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1、数值分析课件数值分析课件同学们好！现在开始讲授第四章求矩阵特征值和特征向量方法首先讲授BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
2、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM数值分析课件数值分析课件第四章第四章 求矩阵特征值和特征向量方法求矩阵特征值和特征向量方法讲授：讲授：求特征值及特征向量常用数值方法构造和原理；重点论述重点论述:幂法的构造、收敛性及Jacobi方法、OR方法价绍等。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
3、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件本章讲授内容本章讲授内容4.1 4.1 引例引例4.2 4.2 基本概念基本概念4.3 4.3 幂法幂法4.4 Jacobi4.4 Jacobi方法和方法和QRQR方法简介方法简介BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
4、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件4.1 4.1 引例引例特征值在哪里有应用？BBBBBBBBBBBBBB
5、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析
6、课件旅游地选择问题旅游地选择问题某人打算外出旅游，他在选择旅游地时，主要考虑的因素有景色、费用、居住、饮食和旅途五个因素，借助层次分析法有他选择旅游地的重要性可以用右面5阶矩阵绝对值最大特征值对应的特征向量得出。因此，求出矩阵绝对值最大特征值就是解决问题的关键！BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
7、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件特征方程是一个n次代数方程，求根很复杂且特征方程对舍入误差很敏感，特别当n较大时，这些问题更突出。由于这些原因，实用中在求解代数特征值问题时一般不用线性代数的方法，而采用本章介绍的迭代加变换的计算机求解方法，这些方法具有编程简单，对舍入误差不敏感等优点。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
8、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件4.2 4.2 基本
9、概念基本概念关于矩阵特征值及特征向量有哪些概念？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
10、MMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件()()111212122212det,.nnn nAnnnnaaaaaafAIARaaa=1、矩阵A的特征多项式：()()det0AfAI=2、矩阵A的特征多项式方程：4、特征值与特征向量的关系：,0Axx x=3、矩阵A的特征值：()()det0AfAI=的根BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
11、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件结论若矩阵A相似矩阵矩阵 B，则（1）A与 B 的特征值完全相同；（2）若 x 是B 的特征向量，则Px便为A的特征向量；5、矩阵的特征值和特征向量知识A与B相似：若有可逆阵P，使1BP AP=A,BR n n1BP AP=
12、（3）相似矩阵具有相同的秩、迹、行列式和特征值。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
13、MMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件TPA PB=1TAA=6、正交矩阵的一些知识12(,)TnP APdiag=12,n 1）正交矩阵：若，即，则称A为正交矩阵。TA AI=2）正交相似变换：若存在正交矩阵 P 满足，则称B与A正交相似，或对A进行了正交相似变换。3）A是实对称矩阵，是A的n个特征值，则存在正交矩阵 P 满足，P的各列为相应特征向量。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
14、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
15、BBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授求矩阵特征值和特征向量的幂法。该内容分2集讲授。第1集：BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
16、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件4.3 4.3 幂法幂法什么是幂
17、法？它是怎么构造的？有什么作用？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
18、MMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件基本思想基本思想利用矩阵的特征值与特征向量的关系构造迭代向量序列来求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。幂法作用幂法作用求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。只用矩阵与任意非零向量不断相乘就可以求出矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量！BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
19、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、幂法公式构造2、规范化幂法3、反幂法BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEE
20、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
21、BBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件()()()12,nxxx()()()()()()0001212,0nnnVR VVxxx=+()()()()()()()01212121 122nnnnnAV
22、AxAxAxxxx =+=+()()1kkVAV=记，有()(0)(1)(2)()1 122kkkkknnnVA Vxxx =+设是n阶矩阵A的n个线性无关得特征向量，对应的特征值为，则12,n 121,0n假设()(1)(2)()211211kkkknnnVxxx=+()()kkkAxx=用矩阵A左乘上式，并利用有BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
23、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件121,0n()(1)32111111,1,1,kknVxk 设()()()(1)(2)()()()11()()22211211()(),1,2,knkkkkkkkkkniiinikknnVxVxVxVxxxinVx=+=()(1)(2)()2112
24、11kkkknnnVxxx=+()kV故当k较大时是对应的近似特征向量。1BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
25、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件考虑向量分量比，有()()()()()()12212()1111(1)121121211()()()()nkkniinikkiknkkniiinixxxVVxxx+=+()(1)kikiVV故当k较大时是近似值。1BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
