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1、6 6向量的内积及其性质向量的内积及其性质6.1.射影和分量射影和分量6.2.向量内积的定义和性质向量内积的定义和性质6.1.1.空间一点在轴上的射影空间一点在轴上的射影u AA 过点过点A作轴作轴u的垂直平的垂直平面面，交点，交点A 即为点即为点A在轴在轴u上的射上的射影影.6.16.1.射影和分量射影和分量uoA ABB6.1.2.向量在轴上的射影（向量在轴上的射影（Projection）过点过点 A、B 作垂直于轴作垂直于轴 的平面，与轴的平面，与轴 交于交于A、B点，于点，于是向量是向量 AB 在轴在轴 上的上的射影射影向量向量定义定义为为AB，记为，记为 P(AB).向量向量OA的坐
2、标的坐标a1,a2,a3分别是分别是在三个坐标轴上的射影在三个坐标轴上的射影.OA空间直角坐标系下空间直角坐标系下，0()uAB取定轴取定轴 上的一个单位向量上的一个单位向量，设向量，设向量 AB 在轴在轴 上的上的射影射影向量为向量为 P(AB)=k.称称 k 为向量为向量 AB 在轴在轴 上的上的射影（分量）射影（分量），记为，记为.6.1.3 空间两向量夹角的概念：空间两向量夹角的概念：,0 a,0 b向量向量 a与向量与向量 b的夹角的夹角为使其中一个向量与另为使其中一个向量与另一个向量一个向量方向一致时所方向一致时所旋转的最小角度旋转的最小角度，记为，记为 b,aa,b 0()当两个
3、向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在在 0与与之间任意取值之间任意取值.ba 6.1.4.向量在轴上的射影有以下性质：向量在轴上的射影有以下性质：uBB u 证证0()uAB 0()uAB cos|AB B AA 射影为负；射影为负；射影为零；射影为零；0)1(,2 2)2(,)3(,2 射影为正；射影为正；上的射影等于向量的模乘以向量与轴的夹上的射影等于向量的模乘以向量与轴的夹(1)(1)向量向量AB在轴在轴角角的余弦：的余弦：0()uAB cos|AB(2(2）两个向量的和在轴上的射影两个向量的和在轴上的射影（向量）（向量）等于两个向量在该等
4、于两个向量在该轴上的射轴上的射影影（向量）（向量）之和之和.0001212().uuu aaaaAA BB CC u1a2a(3(3）()uuPPaa.1212().uuuPPPaaaa00()uuaa.Oliver Heaviside（1850-1925）英国物理学家、电气工程学家Josiah Gibbs（1839-1903）美国物理学家、化学家6.26.2.向量内积的定义和性质向量内积的定义和性质6.2.1.向量内积的定义向量内积的定义定义 向量称为与的内积(或数量积).ab|cos,a baba bab 注：0|cos(),baa 0|cos(),abb 0|()ba bba0|().a
5、abaa 记为.2a6.2.2.向量内积的物理意义向量内积的物理意义 sFsFW,cos|.F ssFAB一质点在力 F 的作用下从点 A 移动到 B，力 F 所做的功.6.2.3.向量内积的性质向量内积的性质：;|)1(22aa;00)2(a;)3(abba ;,),()()()4(Rbaba 满足交换律但不满足结合律0()()|babab 证明：证明：0()|bab()a b(5)().acba bc b证明：证明：0()()|bacbacb 00()|bbacb.bcba 例例证明证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.ba ba ab
6、证：证：22|()ababa aa bb ab b222aa bb22|()abab222aa bb()()abab0.aba b.,2,bababa 正交（或垂直），记为正交（或垂直），记为与与则称则称若若 6.2.4.向量垂直例例 1 1 证明向量证明向量c与向量与向量acbbca)()(垂直垂直.证cacbbca )()()()a c b cb c a c0 cacbbca )()(例例 2如图如图,证明三角形的余弦定理证明三角形的余弦定理|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos 证证|c|2=|a b|2=(a b)(a b)=a a+b b 2 a b=|a|2 +|b|2 2|a|b|cos abc向量内积向量内积的性质（的性质（不满足结合律不满足结合律）小结小结向量在轴上的射影向量在轴上的射影向量内积的定义向量内积的定义