数学宇宙的语言 (17).pdf

《数学宇宙的语言 (17).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学宇宙的语言 (17).pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第第 10 讲讲 广义相对论的一把钥匙广义相对论的一把钥匙 黎曼几何黎曼几何 第第 1 节节 广义相对论基本假设与引力的本质广义相对论基本假设与引力的本质 广义相对论由爱因斯坦于 1915 完成,是一个关于时间、空间和引力的理论,首次把引力场解释成时空的弯曲.其最被人熟知的两句话来自惠勒：物质告诉时空如何弯曲,时空告诉物质如何运动.1.1 广义相对论基本假设广义相对论基本假设 狭义相对论认为时间、空间是一个整体,能量、动量也是一个整体,但没有明确指出时间-空间和能量-动量之间的关系,即时空与物质互不影响,4维的闵氏时空是平直的.如何将二者有机的结合起来,要面对如下两个非常重要的问题.首先我们知

2、道,牛顿万有引力理论认为引力是一种超距力：122GmmFr=引,图图 1.牛顿万有引力定律牛顿万有引力定律 这使得两个通过引力相互作用的星体,其中一个位置发生变化,另一个会立刻感受到引力的变化.而根据狭义相对论,光速是信息传播的上限,因此两个相距很远（比如 1 光年）而相互吸引的物体,如其中一个位置改变,另一个感受到此引力的变化需要较长的时间.即牛顿引力理论与狭义相对论存在着矛盾.其次,在广义相对论之前,爱因斯坦提出的狭义相对论,其基本原理如下：狭义相对性原理（物理规律在所有惯性参考系下具有相同的数学形式）；光速不变原理.如何定义狭义相对性原理中的惯性系呢？牛顿是通过水桶实验来证明绝对参考系的

3、存在,相对于绝对参考系静止或做匀速直线运动的参考系即为惯性系.图图 2.牛顿水桶实验牛顿水桶实验 在图 2 中,桶中的水升高显示它脱离转轴的倾向,表明了水真正的、绝对的圆周运动.在开始时,即图 2（a）桶与水都静止,水面保持水平.接着,图 2（b）桶中水的相对运动最大,但并无离开转轴的倾向：水保持平面,既不偏向边缘、也不升高,说明圆周运动尚未真正开始.后来,即图 2（c）桶与水的相对运动减小,水有离开转轴的倾向趋于边缘,说明水真正的圆周运动在不断增大,直到它达到最大值与桶相对静止,水面形成凹陷.最后,图 2（d）桶不动,水还在旋转,桶中水的相对运动最大,水面凹陷.这说明水的运动倾向不依赖于水相

4、对周围事物的相对运动,而是取决于某个绝对参考系,亦即牛顿所说的绝对空间.马赫却认为并无绝对参考系的存在,水面保持平面或离开转轴趋于边缘,取决于水相对于宇宙中所有物质运动与否,这一点启发了爱因斯坦.我们知道狭义相对性原理要求惯性系平权,而惯性系只是众多参考系中比较特殊的一个,因此物理规律应该与参考系的选取无关.在牛顿的自然哲学的数学原理中,对质量有 2 种定义：一种被称为物质的量,用来度量所受引力的大小,这种质量被称为引力质量,记为m引.另一种质量的定义是通过牛顿第二定律来实现的,我们把它称为是惯性质量,即这个物体的惯性大小的一种量度,记为m惯.牛顿认为惯性质量跟引力质量是等价.牛顿意识到这一点

5、后,曾经设计过一些精巧的实验来验证.比如研究木块、铁块、石块的自由落体,发现当忽略掉空气阻力之后,木块、铁块、石块将会以相同的加速度同时落地,也就是说木块、铁块、石块所受重力产生的加速度不依赖于这些物体本身的材质,也就是 引 =惯 .要想使得永远是等于的话,那么必须 mm=惯引,不依赖于物质的选择.牛顿意识到这一点之后,还设计了单摆实验来更加精确地证明.所以惯性质量和引力质量相等是整个牛顿力学的基础之一,爱因斯坦也把这一条也作为广义相对论的第二条基本原理,这也是将引力作用与加速作用等效起来的关键.我们接下来比较牛顿和爱因斯坦的时刻观.图图 3.牛顿与爱因斯坦的时空观牛顿与爱因斯坦的时空观 对图

6、 a 的情景,牛顿认为这是一个惯性系、相对于绝对参考系是匀速运动的或是静止的.而爱因斯坦认为,由于重力场的存在,图 a 的情景是非惯性系,整个系统可以等效的看作是在作向上的加速运动.对图 b 的情景,牛顿认为这是一个非惯性系、相对于绝对参考系在做加速运动.而爱因斯坦认为,向下的重力加速度和由重力场等效产生的向上的加速度是相互抵消的.在下落的空间中一切物理规律,与相对地球静止或匀速运动的惯性系并无不同.所以整个系统可以等效的看作是一个惯性系.综上所述,广义相对论的基本原理如下：广义相对性原理（物理规律在所有参考系下具有相同的数学形式）,该原理实现了惯性系和非惯性系的平权；等效原理：惯性质量和引力

