《(4.2.1)--3.2.1线性相关与线性无关-1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(4.2.1)--3.2.1线性相关与线性无关-1.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、线性相关与线性无关线性相关与线性无关Linear independence and dependence 定义定义 设设则称则称为向量为向量的的线性组合线性组合。1212,nssKk kkK 1 122sskkk+12,s 12,nsK 12,sk kkK 1 122sskkk=+=+12,s 定义定义 设设，若存，若存 在在K中的中的s个数个数，使得，使得则称则称可由可由线性表出线性表出。例例对于向量对于向量12(2,4,3),1,2,0,0,0,9TTT=例例一个向量组中的任一向量均可由该向量组线性表出。一个向量组中的任一向量均可由该向量组线性表出。12123=+=+由于由于12,故故可由
2、向量可由向量线性表出。线性表出。1231,1,1,0,1,1,0,0,1,3,2,1TTTT=123,证明：证明：可由可由线性表出的充要线性表出的充要条件是线性方程组条件是线性方程组有解。有解。123,112233 ()xxx+=+=例例已知已知试说明：试说明：可由可由线性表出。线性表出。()而方程组而方程组的增广矩阵为的增广矩阵为1 0 0 31 1 0 21 1 1 1A=由此得方程组由此得方程组有解有解，()1 0 0 31 0 031 1 0 20 1 0 11 1 1 10 0 11A=行行3123=123,故故可由可由线性表出且线性表出且1231,1,1,0,1,1,0,0,1,3
3、,2,1TTTT=123,例例已知已知试说明：试说明：可由可由线性表出。线性表出。例例来看来看中的中的元向量组元向量组n121,0,0,0,00,1,0,0,00,0,0,0,1TTTn=n即即可由可由线性表出。线性表出。12,n n12,Tnna aaK=通常称之为通常称之为的的基本向量组基本向量组，因为对任，因为对任意的意的都有都有1 12 2n naaa=+=+定义定义 设设，若存在，若存在s个不全个不全为零的数为零的数使得使得12,nsK 12,sk kkK 1 122sskkk+=+=12,s 则称向量组则称向量组是是线性相关的线性相关的。不。不线性相关的向量组称为是线性相关的向量组
4、称为是线性无关的线性无关的。例例（1）设）设是两个是两个2元实向量，则元实向量，则线性相关线性相关共线；共线；与,与,与,（2）设）设是三个是三个3元实向量，则元实向量，则线性相关线性相关共面。共面。例例设设是两个是两个n元向量，则元向量，则线线性相关性相关对应分量成比例。对应分量成比例。与,与=例例单个向量单个向量线性相关线性相关。例例证明向量组证明向量组线性相关线性相关1231,2,3,3,2,1,1,1,1TTT=112233ccc+=+=321,123,c cc证明：证明：线性相关的充要条件是存线性相关的充要条件是存在不全为零的数在不全为零的数，使得，使得112233 ()xxx+=+=亦即齐次线性方程组亦即齐次线性方程组有非零解。有非零解。而方程组而方程组的系数矩阵的系数矩阵()1 3 11312 2 10 4 13 1 1000A=行行1234+=+=()由此得方程组由此得方程组有非零解，有非零解，321,故故线性相关。线性相关。1231,1,4xxx=若取非零解若取非零解，则有则有例例证明向量组证明向量组线性相关线性相关1231,2,3,3,2,1,1,1,1TTT=例例列向量组列向量组线性相关的线性相关的充要条件是齐次线性方程组充要条件是齐次线性方程组有非零解有非零解12,n 1 122nnxxx+=+=