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1、第12章 无穷级数 高等数学 12.4.1泰勒级数 一、问题的提出 1.设)(xf在0 x处连续,则有 )()(0 xfxf 2.设)(xf在0 x处可导,则有)()()(000 xxxfxfxf+0()()f xf x=+=+()()()()()()()()0000()f xfxfxxxxx=+=+xey=xy+=+=1oxey=oxy=)1ln(xy+=+=例如,当x很小时,xex+1 ,xx+)1ln(不足不足:问题问题:寻找函数)(xP,使得)()(xPxf 误差 )()()(xPxfxR=可估计 1、精确度不高精确度不高；2、误差不能估计误差不能估计.设函数)(xf在含有0 x的开区
2、间),(ba内具有直到 )1(+n阶导数,)(xP为多项式函数 nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010+=+=误差 )()()(xPxfxRnn=二、二、和和 的确定的确定 nPnR0 x)(xfy=oxy分析分析:)()(00 xfxPn=)()(00 xfxPn=2.若有相同的切线若有相同的切线 3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同 近似程度越来越好近似程度越来越好 1.若在若在 点相交点相交 0 x)()(00 xfxPn=),(00 xfa=代入)(xPn中得 ),(101xfa=)(!202xfa=)(!0)(xfannn=()01(),(0,1,2,)!,kkak
3、fnxk=得得 ()()00()(),1,2,kknPkxxnf=假设假设 200000()00()()()()()()2!1()()!nnnfxxf xfxxxxxPfxxxn=+=+若若 称为函数称为函数 在点在点 处的泰勒展开式处的泰勒展开式.(00)1()()!nnnf xfxxn=()f x0 x称称 为函数为函数 在点在点 处处 的泰勒级数；的泰勒级数；()001()!nnnfxxn=()f x0 x定理 如果函数f x()在x0的某个邻域内具有各阶导数,则则 f x()在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内f x()的泰勒公式中的余项nRx()的极限为零.证证:的泰
4、勒公式为的泰勒公式为()f x)()()(nnxf xPRx+=+=000()00()()()()1()()!nnnP xf xfxxxfxxxn=+=+其中其中()()()nnRxf xP x=()0001()()()!nnnfxxxf xn=根据级数收敛的定义，有根据级数收敛的定义，有(lim()nnP xf x=lim()0()nnf xxP=)lim(0nnRx=()2()0(0)(0)()(0)(0)2!(0)!nnnnnfff xffxxxnfxn=+=+=()2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxn+注：注：时，麦克劳林级数为时，麦克劳林级数为 00 x=麦克劳林展开式为麦克劳林展开式为 三、简单应用 例 求xexf=)(的n阶麦克劳林公式.xnexf=+)()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得()()()()nxxnxxeexxnn211012!1!+=+=+x设设.)!1(3+n其误差其误差)!1(+neRn).10()!1()!1()(11+=+=+nxnxnxnexnexR由公式可知由公式可知 212!nxxxexn+111,112!xen=+=+取取 谢谢，再见！