数学宇宙的语言 (5).pdf

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1、第第 3 讲讲 从几何原本谈起从几何原本谈起公理化的数学公理化的数学 第第 1 节节 欧几里得的几何原本欧几里得的几何原本 几何原本（以下简称原本）是古希腊数学家欧几里得的一部不朽的著作，集整个古希腊数学的成果和精神于一身，既是数学巨著，也是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识该书问世 2000 多年，历经多次翻译和修订，至今有 1000 多种不同版本，是欧洲数学的基础，被认为是历史上最成功的教科书，在西方是仅次于圣经而流传最广的书籍 1.1 原本中的定义、公理和公设原本中的定义、公理和公设 欧几里得的原本（图 1）大约成书于公元前 300 年，全书共分 13 卷书中包含了 23 个定义

2、、5 条公理、5 条公设和 467 个命题欧几里得采用了与前人完全不同的叙述几何学的方式：先提出定义、公理和公设，然后运用逻辑推理由简到繁地将当时所掌握的全部几何学知识推演出来，构成了一个演绎系统后人把欧几里得建立的几何理论称为“欧氏几何”图图 1.欧几里得与几何原本欧几里得与几何原本 原本中包含了如下 23 个定义 定义 1 点是没有部分的 定义 2 线只有长度而没有宽度 定义 3 一线的两端是点 定义 4 直线上各点均匀地排列 定义 5 面只有长度和宽度 定义 6 面的边缘是线 定义 7 平面是它上面的线一样地平放着的面 定义 8 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度

3、 定义 9 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角 定义 10 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线 定义 11 大于直角的角叫钝角 定义 12 小于直角的角叫锐角 定义 13 边界是物体的边缘 定义 14 图形是一个边界或者几个边界所围成的 定义 15 圆是由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等 定义 16 这个点（指定义 15 中提到的那个点）叫做圆心 定义 17 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分 定义 18 半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，

4、半圆的圆心与原圆心相同 定义 19 直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线段围成的，多边形是由四条以上线段围成的 定义 20 在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形 定义 21 在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形 定义 22 在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边相等，但边不全相等且角不是直角的，叫做斜方形；其余的四边形叫做不规

5、则四边形 定义 23 平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线 原本中还包含了如下 5 条公理和 5 条公设（这里公理是对一切科学成立的真理，而公设只适用于几何）公理一 等于同量的量彼此相等 公理二 等量加等量，其和相等 公理三 等量减等量，其差相等 公理四 彼此能重合的物体是全等的 公理五 整体大于部分 公设一 过两点能作且只能作一直线 公设二 线段（有限直线）可以无限地延长 公设三 以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆 公设四 凡是直角都相等 公设五 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交 1.2

6、原本中的方法及不足原本中的方法及不足 原本从尽可能少的原始概念（定义）、公理和公设出发，按照逻辑推理规则，推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法，被称为公理化方法 据考证，公理化方法最早是由古希腊的哲学家、逻辑学家亚里士多德（Aristotle，前 384前 322）提出的，他总结了古代积累起来的几何学和逻辑学的丰富资料，以三段论为逻辑依据，在历史上提出了第一个公理系统所谓的三段论，是由三部分组成的演绎推理方法，这三部分是：一般的判断（大前提）、特殊的判断（小前提）、结论三段论则指出：如果大前提正确，小前提正确，则结论一定正确从三段论中可以看出，公理化方法是由一般到特殊的逻辑思维方法 原本是

7、欧几里得运用亚里士多德的形式逻辑方法，按照公理化结构建立的第一个关于几何学的演绎体系，其演绎推理的思想是以人们普遍接受的简单的现象和简洁的数学内容作为起点，去逻辑地证明复杂的数学结论 依靠演绎推理的几何论证方法，欧几里得在原本中提出了分析法、综合法和归谬法（1）分析法是先假设所要求的已经得到，分析这时成立的条件，由此达到证明的步骤（2）综合法是从以前证明过的事实开始，逐步导出要证明的事项（3）归谬法（反证法）是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，导出和已证明过的事实或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原命题的结论正确 原本 中的公理系统还有许多不够完善的地方，主要表现在以下几个方面：

