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1、Modern Image Analysis 基本原理5.3 图像的有约束最小二乘恢复222()|(|)J fQfgHf令Q为的线性算子，有约束最小二乘恢复就是要使得最小。这类最小化问题，可用Lagrange算子来处理，f2|Qf设为拉格朗日乘子，寻找使下面的准则函数最小的：f1()TTTfH HQ QH g =1/上式中，适当选择这一常数，使约束条件满足，便能求得最佳估计。不同的Q有不同的恢复方法。()0J ff 由极值条件可得：Modern Image Analysis 维纳滤波法TfRE ff TRE -1TfQ QR R 11()TTffH HR RH g 设 Rf和 Rn分别为原始图像
2、 f 和噪声 n 的相关矩阵，即则原始图像 f 在最小均方误差准则下的最佳复原解为：令Q为：5.3 图像的有约束最小二乘恢复Modern Image AnalysisRf可用循环块矩阵 R 表示为：011102213012MMMM MRRRRRRRRRRRRR ,0,1,1,1,0,2,2,1,3,1,2,0ii Niiiiiiiii Ni NiN NrrrrrrrrrRrrr 利用 R 的特征向量组成一个W 矩阵对其进行对角化，其中对角矩阵 A 中的元素为相关矩阵 Rf中各元素的傅立叶变换。得：1fRWAW 5.3 图像的有约束最小二乘恢复Modern Image Analysis同理：1R
3、WBW B 中的元素为中各元素的傅立叶变换。R 代入复原公式可得：*1111*1()fWD DWWA BWWD Wg 整理得到：1*11*1()WfD DA BD Wg 5.3 图像的有约束最小二乘恢复Modern Image Analysis用和功率谱密度和表示 A和 B 矩阵的元素：(,)f m n(,)m n(,)fSu v(,)Su v(/,mod);(,),0;(/,mod);(,)0;fSkNkNikA k iikSkNkNikB k iik 则 f 的频域最佳估计值表示为（设 M=N）：*222(,)(,)(,)|(,)|(,)/(,)1|(,)|(,)(,)|(,)|(,)/(
4、,)ffHu vF u vG u vH u vSu vSu vH u vG u vH u vH u vSu vSu v 5.3 图像的有约束最小二乘恢复Modern Image Analysis结果分析1(,)(,)(,)F u vHu v G u v （1）r=1时，该滤波器称为标准维纳滤波器，但不能说可以利用上式在约束条件下得到最佳估计；r=变量时，称为变参数维纳滤波器。因此，反向滤波器可看作是维纳滤波器的一种特殊情况。(,)0S u v （2）无噪声时，即，即变为逆滤波器，即5.3 图像的有约束最小二乘恢复Modern Image Analysis（4）在实际应用中，和经常是未知的，因此
5、我们可用一 常数 k 来表示噪声和信号的功率谱密度比，则：(,)fSu v(,)Su v 221|(,)|(,)(,)(,)|(,)|H u vF u vG u vH u vH u vk 该式可以使退化图像得到一定程度的恢复，但不一定是最佳恢复。实际应用中，k 可通过已知的信噪比来获得。5.3 图像的有约束最小二乘恢复(,)/(,)fS u vS uv（3）在有噪声存在情况下，相比于反向滤波器来说，维纳滤波器中由于存在项，会对噪声的放大具有自动抑制作用，同时也不会在H(u,v)为0时出现被0除的情形。Modern Image Analysis(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i
6、)（a）被高斯噪声污染的图像；（b）逆滤波恢复图像；（c）维纳滤波恢复的图像；维纳滤波法和反向滤波法恢复图像的效果比较（d）（f）为相应的由噪声方差比（a）小1个数量级的降质图像得到的结果；（g）（i）为相应的噪声方差小5个数量级的图像得到的结果。Modern Image Analysis 约束最小平方滤波法由于反向滤波器的病态性质，会导致在H(u,v)的零值附近恢复滤波器的数值变化剧烈，使恢复后的图像产生多余的噪声和虚假边缘。而这些噪声的强弱和虚假边缘的多少可用图像的二阶导数来表示。通过选择合理的Q，并对进行优化，可将这些噪声和虚假边缘降至最小，也就是让该二阶导数降为最小。该方法的推导过程我们不做详细介绍，请感兴趣的同学自己阅读。1(,)(,)H uvP uv 2|Qf5.3 图像的有约束最小二乘恢复Modern Image Analysis本章要求本章要求：1.了解图像恢复目的及过程；2.掌握各种形式的退化模型；3.了解无约束复原原理，掌握反向滤波法公式及使用时的注意事项；4.了解有约束滤波中维纳滤波原理，掌握其结果讨论。