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1、现代控制理论Modern Control Theory1.2 状态空间表达式的建立1.2 状态空间表达的建立状态空间表达式一般可通过三个途径建立：一是从系统的物理或化学的机理出发进行推导；二是由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接写出相应的状态空问表达式；三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。从系统的机理出发建立状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程，如前引例。从系统框图出发建立状态空
2、间表达式该法是首先将系统的各个环节，变换成相应的模拟结构图，并把每个积分器的输出选作一个状态变量xi；然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。例 系统方框图如下所示，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式。1.2 状态空间表达的建立_+4Kuy2x_+_+3xy=1x4K _+u111KTs+221KT s+33KT s11KT22KT33KT11T3x21T2x1x=+=+=yxTTTxxxuK KKTTxxxKTxxK1111113311412222323123状态方程输出方程根据模拟结构图可以写出：1.2 状态空间表达的建立写出矢量矩阵形式：+xxx=yTTTK KKTTuKT
3、K10001001000111141222332x_+_+3xy=1x4K _+u11KT22KT33KT11T3x21T2x1x从系统的传递函数出发建立状态空间表达式由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数，建立系统的状态空间表达式，这样的问题叫实现问题。所求得的状态空间表达式既保持了原传递函数所确定的输入、输出关系，又将系统的内部关系揭示出来。同一个输入输出关系有无穷多个内部结构，因此实现是非唯一的。考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线性常系数微分方程：相应的传递函数为+=+yaya ya yb ububub unmmnnmm110110()(1)()(1)+=+
4、U ssasa saW smnY sb sbsbsbnnnmmmm()(),()110111011.2 状态空间表达的建立1)传递函数中没有零点时的实现相应的系统传递函数为：上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图(右图)导出。这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构形式。在这种情况下，系统的微分方程为：+=yaya ya yb unnn1100()(1)+=sasa saW sbnnn()11010y1x2x1-nxnx+_+u0b 0a1a2-na1-na 1.2 状态空间表达的建立将图中每个积分器的输出取作状态变量，它是输出y(或
5、y/b0)的各阶导数，容易列出系统的状态方程为：输出方程为：表示成矩阵形式，则为：注：此形式的A矩阵称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均为零。=+=xa xa xaxaxuxxxxxxnnnnnnn011221112312=yb x0 1=uxCAxxB =+ybxaaaaxxxxxxxnnnnn0001000010001000100001211122111.2 状态空间表达的建立2)传递函数中有零点时的实现此时，系统的微分方程为：相应地，系统传递函数为：以三阶系统为例，设待实现的系统传递函数为：因为n=m，上式可变换为：+=+yaya y
6、a yb ububub unmmnnmm110110()(1)()(1)+=+sasa saW smnb sbsbsbnnnmmmm(),11011101+=+U ssa sa saW snmY sb sb sbsb()=(),=3()32102321032+=+sa sa saW sbba bsbab sba b()()()21032322 311 300 32)(1.2 状态空间表达的建立令则+=sa sa saY sU s()()1210321对上式求拉氏反变换，可得：=+yb uba bybab yba b y()()322 3111 3100 31)(据此可得到系统模拟结构图如下所示
7、：+3b1a-1b3b2a-2b3b1y1x2x1_y3x_+u3b0a-0b 0a1a2a 1.2 状态空间表达的建立=+Y sbU sY sba bsbab sba b()()()()()3122 311 300 32)(1y每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态空间表达式：=+=+=yb uba bxbab xba b xxa xa xa xuxxxx()()322 3311 3200 3130112232312)(=+=+xyba bbabba bxb uxxaaaxxxuxx100100100300 311 322 32313012322111.2 状态空间表达的建立推广到n
8、阶系统，相应的状态空间方程可以写为：nnnxaaaax xxuxxxxnn100001=+00010001000121112211=+xxyba bbabbabb uxxnnnnnnnn100111121实现是非唯一的。仍以上述三阶系统为例，系统的另一种模拟结构图如下图所示：等效变换+3x2x1x1 20+3_y_+u 0a1a2a )2a+s(1 1a)+2a+s(s 200a+1a)+2a+s(s s3_y_+u 0a1a2a1.2 状态空间表达的建立求得其对应的传递函数为：为求得第一式中的i，令三阶系统的两种传递函相等，对多项式系数比较可得：将图所示的模拟结构图中的每个积分器输出选作状态
9、变量，得到新的状态空间表达式：+=+=+=+U ssa sa saW sY sb sb sbsbsa sa sasasaasaaasa sa saW ssa sa sasa sa ssa()()()()()()()()()2103232103221032323213221031221032210323210221120322)(=baaabaabab000312211113222223331.2 状态空间表达的建立=+=+xyxuxxaaaxxxuxx1000010103231301230221112扩展到n阶系统，其状态空间表达式为：1.2 状态空间表达的建立=+=baaababaababi
10、nnnin innnnnnnnnnnnn 000011110122211111=aaabaababbnnnnnnnnnn1111011002122111=+xaaaaxxxuxxxxnnnnnnn00010010010001210111222111=+xxyuxxnnn1000121式中：或记为：多输入-多输出系统微分方程的实现以双输入-双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为：同单输入-单输出系统一样，上式系统的实现也是非唯一的。采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：对每一个方程积分：+=+=+ya ya yb uya ya ybub ub u2324142111221 12132=+=
11、+ya ya yb uya ybua yb ub u23241421111 1222132=+=+=+=+ya ya yb uta ybutb ub ua yta ybutb ub ua ytya ybua yb ub ut()d ()d()d ()d()d()d2324142111 12132222111 1213222221111 122213221.2 状态空间表达的建立3x2y_+1y1x_+_+4a1a3a2a2u3b4b 1b2x2b1u 根据模拟结构图：取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所示。则系统的一种实现为：=+xyxyxxaaxbuxaxbbuxaxb001 10000001003221134334222223111113x2y_+1y1x_+_+4a1a3a2a2u3b4b 1b2x2b1u 1.2 状态空间表达的建立