8、（1）有些定义使用了一些没有确切定义的概念；（2）有些定义是多余的；（3）有些定理的证明过程依赖于图形的直观；（4）公设五不够简洁和直接这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展 1.3 原本中的例题举例原本中的例题举例 有了 23 个定义，5 条公理和 5 条公设这些准备，原本中第一卷证明的第一个命题如下 例例 1 在一条已知的有限直线上，可以作一等边三角形 证明证明 先作已知直线 AB然后，应用公设三，以 A 为中心，AB 为半径作第一个圆 A，再以 B 为中心，AB 为半径作第二个圆 B 设圆 A 与圆 B 交于点 C 根据公

9、设一，连结 CA、CB下面可以证明ABC 为等边三角形因为根据定义15，有 AC=AB，BC=AB，从而再利用公理一，得到 AB=AC=BC，因此，根据定义 20，ABC 为等边三角形 图图 2.作等边三角形作等边三角形 例 1 是一个简单的证明，只应用了两个公设、一个公理和两个定义但这个证明有缺陷，问题出在点 C 上，这个点存在的证明是用图表示的，明显违背了欧几里得自己规定的演绎推理原则即使古希腊人，不论他们对原本的评价多高，也都看出了欧几里得这一论证的逻辑缺陷如何证明这两个圆一定相交呢？他的公理公设中都没有提到这个问题直到 2000 多年以后，现代几何学家通过增加“连续性公设”，弥补了这一

10、缺陷 微积分的基本思想是“无穷小分析”，在古希腊就是所谓的“穷竭法”，“穷竭”是无限逼近的意思，其中的“穷竭”如果当名词讲，用现代微积分的语言就是指一个变量，它可以小于任意给定的量，本质就是极限理论中的无穷小量 原本中第十二卷的命题二（如下的例 2）就是利用“穷竭法”证明的 例例 2 圆与圆之比等于其直径平方之比 证明证明 分如下两步 第一步 设S是圆的面积，nS是圆的内接正n边形，从4n=开始，每次将n加倍，可以证明圆的面积能用内接正多边形面积“穷竭”：4841()2SSSS，依此类推，建立如下不等式 21()2nnnSSSS，进而得到 2210()()2nnnnnSSSSSSSS=这表明，

11、每次圆的面积减去内接正多边形的面积的余量小于上一次余量的一半，根据原本第十卷的命题一，这样的内接正多边形的面积随着n的增加将穷竭圆的面积用现代微积分的语言就可以表示为lim()0nnSS=（注：原本第十卷的命题一：对于两个不相等的量，如果由较大的量中减去一个大于它的一半的量，再由所得到余量中减去大于这个余量一半的量，并且连续这样进行下去，则必得到一个余量小于较小的量 转变为今天的数学语言叙述就是：设有,0a b，且ab令0aa=，按照要求1010,2aa2110,2aan-110,2naa进行下去，则一定存在n，使得nab如果记b=，则这个叙述就与微积分中数列极限很接近了）第二步 设有两个圆：

12、圆 1 和圆 2，面积分别是,a A，直径分别是,d D为了证明22adAD=，采用反证法假设有22adAD或者22adAD 事实上，假设22adAD，则必存在AA满足22adAD=由第一步，存在圆 2的内接正n边形，它的面积nPA，因为对于圆 1 和圆 2 的内接正n边形nnpP与，有22nnpdPD=，因此22nnpdaPDA=，由nPA，得npa，而这显然不可能同理可证22adAD也不成立，因此必有22adAD=第第 2 节节 深远影响之一：第五公设与非欧几何深远影响之一：第五公设与非欧几何 2.1 第五公第五公设设 原本的第五公设从一开始就受到人们的怀疑，因为它缺乏其他公理和公设的直观

13、性、明显性，兼文字的冗长，还含有直线可以无限延长的含义，古希腊人对无限基本采取一种排斥的态度，并且欧几里得本人对第五公设的应用也表现得很犹豫，尽量避免使用它，直到第一卷的命题二十九才第一次用到第五公设 因此，在原本问世的 2000 多年中，不少人试图去修正第五公设，认为可由其余公理和公设所证出，或用更简单、更直观的公设来代替 经过无数次失败的尝试，直到 19 世纪初，数学家才开始意识到第五公设是不可证明的，唯一的办法就是要么承认它，要么重新构筑一个体系在富有科学想象力的众多数学家的努力下，后一种思路导致了非欧几何的诞生 早在 1795 年，英国的数学家、物理学家普莱费尔（Playfair,J.