7、质量相等.1.2 引力的本质引力的本质 广义相对论的突破之一是通过等效原理把加速效应和引力效应等价,而突破之二是将引力的本质看作是时空的几何效应而非真实的力,是质量存在使得时空弯曲的结果.而星体公转的类圆轨道是四维时空的惯性运动,沿四维时空的短程线,即测地线运动.这点可以从如下类比得出.mm=惯引的事实等价于初始位置和速度相同的、除引力外不受力的任何物体在引力场中都“齐步走”这种毫无个性的集体行为强烈地暗示着引力是整个时空背景的内禀性质,与所有其他力有着实质性的差别物理学是研究物理客体运动规律的学问,物理客体好比演员正如演员的表演不能没有舞台一样,物理客体的演化也总是在时空这个舞台上进行的 假

8、如你看演出时发现某个演员的头顶突然下降了 20 cm,你会认为他蹲下了假如舞台上所有演员以及桌面、椅面都同时下降了 20cm,那么最大的可能就是舞台台面由于某种原因下降所致类似地,在引力作用下的“齐步走”现象分也暗示着引力本身是一种时空背景效应.图图 4.引力与时空弯曲引力与时空弯曲 广义相对论指出,时空与物质之间存在本质联系、相互影响：能量-动量的存在会使 4 维时间发生弯曲,弯曲的时空又会反过来影响物质的运动.物质产生的引力其实并不是真实的力,而是时空弯曲的表现.因此原本在万有引力作用下运动的质点,在广义相对论中事实上没有受到力,是在弯曲时空的自由运动,即惯性运动.它在时空中描出的世界线,

9、虽然不是直线,却是直线在弯曲时空中的推广测地线.爱因斯坦采用数学家们已经得到的测地线方程作为决定弯曲时空中自由质点如何运动的“运动方程”.第第 2 节节 黎曼黎曼几何几何与与爱因斯坦场方程爱因斯坦场方程 2.1 黎曼黎曼几何几何 广义相对论与几何学有密切的关系.几何学反映的是人对空间关系的认识.之前人们只是在较小的空间尺度接触较弱的引力,这种情况下时空的弯曲可以忽略不计,在此基础上发展起来的欧几里得几何学,反映了平直空间的实质.然而广义相对论告诉我们,时空本质上是弯曲的,因此描述时空应当使用更具一般意义的非欧几何学.正如在第 3 讲中谈到的,对于欧氏几何第五公设的研究,掀起了几何学的大变革,非

10、欧几何由此产生.如图 5 所示.图图 5.3 种非欧几何种非欧几何 黎曼在 1854 年在哥廷根大学发表的题为论作为几何学基础的假设的就职演说中提出的几何学,通过截面曲率K的不同取值,将欧几里得几何和非欧几何作为其特例：K=0,为欧几里得几何；K 0,为椭圆几何（黎氏几何）；K 22时,会有 1 2.也就是说,越靠近星体,时间变得越慢.这就可以用来解释引力红移现象.引力红移现象可以看作是多普勒效应在相对论中的体现,指的是强引力场中天体发射的电磁波波长变长的现象.由上面的讨论知道,靠近强引力场的时钟要走得慢些.当从远离引力场的地方观测处在强引力场中的辐射发射出来的谱线时,由于强引力场中的时间更慢

11、,所以谱线到远离引力场的地方周期会变大,频率变小,因此其波长会变长一些.因为可见光中红光的波长最长,所以此现象被称为是红移效应.爱因斯坦 1911 年在引力对光传播的影响一文中就讨论了这个问题,后来的实验结果与与爱因斯坦的理论值完全符合.3.1.2 水星近日点进动水星近日点进动 水星是距太阳最近的一颗行星.按牛顿的天体力学理论,水星的运行轨道应当是一个封闭的椭圆.但实际上水星每转一圈,它的轨道的长轴也略有转动,称这一现象为水星的进动.天文学家勒维耶最先发现水星近日点进动的观测值,比根据牛顿天体力学定律所计算的理论值每百年快 38 角秒.最初他猜想可能在水星以内还有一颗小行星对水星的引力导致两者

12、的偏差.可经过多年的搜索,天文学家们始终没有找到这颗小行星.后来纽康姆通过更精密的计算得出水星近日点多余进动值为每百年 43 角秒.爱因斯坦根据广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力场中的运动,由于太阳的质量造成周围空间发生弯曲,使行星每公转一周近日点进动为)1(2422222ecTa=其中 a 为行星轨道的长半轴,c 为光速,e 为偏心率,T 为公转周期.对于水星,计算出=43/百年,正好与纽康姆的结果相符,一举解决了牛顿引力理论多年未解决的悬案.3.1.3 光线的引力偏转光线的引力偏转 广义相对论认为,由于引力场带来了时空的弯曲,那么可见光或其他波段的电磁波穿过引力场时,会沿著弯曲空

