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1、数值分析课件数值分析课件同学们好！现在开始讲授第四章求矩阵特征值和特征向量方法首先讲授数值分析课件数值分析课件第四章第四章 求矩阵特征值和特征向量方法求矩阵特征值和特征向量方法讲授：讲授：求特征值及特征向量常用数值方法构造和原理；重点论述重点论述:幂法的构造、收敛性及Jacobi方法、OR方法价绍等。数值分析课件数值分析课件本章讲授内容本章讲授内容4.1 4.1 引例引例4.2 4.2 基本概念基本概念4.3 4.3 幂法幂法4.4 Jacobi4.4 Jacobi方法和方法和QRQR方法简介方法简介数值分析课件数值分析课件4.1 4.1 引例引例特征值在哪里有应用？数值分析课件数值分析课件旅
2、游地选择问题旅游地选择问题某人打算外出旅游，他在选择旅游地时，主要考虑的因素有景色、费用、居住、饮食和旅途五个因素，借助层次分析法有他选择旅游地的重要性可以用右面5阶矩阵绝对值最大特征值对应的特征向量得出。因此，求出矩阵绝对值最大特征值就是解决问题的关键！数值分析课件数值分析课件特征方程是一个n次代数方程，求根很复杂且特征方程对舍入误差很敏感，特别当n较大时，这些问题更突出。由于这些原因，实用中在求解代数特征值问题时一般不用线性代数的方法，而采用本章介绍的迭代加变换的计算机求解方法，这些方法具有编程简单，对舍入误差不敏感等优点。数值分析课件数值分析课件4.2 4.2 基本概念基本概念关于矩阵特
3、征值及特征向量有哪些概念？数值分析课件数值分析课件()()111212122212det,.nnn nAnnnnaaaaaafAIARaaa=1、矩阵A的特征多项式：()()det0AfAI=2、矩阵A的特征多项式方程：4、特征值与特征向量的关系：,0Axx x=3、矩阵A的特征值：()()det0AfAI=的根数值分析课件数值分析课件结论若矩阵A相似矩阵矩阵 B，则（1）A与 B 的特征值完全相同；（2）若 x 是B 的特征向量，则Px便为A的特征向量；5、矩阵的特征值和特征向量知识A与B相似：若有可逆阵P，使1BP AP=A,BR n n1BP AP=（3）相似矩阵具有相同的秩、迹、行列式
4、和特征值。数值分析课件数值分析课件TPA PB=1TAA=6、正交矩阵的一些知识12(,)TnP APdiag=12,n 1）正交矩阵：若，即，则称A为正交矩阵。TA AI=2）正交相似变换：若存在正交矩阵 P 满足，则称B与A正交相似，或对A进行了正交相似变换。3）A是实对称矩阵，是A的n个特征值，则存在正交矩阵 P 满足，P的各列为相应特征向量。数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授求矩阵特征值和特征向量的幂法。该内容分2集讲授。第1集：数值分析课件数值分析课件4.3 4.3 幂法幂法什么是幂法？它是怎么构造的？有什么作用？基本思想基本思想利用矩阵的特征值与特征
5、向量的关系构造迭代向量序列来求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。幂法作用幂法作用求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。只用矩阵与任意非零向量不断相乘就可以求出矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量！北北数值分析课件数值分析课件1、幂法公式构造2、规范化幂法3、反幂法数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件()()()12,nxxx()()()()()()0001212,0nnnVR VVxxx=+()()()()()()()01212121 122nnnnnAVAxAxAxxxx =+=+()()1kkVAV=记，有()(0)(1)(2)()1 122kkkkknnnVA Vxxx
6、 =+设是n阶矩阵A的n个线性无关得特征向量，对应的特征值为，则12,n 121,0n假设()(1)(2)()211211kkkknnnVxxx=+()()kkkAxx=用矩阵A左乘上式，并利用有数值分析课件数值分析课件121,0n()(1)32111111,1,1,kknVxk 设()()()(1)(2)()()()11()()22211211()(),1,2,knkkkkkkkkkniiinikknnVxVxVxVxxxinVx=+=()(1)(2)()211211kkkknnnVxxx=+()kV故当k较大时是对应的近似特征向量。1数值分析课件数值分析课件考虑向量分量比，有()()()(