14、，1748-1819）提出了一条与第五公设等价的命题，它的直观明显性比第五公设好，通常称之为平行公设：在平面内过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 命题命题 欧氏几何的第五公设等价于平行公设 证明证明 由第五公设推导平行公设 存在性显然，只证明唯一性采用反证法，如图 3（a），若存在两条不同的直线db和，cdcb/,/，选择直线b，使得18021=+，由于db和不同，从而32，因此，18031+，从而直线cd,不平行，矛盾 （a）（角标后补）（b）（角标后补）图图 3.证明第五公设与平行共设等价证明第五公设与平行共设等价 由平行公设推导第五公设 采用反证法，如图 3（b），若直线c

15、b和不相交，则cb/，过点A作cd/，则18021=+，18023+，从而31，因此db和为不同的直线，此为矛盾 否定平行公设（即否认第五公设）而构筑一个新体系的创新思想引出了两种几何：罗巴切夫斯基几何与黎曼几何，平行公设成为三种几何的分水岭 2.2 非欧几何及其现实意义非欧几何及其现实意义 1826 年俄国数学家罗巴切夫斯基（NILobachevsky，17921856），1832年匈牙利数学家鲍耶（J.Bolyai，18021860）通过各自独立工作，否定平行公设，将之修改为：过直线外一点，至少能作两条直线与已知直线平行推出了一个又一个新奇的结论后仍找不到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一

16、个不同欧氏几何的几何体系，后来被称为罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）1854 年，德国数学家黎曼（BRiemann，18261866）将平行公设修改为：过直线外一点，不能作与已知直线相平行的直线这个修改也推出了一系列新奇的无逻辑上矛盾的结论，这些新的结论构成的几何体系，后来被称为黎曼几何黎曼几何 既然三种几何的根本差别在于平行公设，故凡是与平行公设无关的欧氏几何的定理在三种几何中均成立 凡是与平行公设有关的欧氏几何的定理在其他两种几何中都不再成立例如，关于三角形的内角和，欧氏几何的结论是：三角形内角和等于 180；罗氏几何的结论是：三角形的内角和小于 180；黎曼几何的结论则是

17、：三角形的内角和大于 180 再如，在一直角三角形中，若ba,表示两直角边，用c表示斜边，关于勾股定理，欧氏几何的结论是：222cba=+；罗氏几何的结论是：222cba+；黎曼几何的结论是：222cba+罗氏几何与黎曼几何统称为非欧几何非欧几何的出现，是 19 世纪数学发展的一个重大突破在这之前，所有的数学家都认为欧氏几何是物质空间和此空间内图形性质的唯一正确描述 非欧几何的创立曾一度被严重质疑和嘲讽，那么非欧几何能否找到现实的应用，其命题是否具有合理性？自其诞生之初，这些就成为围绕新几何学展开讨论的核心问题1868 年，意大利数学家贝尔特拉米（EBeltrami，18351899）发表了非

18、欧几何发展史上里程碑式的论文论非欧几何学的实际解释，通过构造模型给出了两种几何的解释，但贝尔特拉米提供的模型较复杂，不易被人理解和接受其后，德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等先后在欧氏空间中给出了非欧几何的直观模型他们的主要结论是：如果非欧几何中存在矛盾，这种矛盾也将在欧氏几何中出现，由于一般承认欧氏几何是真的，所以非欧几何也有了可靠的基础这些模型化的解释从理论上消除了人们对非欧几何的误解，从而使之获得了广泛的认可 现在普遍接受的看法是：非欧几何是球面上的几何学，黎曼几何能在球面上实现，罗氏几何能在伪球面上实现如果将球面上的大圆（也称为测地线）视为直线，则球面上的几何就表现为黎曼几何，在这种

