阳的周期的平方与行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴的三次方成正比 万有引力定律万有引力定律 任何两个物体之间都存在一种相互吸引的力，称为万有引力这个力作用在两物体的连线上，它的大小与两物体质量的乘积成正比，而与两物体之间的距离的平方成反比 开普勒行星运动三定律是开普勒利用几何分析，归纳综合得到的试验性定律，发表在 1618 年出版的开普勒的著作哥白尼天文学概论一书中，这一结果出现时并没有为当时的天文学家普遍接受 牛顿在 1665-1666 年间以开普勒行星运动三定律为基础发现

20、了万有引力定律，并反过来解释了这三定律万有引力的发现成果发表在 1687 年出版的牛顿的著作自然哲学之数学原理中，因为当时微积分缺乏基础理论，极限的语言没有严谨定义，著作中所采用的“流数法”过于晦涩难懂，本讲将采用微积分的现代方式加以表述 2.1 牛顿对面积律（开普勒第二定律）的分析牛顿对面积律（开普勒第二定律）的分析 开普勒行星运动三定律中的面积律是推导万有引力定律的突破口 牛顿通过精细分析，得到了面积律的意义面积律表明行星受到来自太阳的引力作用，反之亦然，即面积律等价于向心力 记平面上的向量函数为 ()()cos()()sin()r tr tt ir tt j=+，（1）其中(),()r

21、tt为时间t的标量函数 将()r t对t求导两次，得到加速度向量为 2222d()(cos2sincossin)d(sin2cossincos).ra trrrritrrrrj=+（2）为化简（2）式，引入如下两个单位向量 cossin,sincos.rneijeij=+=+即矢径方向的单位向量re和与之垂直的单位向量ne 经过化简，（2）式可以改写为 2()()(2)rna trrerre=+.（3）考虑面积律，记矢径从角度为 0 开始到角度为时所扫过的面积为(A），则在极坐标下，有面积计算公式 201()()d2Ar=.根据面积律，将上式对t求导应当为常数，于是，得 2ddd1ddd2AA

22、rCtt=（常数）（4）对最后的等式再求导一次，得 102rr+=（5）将（5）式代入（3）式，得 2()()ra trre=，这表明了加速度与()a t与矢径()r t的方向相同应用牛顿力学第二定律，设m为行星质量，可见太阳对行星的作用力为 2()rFmam rre=.（6）从（6）式可见，力的方向与矢径共线反之，在这个前提下，可见加速度公式（3）中的第二项ne的系数为 0，这就是（5）式成立，（5）式积分后就得到（4）式，即面积律成立 2.2 从开普勒行星运动定律到万有引力从开普勒行星运动定律到万有引力定律定律 面积律分析中并未涉及行星运动的运动规律，这表现在 2.1 节从（1）式开始的分

23、析中并不需要对(),()r tt给出具体的表达式，但是为了继续下去，进一步厘清（6）式中力的含义，就必须计算其中的表达式2rr 为此，必须同时使用椭圆律和面积律这里对椭圆如果采用直角坐标中的标准方程 22221xyab+=并不合适，因此改取太阳的位置为极点，极轴沿椭圆的长轴指向远离另一个焦点的方向，则椭圆可以用极坐标方程表达如下 1cospr=+，01 （7）其中r表示极半径，表示极角，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，0ba，22cab=，ca=是离心率，2bpa=.将（7）式改写为 (1cospr=+），求导，得 0(1cos)sinrr=+,再求导，得 20(1cos)2sincossinr

24、rrr =+，利用（5）式，上式右边第二项与第四项之和为 0，因此得 2cos1cosrr=+.结合椭圆的极坐标（7）式，有 22222221cosrrarrrpb=+.将这个结果代入力F的表达式（6）中，得 222rmaFreb=,由负号可见太阳对于行星的作用力是向心力再次利用开普勒的面积律导出的（4）式，即 212rC=（常数），可以将力F的表达式改写成 22222222()()rrmam aFrereb rr b=.（8）于是就单个行星来说，它在轨道上各点所受的力确实与距离平方成反比，但其中的比例常数由什么决定呢？这时周期律就起了不可替代的作用 开普勒周期律的数学形式是 23Tka=（常