7、)()()12212()1111(1)121121211()()()()nkkniinikkiknkkniiinixxxVVxxx+=+()(1)kikiVV故当k较大时是近似值。1数值分析课件数值分析课件123 n(1)()1()lim,kkikkiVVV+=相应的特征向量为(0)0V(1)(),kkVAV+=设n阶矩阵A的n个特征值，满足幂法计算公式1、幂法的收敛速度取决于比值，比值越小,收敛越快。21说明()111kkV 出现上溢错误，幂法失效。2、#1即是按模最大的特征值怎样解决？下节课给出方法！数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授求矩阵特征值和特征向
8、量的幂法。第2集：数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件()()()()()()()()100,max1,2,/kkkkkkkVAuuVmVkuVm=定理：设n阶矩阵A的n个特征值满足对应的特征向量为，做计算格式123n(0)(0)0,nVVR1max552=()1x()()()()111limmaxlimkkkkxuxm=1()maxkV式中表示绝对值最大的分量，是规范化向量。()kV()ku由此可得当n较大时，是矩阵A按模最大的近似特征值，是对应的近似特征向量。km()ku数值分析课件数值分析课件证明证明()()()100,VAuAV=()()(1)(0)(0)(1)(1)(0)
9、(0)maxmaxmaxVAuAVuVAuAV=()()()()()()()()(0)2(0)(2)2(0)2(0)1(2)(2)(0)(0)(2)2(0)2(0),maxmaxmaxmaxmaxmaxAVA VVA VA VVAuAuAVAVVA VVAV=一般的有()()(0)(0)()()1(0)(0),maxmaxkkkkkkA VA VVuAVA V=()()00uV=()()()()()()()2(0)2(0)2(0)(0)(0)2(0)(0)(0)maxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxA VA VVAVAVAVA VAVAV=数值分析课件数值分析课件()()()(
10、)()()()()()()()11111111limlim;maxmaxkkkkkkkxxuxx+=+()()()()()()()()()()101110111111maxlimlimmaxlimmaxmaxkkkkkkkkkkxA VmAVx+=+()()()()(0)(1)1121,knkkikkiiiA Vxx=+=()lim0kk=数值分析课件数值分析课件规范化幂法算法规范化幂法算法()()001),1,1,1A VV=输入矩阵和精度使用中取1k 2）()()1kkVAu3）()()()()11max,maxkkkkmVmV4）()()/mkkkuV5）(),kkumkk-16）如果
11、m-m则输出停止1,3)kkgoto+7）数值分析课件数值分析课件例1用幂法求矩阵A的按模最大特征值和相应的特征向量。=210120012A(0)3 (0,0.5,1)10.TV=取，要求误差不超过解：Vm=Max VU00 -0.5 110 -0.5000 1.000010.5000 -2.0000 2.50002.50000.2000 -0.8000 1.0000：82.8436 -2.9993 2.99972.99970.9480 -0.9999 1.000092.8959 -2.9998 2.99992.9999()T1-31|2.9999-2.9997|102.9999;=2.895
12、9,-2.9998,2.9999x数值分析课件数值分析课件1、当是m重根时，即112121,mmmn+=结论也成立；2、用幂法求出的特征值可能不是按模最大的特征值。()()()()()0012120nnVVxxx=+不能保证；10数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件反幂法是幂法的一个应用。它通过可逆矩阵与特征向量的关系借助幂法来求矩阵按模最小的特征值。()()()()11kkkkkkAxxA xx=由()11kkAx是的特征值，是其对应的特征向量。对用幂法，可以求出，继而求出按模最小的特征值1n1An110nn假设可逆，1A11111110nnnn数值分析课件数值分析课件反幂法算法