19、几何中任何两条直线都相交，且交于两个交点 如此，黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到合理的解释了，三角形的内角和大于 180 也容易证明伪球面上的几何展现的罗氏几何所谓伪球面是指由一条曳物线绕一条固定的轴旋转成的旋转曲面通俗的解释是：假设有一个人 M 牵着一条狗 A，其间距离（绳子长）为a，人 M 沿着一条直线MN 行走，而狗 A 随时随地朝着它主人 M 方向沿着一条曲线 AB 保持 AM=a的定长距离在行走，则线 AB 就是曳物线，它绕 MN 旋转而形成的曲面就是伪球面在伪球面上两点之间的“直线”是指测地线，即两点之间的最短连线 图图 4.曳物线与伪球面曳物线与伪球面 随着社会的进步和科学研

20、究水平的发展，人们已经认识到欧氏几何不再是在经验能够证实的范围内描述物质空间的唯一正确的几何，非欧几何的现实性在逐渐被证实最著名的例子就是 1913 年爱因斯坦（A.Einstein，18791955）以黎曼几何为工具刻画了广义相对论中的物理空间；而 1947 年，心理学的研究发现M N A B 罗氏几何可以用来描述视觉空间（一种从正常的有双目视觉的人心理上观察到的空间）非欧几何的影响是巨大的，它一方面摧毁了人们长久建立起来的欧氏几何是绝对真理的信念，深刻揭示了数学的本质问题；另一方面，它为数学提供了一个摒弃实用性，采用抽象与逻辑思维的智慧创造的自由天地正如著名的美国数学史家 M克莱因（M.K

21、line，1908-1992）所说“非欧几何的最重要影响是迫使数学家们从根本上改变对数学的性质的理解,以及它和物质世界的关系的理解,并引出关于数学基础的许多问题,这些问题在 20 世纪仍然在进行着争论”第第 3 节节 深远影响之二：公理化方法深远影响之二：公理化方法 3.1 发展的三阶段发展的三阶段 公理化方法的发展大致经历了三个阶段，代表著作分别是欧几里得的原本、希尔伯特的几何基础和 ZFC 公理化集合论 第一阶段第一阶段 欧几里得的原本实体公理化阶段 原本表现的公理化方法被称为“实体公理化方法”，因为在这样的公理系统中，概念直接反映着数学实体的性质，而且其中的概念、公理和推理论证过程往往基

22、于直觉观念的指导 第二阶段第二阶段 希尔伯特的几何基础形式公理化阶段 1899 年，希尔伯特出版了公理化思想的代表之作几何基础，把欧几里得几何学加以整理，摆脱了直观成分，奠定了对一系列几何对象及其关系进行更高一级抽象的基础，不仅完善了欧几里得几何的公理系统（一个公理的集合），而且解决了公理化方法的一系列逻辑推理的问题，提出公理选择的“三性”：（1）相容性：在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理 （2）独立性：在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理将其推导出来（3）完备性：要从公理系统中能推出所研究数学分支的全部命题 图图 5.希尔伯特希尔伯特（左）（

23、左）、哥德尔、哥德尔（右）（右）希尔伯特的几何公理化方法使人们可以在高度抽象的意义下给出公理系统，只要能满足系统中的各公理的要求，就可以使这个公理系统所涉及的对象是任何事物；并且在公理中表述事物或对象之间的关系时，也可以具有其具体意义的任意性几何基础一书成为“形式公理化方法”的奠基著作 第三阶段第三阶段 ZFC 公理化集合论纯形式公理化阶段 19 世纪末康托尔创立的无穷集合论给数学带来了全新的平台 1920 年代初，希尔伯特提出了论证数论、集合论或数学分析的一致性的方案他建议从若干公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统，进而研究这个形式语言系统的

24、逻辑性质，从而创立了元数学和证明论，这场轰轰烈烈的公理化运动将公理化方法推向一个新的阶段纯形式公理化阶段 在本讲的 3.3 节，我们将看到罗素悖论（也称集合论悖论）出现后，引发了第三次数学危机为消除罗素悖论，经过许多数学家的努力，形成了现代数学中标准的公理化集合论，即 ZFC 纯形式公理化集合论遗憾的是，后来数学家哥德尔证明了形式数论（即算术逻辑）系统的“不完全性定理”，说明希尔伯特的公理化方案是不可能实现的 3.2 方法之意义及应用范例方法之意义及应用范例 公理化方法之所以重要，是因为数学理论都是用演绎推理组织起来的，每一个数学理论都是一个演绎体系演绎方法是组织数学知识的最好方法，它能超越技