25、数）（9）其中T为行星绕太阳的周期，a为行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴，k在太阳系为常数 利用椭圆面积为ab，且已有2d1d2ArCt=，就可以计算出周期为 2d1d2ababTArt=，代入（9）式，得 2223224()Tbkaa r=.（10）将这些结果代入力F的表达式（6）中，得 222 2222141rraFmremebrkr=（）.（11）于是就证明了：在行星绕太阳的运动中，太阳对行星的作用力为向心力，其大小与距离的平方成反比，其中的系数与行星的质量成正比，这与我们已知的万有引力定律已经很接近了 牛顿又用他最富有创造性的力学运动第三定律，即作用力与反作用力定律，得出结论：在太阳吸引行

26、星的同时，行星也一定以大小相等的力吸引太阳，既然这个力与行星的质量m成正比，那么它也应当同太阳的质量M成正比，这样就得到了我们所熟悉的形式 2rGMmFer=.（12）其中223244 aGkMT M=称为万有引力常数 开普勒行星运动的三定律、微积分工具和牛顿的力学运动定律，它们是牛顿发现万有引力的研究中的三个支柱，缺一不可同时，万有引力定律的发现对它们也有反作用（1）牛顿的力学定律在地面上很难直接验证，正是牛顿对天体运动的分析证实了这三个定律的重要性，并成为牛顿力学的基石（2）微积分在这项工作中显示了巨大的威力，其中存在一些推导中的含混不清，这也促进了微积分的基础研究并且，之后微积分的分析方

27、法成为研究数学模型的主流方向（3）由于万有引力定律的确立，反过来知道作为其出发点的开普勒三定律只是近似正确，使得人类对于包括行星运动在内的天体运动有了全新的认识 第第 3 节节 万有引力定律推导开普勒行星运动三定律万有引力定律推导开普勒行星运动三定律 3.1 由万有引力定律推导面积律由万有引力定律推导面积律 根据万有引力定律，行星受到指向太阳中心的引力（向心力）作用行星在某一时刻的速度向量与太阳中心共同决定一张平面，因为在垂直于这一平面的方向上既没有速度，又没有外力的作用，因此行星以后的运动不会离开这一平面 考虑平面运动，以太阳的中心S为极点，行星P所受的引力为 2rGMmFer=，依据 2.

28、1 节的（3）式知，行星的运动方程可以表示为 2()()()(2)rnF tma tm rremrre=+，（13）从而，有 22()krrkGMr=，20rr+=，后一个方程两边同乘以r，得到 220rrr+=或 2d()0drt=这说明：从太阳到行星的连线在相等的时间内所扫过的面积相等，即面积速度为常数 211()22A trh=（常数）（14）3.2 由万有引力定律推导椭圆律由万有引力定律推导椭圆律 考察方程 22(0)krrkr=，(15)令1ur=，则因为2rh=（常数），得2hu=，从而 22dd11 ddd()dddddruuurrhtuu=，（16）22222222ddddud

29、 ud u()()ddddddrrrhhh utt=，(17)将（16），（17）式代入（15）式，化简得如下一个二阶常系数非齐次线性常微分方程 222d udkuh+=，（18）（18）式对应的齐方程的特解为2kuh=，非齐方程的一般解为 cossinuBCu=+，其中,B C为任意常数 这样，就得到0cos()uLu=+，其中22LBC=+，022cosBBC=+，022sinCBC=+，从而 002111cos()cos()prkuLh=+（其中2h Lk=，2hpk=）（19）这说明：行星绕太阳的的运动轨迹为一圆锥曲线，又因为运转中的行星不会跑到无穷远处去，所以它的轨道应该是一个椭圆（

30、01），太阳位于椭圆的一个焦点上 3.3 由万有引力定律推导周期律由万有引力定律推导周期律 利用椭圆面积为ab及关系式1=2hTab，22hbpka=可以计算行星运动的周期为 222222222222322244244()a ba baba bkkTahbhhkka=，（20）其中kGM=是一个常数 这说明：行星绕太阳的周期的平方与行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴的三次方成正比 2234Tak=（常数）万有引力定律推导开普勒行星运动三定律的重要意义在于指出了一个宇宙中普适的规则任何受到与距离平方成反比的有心力作用的物体，都遵循与行星运动相类似的运动规律于是，我们知道，月球绕地球运动遵循类似规律，人造卫星绕地球运动遵循类似规律，原子内部的电子绕原子核运动也遵循类似的规律