13、反幂法算法()()001),1,1,1A VV=输入矩阵和精度使用中取1k 2）()()11kkVA u3）()()()()11max,maxkkkkmVmV4）()()/mkkkuV5）(),kkumkk-16）如果 m-m则输出停止1,3)kkgoto+7）()()()1,kkkAVuV=3）求解方程组得出()1/kkmu为按模最小的特征值，为对应的特征向量#数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授求矩阵特征值和特征向量的方法。值值分分析析课课件件4.4 4.4 Jacobi方法和QR方法简介还有其他求特征值的方法吗？数值分析课件数值分析课件2 2、Jacob
14、iJacobi方法方法将实对称矩阵进行一系列的相似正交变换使其约化成一个近似对角矩阵，然后利用相似正交变换的关系来求全部特征值和特征向量。求实对称矩阵的全部特征值全部特征值和特征向量特征向量。该该方法使用的正交相似变换主要采用旋转变换，故称Jacobi方法为旋转法旋转法。数值分析课件数值分析课件 1122cossinsincosxyxy=2阶旋转变换2阶旋转变换矩阵 cossinsincos()11cossin1,1sincosj11ijiJ i j=行行列列n阶旋转变换矩阵(),J i j旋转矩阵数值分析课件数值分析课件(),J i j1、是正交矩阵；()()()()()11,TijJi j
15、AJ i jAa=()()()()()()()()()()()11222211111111cossinsin2,sincossin20.5sin2cos2,cossin,cossin,iiiijjijjjiijjijijjijjiiijpqqppqqpippiipjpjppjjpipaaaaaaaaaaaaaaaaap qi jaaaaaaaapi j=+=+=+=+=+121tan,24ijiijjaaa=2、可选 对A做相似变换，使()()110ijjiaa=n阶旋转变换矩阵的特点数值分析课件数值分析课件()AA012=,n nnR()()()()()112()1,lim()0;2 lim
16、kkkkkknE AE AE AA+=、则有定理：设实对称矩阵是对应的特征值；是n阶旋转矩阵序列，记()()()()()()21,kkkkTkkijijAJ AJE Aa=(),1,2,kkkkJ ijJk=Jacobi方法的理论依据数值分析课件数值分析课件用Jacobi方法求得的结果精度一般都比较高，特别是求得的特征向量正交性很好。所以Jacobi方法是求实对称矩阵全部特征值和特征向量的一个较好的方法。它的弱点是计算量大，对原矩阵是稀疏矩阵，旋转变换后不能保持其稀疏的性质。Jacobi方法一般适用于阶数不高的矩阵.值值分分析析课课件件2 2、QRQR方法方法该方法利用矩阵的QR分解，通过逆序
17、相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变化为一个近似的上三角矩阵来求全部特征值。求一般中小型矩阵的全部特征值。矩阵的QR分解：将矩阵化为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R相乘的形式:A=QR。数值分析课件数值分析课件说明矩阵序列是相似变换序列，有相同特征值。QR方法的构造方法的构造()A2()()()()111211112QRAQ RRQ=1、记A=A、对A 做分解：，逆序相乘 A；()2122,1223、如果A是对角线为1或的上三角块矩阵求出1或的特征值，停止4、用代替转 2()A1逆序相乘的本质:()()()()()=A111211TTAQRRQ AQ ARQQ A Q=数值分析课件数值
18、分析课件QR方法依据方法依据定理(实Schur分解定理）：111212221 122nnn nTnniiBBBBBQRQ AQBB=正交矩阵，其中是或的小矩阵。1 122AiiBA当是时，它就是 的特征值，当为时，其特征值就是 的一对共轭特征值。数值分析课件数值分析课件()1AA=“本质上收敛”指 的主对角线上的元素或子块有确定的极限，其它元素或子块不管是否有极限。()()12*,*kknAA定理：若n阶矩阵A可逆，且有n个不同的特征值，记则矩阵序列本质上收敛于上三角块矩阵。()()()()kk+1AAkkkkkAQ RR Q=#数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件作业：习题课1，2，3，4再再 见见