25、术与仪器的限制，可以极大程度地消除我们认识上的不清和错误公理化方法的基本构件是概念（定义）、公理和公设，如果有怀疑的地方，也都回归到对基础概念及公理和公设的怀疑另外，公理化方法的形式简洁性、条理性和结构的和谐性符合美学上的要求 公理化方法具有按照逻辑演绎关系分析、总结知识的作用，对近现代数学的发展有极深刻的影响而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，人们试图借鉴和奉行这套逻辑思考方式 例例 1（数学理论）（数学理论）（1）概率论是一门古老的学科，由于人们对概率概念的不同理解，因此建立起来的理论体系也不完全一样，苏联数学家柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov

26、，19031987）建立了在公理集合论上的概率论体系，给予概率论以严格的逻辑基础，使概率论得到了进一步的发展（2）近代数学中的群论，经历了一个公理化的过程当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理 例例 2（物理学）（物理学）（1）牛顿在其科学巨著自然哲学的数学原理中，首先阐明了一些定义，提出以牛顿运动三定律作为公理，而后推导出一系列关于重力和物体运动的深刻规律，系统地运用公理化方法，形成了经典力学体系，其中的万有引力定律很好地整合了伽利略发现的抛物线运动和开普勒发

27、现的天体椭圆运动（2）爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体系狭义相对论的出发点是两条基本假设：相对性原理和光速不变原理，以此为前提，爱因斯坦逻辑地演绎出四个推论：尺缩效应、钟慢效应、质量增大效应和关系式，组成了狭义相对论的精髓广义相对论的两条基本假设是：等价性原理和广义协变原理，以此为逻辑起点，爱用斯坦将引力场解释为时空的弯曲，阐释了万有引力的本质 例例 3（社会科学）（社会科学）（1）13 世纪意大利著名哲学家、神学家托马斯 阿奎那（T.Aquinas，12261274），将理性引进神学，采用公理化系统方式，从极少数公理、公设出发，应用逻辑演绎写成人类文化史上具有划时代意义的著作 神学大

28、全，该书被视为中世纪经院哲学巨著，为基督教教义的传播发挥了一定的作用（2）17 世纪的荷兰哲学家斯宾诺莎（B.Spinoza,16321677）的著作伦理学，完整标题是用几何程序证明伦理学，这部在哲学史上占有一席之地的伟大著作被置于严格的欧几里得的公理化框架中，每一卷都首先为最主要的哲学范畴规定定义，将一些最根本的哲学观点作为公理或公设，然后证明作为定理的那些比较具体的哲学观点 数学的公理化方法是数理逻辑所研究的一个重要内容 由于数理逻辑是用数学方法研究推理过程的，它对公理化方法进行研究，一方面使公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展，一方面把人的某些思维形式，特别是逻辑推理形式加以公理化

29、，符号化这种研究使数学工作者增进了使用逻辑方法的自觉性，在科学方法论上具有示范作用 3.3 罗素悖罗素悖论与论与 ZFZF 公理系统公理系统 19 世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论因为全部数学概念可以应用集合论建立，集合论的出现使得数学呈现出空前繁荣的景象，可能一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机令数学家们欢欣鼓舞1900 年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，庞加莱甚至兴奋地宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！”可是仅仅两年过后，1902 年，一个震惊数学界的消息传出：英国数学家、哲学家罗素在集合论中发现了悖论！罗素的想法是：任何集合都可以考虑它是否属于自身的问题，有些集合不属于