13、间中的测地线前进,也就是说,引力会使光线弯曲.图图 8.光线光线偏转偏转 在物理学上,光线弯曲早有预言.早在 1704 年,坚持光微粒说的牛顿就提出,大质量物体可能会象弯曲其它有质量粒子的轨迹一样,使光线发生弯曲.牛顿力学把微粒当做有质量的粒子,预言光线经过太阳时会发生 0.875 角秒的偏折.而爱因斯坦根据广义相对论算出太阳边缘星光的偏折度为 1.75 角秒,比牛顿理论正好大了 1 倍.爱丁顿和戴森的观测队利用 1919 年 5 月 29 日的日全食进行观测的结果,验证了光线弯曲这一理论预测,同时根据测量数据,肯定了广义相对论是正确的.3.2 史瓦西解史瓦西解 正像之前所说,爱因斯坦场方程是

14、一个由十个非线性的偏微分方程组成的方程组,对它的求解非常难.事实上爱因斯坦本人也没有得到一个精确的解析解,他用相对论来解释的物理现象,主要根据的是所谓的近似解.第一个求解出爱因斯坦场方程的精确解的人是德国的著名的天文学家、物理学家史瓦西.图图 9.黑洞黑洞 史瓦西解被称作是史瓦西度规,事实上是一个球对称的场方程解,即它假设一个质量分布成球对称的物体,在周围时空中产生的时空弯曲效应.它的形式如果如下：()122222222222211sinGMGMdsc dtdrrddc rc r=+.通过这个表达式我们可以看出史瓦西解有两个奇点.第一个奇点是在 0r=处的点,第二个奇点是在 22GMrc=处的

15、点.这两个奇点事实上有它自身的物理意义,与黑洞的理论有密切的关系.黑洞是现代广义相对论中预言的、宇宙空间内存在的一种天体.其引力很大使得视界内的逃逸速度大于光速.史瓦西解表明,如果将大量物质集中于空间一点,其周围会产生奇异的现象,即在周围存在一个界面,一旦进入这个界面,即使光也无法逃脱.这个界面称为黑洞的视界.因此史瓦西解的第一个奇点0r=是黑洞的本性奇点,代表时间的终点;而第二个奇点22GMrc=事实上是黑洞的视界半径.从经典力学的观点,我们也可以得到视界半径.事实上,一个具有质量为的一个天体,在距离它处所具有的引力势能是=.如果它的引力强到连光都不能够从它的引力场中逃逸出来的话,那么它的引

16、力势能将会正好抵消掉光所具有的动能,也就是说 212GMmmcr=,因此 22GMrc=.这就是拉普拉当年利用错误的观点得到的正确的黑洞视界半径的公式.利用史瓦西解,可以看出来,当22GMrc时,即在视界半径以内的时候,时间项就会变成正的,也就是说在视界内部时间的方向是沿着径向指向黑洞的中心.而空间的径向就变成负的,从而导致了时空的对换.3.3 引力波引力波 由于引力引起时空的弯曲,那么变化的引力场自然会产生时空弯曲中的波动变化.在物理学中,这种时空弯曲中的涟漪,通过波的形式从辐射源向外传播,并以引力辐射的形式传输能量,被称为引力波.在 1916 年,爱因斯坦基于广义相对论预言了引力波的存在.

17、最近十年,针对引力波的探测实验正如火如荼的进行中.各种各样的引力波探测器正在建造或者运行当中.比如激光干涉引力波天文台（LIGO）从 2015年 9 月份开始运行观测,探测可能的引力波探测源,包括致密双星系统,如白矮星、中子星和黑洞等等.图图 10.引力波引力波 2016 年 2 月 11 日,LIGO 团队宣布人类对于引力波的首个直接探测结果,所探测到的引力波来源于双黑洞并合.两个黑洞分别估计为 29 及 36 倍太阳质量，这次探测为物理学家史上首次由地面直接成功探测引力波。同年 6 月 15日，LIGO 团队再次宣布，第二次直接探测到引力波.所探测到的引力波也来源于双黑洞并合.两个黑洞分别

18、估计为 14.2 及 7.8 倍太阳质量.从黑洞和引力波的理论预言到实验发现的过程中,理性的光辉处处闪耀.以数学为工具,以思辨为手段,以求知为目标,在未来我们一定可以在探索宇宙奥秘征程中走的更高更远.推荐主要阅读资料推荐主要阅读资料 10 1 美 爱因斯坦 著,杨润殷 译,胡刚复 校.狭义与广义相对论浅说.北京：北京大学出版社,2005：第二部分 广义相对论.2 俄 朗道,栗弗席兹 著,鲁欣,任朗,袁炳南 译,印振隆 校 场论（第 8版）北京：高等教育出版社,2012：第十一章 引力场方程,第十二章 引力物体的场.3 梁灿彬,曹周键 著.从零学相对论北京：高等教育出版社,2013：第 6章 广义相对论初步,第 8 章 史瓦西时空.4 刘辽,赵峥 著.广义相对论（第二版）.北京：高等教育出版社,2008：第一章 广义相对论的物理基础,第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述.5 德 狄拉克 著.广义相对论.北京：世界图书出版公司,2011.