26、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件123 n(1)()1()lim,kkikkiVVV+=相应的特征向量为(0)0V(1)(),kkVAV+=设n阶矩阵A的n个特征值，满足幂法计算公式1、幂法的收敛速度取决于比值，比值越小,收敛越快。21说明()111kkV 出现上溢错误，幂法失效
27、。2、#1即是按模最大的特征值怎样解决？下节课给出方法！BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
28、MMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
29、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授求矩阵特征值和特征向量的幂法。第2集：BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
30、EEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
31、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件()()()()()()()()100,max1,2,/kkkkkkkVAuuVmVkuVm=定理：设n阶矩阵A的n个特征值满足对应的特征向量为，做计算格式123n(0)(0)0,nVVR1max552=()1x()()()()111limmaxlimkkkkxuxm=1()maxkV式中表示绝对值最大的分量，是规范化向量。()kV()ku由此可得当n较
32、大时，是矩阵A按模最大的近似特征值，是对应的近似特征向量。km()kuBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
33、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件证明证明()()()100,VAuAV=()()(1)(0)(0)(1)(1)(0)(0)maxmaxmaxVAuAVuVAuAV=()()()()()()()()(0)2(0)(2)2(0)2(0)1(2)(2)(0)(0)(2)2(0)2(0),maxmaxmaxmaxmaxmaxAVA VVA VA VVAuAuAVAVVA VVAV=一般的有()()(0)(0)()()1(0)(0),maxmaxkkkkkkA VA VVuAVA V=()()00uV=()()()()()()()2(
34、0)2(0)2(0)(0)(0)2(0)(0)(0)maxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxA VA VVAVAVAVA VAVAV=BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMM
35、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件()()()()()()()()()()()11111111limlim;maxmaxkkkkkkkxxuxx+=+()()()()()()()()()()101110111111maxlimlimmaxlimmaxmaxkkkkkkkkkkxA VmAVx+=+()()()()(0)(1)1121,knkkikkiiiA Vxx=+=()lim0kk=BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
36、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件规范化幂法算法规范化幂法算法()
37、()001),1,1,1A VV=输入矩阵和精度使用中取1k 2）()()1kkVAu3）()()()()11max,maxkkkkmVmV4）()()/mkkkuV5）(),kkumkk-16）如果 m-m则输出停止1,3)kkgoto+7）BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
38、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例1用幂法求矩阵A的按模最大特征值和相应的特征向量。=210120012A(0)3 (0,0.5,1)10.TV=取，要求误差不超过解：Vm=Max VU00 -0.5 110 -0.5000 1.000010.5000 -2.0000 2.50002.50000.2000 -0.8000 1.0000：82.8436 -
39、2.9993 2.99972.99970.9480 -0.9999 1.000092.8959 -2.9998 2.99992.9999()T1-31|2.9999-2.9997|102.9999;=2.8959,-2.9998,2.9999xBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
40、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、当是m重根时，即112121,mmmn+=结论也成立；2、用幂法求出的特征值可能不是按模最大的特征值。()()()()()0012120nnVVxxx=+不能保证；10BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
41、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
42、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件反幂法是幂法的一个应用。它通过可逆矩阵与特征向量的关系借助幂法来求矩阵按模最小的特征值。
43、()()()()11kkkkkkAxxA xx=由()11kkAx是的特征值，是其对应的特征向量。对用幂法，可以求出，继而求出按模最小的特征值1n1An110nn假设可逆，1A11111110nnnnBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
44、EEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件反幂法算法反幂法算法()()001),1,1,1A VV=输入矩阵和精度使用中取1k 2）()()11kkVA u3）()()()()11max,maxkkkkmVmV4）()()/mkkkuV5）(),kkumkk-16）如果 m-m则输出停止1,3)kkgoto+7）()()()1,kkkAVuV=3）求解方程组得出()1/kkmu为按模最小的特征值，为对应的特
45、征向量#BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大
46、学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
47、MMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授求矩阵特征值和特征向量的方法。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
48、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件4.4 4.4 Jacobi方法和QR方法简介还有其他求特征值的方法吗？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
49、EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件2 2、JacobiJacobi方法方法将实对称矩阵进行一系列的相似正交变换使其约化成一个近似对角矩阵，然后利用相似正交变换的关系来求全部特征值和特征向量。求实对称矩阵的全部特征值全部特征值和特征向量特征向量。该该方法使用的正交相似变换主要采用旋转变换，故称Jacobi方法为旋转法旋转法。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
50、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 1122coss