30、它自身，而有些集合属于它本身一个集合或者不是它本身的成员（元素），或者是它本身的成员（元素），两者必居其一罗素把前者称为“正常集合”，把后者称为“异常集合”以简洁的数学符号和逻辑来说明罗素悖论，则可以表述如下：以N表示“一切不以自身为元素的集合所组成的集合”（所有正常集合的集合），而以M表示“一切以自身为元素的集合所组成的集合”（所有异常集合的集合），于是任一集合或者属于N，或者属于M，两者必居其一问：集合N是否属于自己（集合N是否是异常集合）？如果NN，则由N的定义应有NN；如果NN，则由N的定义又应有NN，无论哪一种情况，利用集合的概念，都可以导出NN当且仅当NN的悖论 1911 年，罗素

31、还将这一悖论通俗化为著名的“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸那么现在的问题是：理发师是否给自己刮脸？罗素悖论内容简单，只涉及到集合论中最基本的概念，这就极大动摇了集合论的基础由于集合论已逐渐成为现代数学的基础，因此集合论悖论的出现引起的震动是空前的，令许多数学家对数学基础的脆弱感到沮丧失望，导致了数学史上所谓的“第三次数学危机”第三次数学危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作出了巨大的努力来消除悖论当时消除悖论有两种选择，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论 人们选择了后一条道路，希望在消除悖论的同时，尽量

32、把康托尔集合论（也称朴素集合论）中有价值的东西保留下来这种选择的理由是，原有的集合论虽然简明，但并不是建立在清晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地 罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征是“自我指谓”即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象罗素本人提出用集合分层的方法来消除悖论，但分层方法太繁琐，不受数学家们欢迎后来，数学家们想到将康托尔“朴素集合论”加以公理化，用公理规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合1908 年，德国数学家策梅洛（

33、E.Zermelo，18711953）提出了由 7 条公理组成的第一个集合论公理系统，称为 Z 系统19211923 年间，德国数学家弗兰克尔（A.A.Fraenkel，18911965）对该系统做了改进，并用逻辑符号将公理表示出来，形成了集合论的 ZF（策梅洛-弗兰克）系统，后来经过进一步完善，这一系统包含了 10 条公理，成了目前被大多数数学家所承认的公理系统，称为ZFC 系统这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，罗素悖论消除了，第三次数学危机似乎解决了但是数学家们并不满意，因为 ZFC 系统的相容性（即本身的无矛盾性）尚未证明正如庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象

34、地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”关于数学系统的相容性问题，美籍奥地利数理逻辑学家哥德尔（K.G del，19061978）的工作是影响深远的1931 年，年仅 25 岁的他在数学物理月刊发表了一篇题为论和有关系统中的形式不可判定命题的论文，其中证明了下面的定理：哥德尔第一不完全性定理哥德尔第一不完全性定理：任一包含自然数算术的形式系统 S，如果是相容的，则一定存在一个不可判定命题，即存在某一命题 P，使 P 与 P 的否定在 S 中皆不可证 系统中存在不可判定的命题称系统为不完全的，上述定理表明，任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有某个命题不能从系统的

35、公理出发而得到证明 不仅如此，哥德尔很快在上述定理的基础上，又进一步证明了下面的定理：哥德尔第二不完全性定理哥德尔第二不完全性定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系 S，S的相容性不能在 S 中被证明 这一定理表明，即使一个数学系统本身是相容的，但其相容性在该系统的内部也是无法证明的 哥德尔的两条定理表明：任何一个数学分支都做不到完全的公理推演，而且没有一个数学分支能保证自己没有内部矛盾，这将数学放在了一个尴尬的境地，数学的“灾难”降临了，人们发出感慨：数学的真理性在哪里呢？德国数学家外尔（H.Weyl，18851955）甚至悲叹道：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性”在这里，哥德尔破天荒第一次分清了数学中的“真”与“可证”是两个不同的概念，可证明的命题固然是真的，但真的命题却未必是可形式证明的为了克服形式化数学的局限性，数学家们在放宽工具限制的情况下创造了“超限归纳法”等一些新的方法1936 年，德国数学家甘岑（G.Gentzen，19091945）在运用超限归纳法的条件下证明了算术公理系统的相容性 关于数学的可靠性问题，固然要根据数学科学的特点去追求逻辑可靠性，但最终还是要符合实践的可靠性，即数学的可靠性尚需接受社会实践的检验“实践是检验真理的唯一标准”是亘古不变的